El Principia Mathematica del es un trabajo de 3 volúmenes sobre las fundaciones de las matemáticas, escritas por el Alfred Whitehead del norte y el Bertrand Russell y publicadas en el 1910 - 1913 . Es una tentativa derivar todas las verdades matemáticas de un sistema bien definido de los axiomas y de las reglas de inferencia en la lógica simbólica . Una de las inspiraciones y de las motivaciones principales para el Principia era trabajo anterior de s de Frege 'sobre la lógica, que había llevado a las paradojas descubiertas por Russell. Éstos fueron evitados en el Principia construyendo un sistema elaborado de los tipos : un sistema de elementos es de un diverso tipo que cada uno de sus elementos (fijar no es el elemento; un elemento no es el sistema) y uno no puede hablar del " El sistema de todo fija el " de ; y las construcciones similares, que llevan a las paradojas (véase la paradoja de Russell).

El Principia es considerado extensamente por los especialistas en conforme a sea uno de los trabajos seminales más importantes y en la lógica matemática y filosofía . Según la biblioteca moderna, era el 23^rd la mayoría del libro importante del vigésimo siglo.

El alcance de fundaciones puso

El Principia cubrió solamente la teoría determinada, los números cardinales, los números ordinales, y los números verdaderos . Teoremas más profundos del análisis verdadero no eran incluidos, sino que para el final del tercer volumen estaba claro a los expertos que una gran cantidad de matemáticas sabidas podría el en principio ser desarrollada en el formalismo adoptado. Estaba también claro cómo es muy largo sería tal desarrollo.

Un cuarto volumen en las fundaciones de la geometría había sido planeado, pero los autores admitieron al agotamiento intelectual sobre la terminación del tercero.

Edición de la consistencia

Seguía habiendo las preguntas

si una contradicción se podría derivar de los axiomas de Principia s del (la cuestión de la inconsistencia ), y
si existe una declaración matemática que podría ni ser probada ni disproven en el sistema (la cuestión de lo completo).

La lógica proposicional sí mismo era sabida para ser constante y para terminar, pero iguales no habían sido establecidas para los axiomas de Principia s del de la teoría determinada. (Véase el problema de Hilbert segundo.)

Los teoremas del estado incompleto de Gödel echaron la luz inesperada en estas dos preguntas relacionadas.

El primer teorema del estado incompleto de Gödel demostró que el Principia no podría ser constante y completo. Según el teorema, para cada sistema lógico suficientemente de gran alcance (tal como Principia ), existe un G que esencialmente lea, " de la declaración; El G de la declaración no puede ser proved." Tal declaración es una clase inextricable: si el G es demostrable, después es falso, y el sistema es por lo tanto contrario; y si el G no es demostrable, después es verdad, y el sistema es por lo tanto incompleto.

El teorema del estado incompleto de Gödel segundo demuestra que ningún sistema formal que amplía aritmética básica se puede utilizar para probar su propia consistencia. Así, el " de la declaración; no hay contradicciones en el system" de Principia del ; no puede ser verdad o falso probada en el sistema de Principia del a menos que allí el sea contradicciones de en el sistema (en este caso puede ser verdad y falso probada).

Citas

; De este asunto seguirá, cuando se ha definido la adición aritmética, ese 1+1=2." – Volumen I, 1ra edición, página 379 (página 362 en la 2da edición; página 360 en la versión abreviada).

la prueba se termina realmente en *110.643 (volumen II, 1ra edición, página 86), acompañado por el comentario, " El asunto antedicho es de vez en cuando useful."

Ver también

.