En las matemáticas, el principio homotopy (o el h-principio ) es una manera muy general de solucionar las ecuaciones diferenciales parciales (PDEs), y más generalmente las relaciones diferenciadas parciales (PDRs). El h-principio es bueno para PDEs o PDRs underdetermined tal como problema de la inmersión, problema isométrico de las inmersiones y así sucesivamente.

¿La teoría fue comenzada por los trabajos Eliashberg, Gromov y Phillips y basada en resultados anteriores Hirsch, Kuiper, Nash, Smale ,…?

Idea aproximada

Asumir que queremos encontrar una función $f$ en el R ^m que satisface una ecuación diferencial parcial del grado $k$, adentro coordinamos el $(u\_1,\; u\_2,\dots ,\; u\_m)$. Uno puede reescribirlo como ¡$\backslash \; PSI\; (u\_1,\; u\_2,\dots ,\; u\_m,\; J^k\_f)\; del$

l =0 \! \,

donde $J^k\_f$ representa todos los derivados parciales de $f$ hasta la orden $k$. Intercambiemos cada variable en $J^k\_f$ para las nuevas variables independientes $y\_1,\; y\_2,\dots ,\; y\_N$. ¡Entonces nuestra ecuación original se puede pensar como sistema de y_N del $del\; \backslash \; del\; \_\; de\; Psi^\; \{\}\; \{\}\; (u\_1,\; u\_2,\dots \; el\; u\_m,\; y\_1,\; y\_2,\dots )\; =0\; \backslash !\; \backslash ,$ y un cierto número de ecuaciones del tipo siguiente $y\_j=\; del\; \{\backslash \; y\_i\; parcial\; \backslash \; sobre\; \backslash \; u\_k\; parcial\}.\; ¡\backslash !\; \backslash ,$

¡Una solución del $del\; \backslash \; del\; \_\; de\; Psi^\; \{\}\; \{\}\; (u\_1,\; u\_2,\dots \; u\_m,\; y\_1,\; y\_2,\dots \; y\_N)\; =0\; \backslash !\; \backslash ,$ se llama una solución non-holonomic, y una solución del sistema (que es una solución de nuestro PDE original) se llama una solución holonomic . Para comprobar si existe una solución, el primer cheque si hay una solución non-holonomic (generalmente él es absolutamente fácil y si no después nuestra ecuación original no tenía ningunas soluciones). Un PDE satisface el h-principio eventualmente que la solución non-holonomic puede ser deformido en holonomic en la clase de soluciones non-holonomic.

Por lo tanto, una vez que usted prueba que una ecuación satisface el h-principio es realmente fácil comprobar si tiene soluciones. Es asombrosamente que la mayoría de las ecuaciones diferenciales parciales underdetermined satisfacen el h-principio.

El ejemplo más simple

La posición de un coche en el plano es determinada por tres parámetros: dos coordenadas $x$ y $y$ para la localización (una buena opción es la localización del punto mediano entre las ruedas traseras) y un $\backslash \; alpha$ del ángulo que describe la orientación del coche. El movimiento del coche satisface la ecuación $del$

l \ punto x \ pecado \ alpha= \ punto y \ lechuga romana \ alfa. \,

Una solución non-holonomic en este caso, en línea general, corresponde a un movimiento del coche resbalando en el plano. En este caso las soluciones non-holonomic son no sólo el homotópico los holonomic pero también se pueden aproximar arbitrariamente bien por los holonomic (yendo hacia adelante y hacia atrás, como el estacionamiento paralelo en un espacio limitado). Esta última característica es más fuerte que el h-principio general; se llama el h-principio denso de $C^0$-.

Maneras de probar el h-principio

Algunas paradojas

Aquí enumeramos algunos resultados antiintuitivos que puedan ser probados aplicándose h-principio:

1. Consideremos el f de las funciones en el R ² sin   del f ( x ) del origen; =  | x |. Entonces hay una familia continua del uno-parámetro de las funciones $f\_t$ tales que $f\_0=f$, $f\_1=-f$ y para ningún $t$, el $\backslash \; el\; operatorname\; \{graduado\}\; (f\_t)$ no es cero en cualquier momento. Cualquiera múltiple abierto admite métrico Riemannian (no-completo) de a (o la negativa) de la curvatura positiva. La paradoja de Smale se puede hacer usar la encajadura isométrica de $C^1$ de $S^2$.

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