En la física de Quantum, el principio de incertidumbre del de Heisenberg es la declaración que establecer una partícula en una pequeña región hace el ímpetu de la partícula incierto, e inversamente, la medición del ímpetu de una partícula exacto hace la posición incierta.

En mecánicos de quántum, la posición y el ímpetu no tienen valores exactos, sino tienen una distribución de probabilidad. No hay estados en los cuales una partícula tiene una posición definida y ímpetu. Cuanto más estrecha la distribución de probabilidad es en la posición, más ancha es en ímpetu.

Una declaración matemática del principio es que cada estado de quántum tiene la característica esa la desviación (RMS) de media cuadrática de la posición de su medio (la desviación estándar de la X-distribución):

$\backslash \; delta\; X\; =\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{\backslash \; langle\; (x\; \backslash \; langle\; X\; \backslash \; rangle)\}\; \backslash ,\; de\; ^2\; \backslash \; del\; rangle$

mide el tiempo de la desviación del RMS del ímpetu de su medio (la desviación estándar de P):

$\backslash \; delta\; P\; =\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{\backslash \; langle\; (p\; \backslash \; langle\; P\; \backslash \; rangle)\}\; \backslash ,\; de\; ^2\; \backslash \; del\; rangle$

puede nunca ser más pequeño que un pequeño múltiplo fijo de constante de Planck:

$\backslash \; Delta\; X\; \backslash \; delta\; P\; \backslash \; GE\; \{\backslash \; hbar\; \backslash \; sobre\; 2\}$

La declaración matemática implica la declaración física. Un observador mide una vez la posición de una partícula con el $\backslash \; el\; delta\; X$, el estado de la exactitud de la partícula inmediatamente después que la medida tiene el $\backslash \; el\; scriptstyle\; \backslash \; delta\; P\; \backslash \; GE\; \backslash \; hbar/(2\; \backslash \; delta\; X)$.

El principio de incertidumbre se relaciona con el efecto del observador, con el cual se combina a menudo. En la interpretación de Copenhague de los mecánicos de quántum, el principio de incertidumbre es una limitación teórica de cómo es pequeño el efecto del observador puede ser. Una medida exacta de la posición debe alterar el ímpetu por una cantidad indeterminada grande y viceversa.

Mientras que esto es verdad en todas las interpretaciones, en muchas interpretaciones modernas de los mecánicos de quántum (mucho-mundos y variantes), el estado de quántum sí mismo es la cantidad física fundamental, no la posición o el ímpetu. Tomando esta perspectiva, mientras que el ímpetu y la posición son todavía inciertos, la incertidumbre no es apenas un efecto causado por el observervation, sino por ningún enredo con el ambiente.

Introducción histórica

considera también: Introducción al

los mecánicos de quántum

El Werner Heisenberg formuló el principio de incertidumbre en instituto de s de Bohr Neils 'en Copenhague, mientras que trabajaba en las fundaciones matemáticas de los mecánicos de quántum.

En 1925, lo que sigue iniciando el trabajo con el Hendrik Kramers, Heisenberg desarrolló a mecánicos de matriz, que substituyeron la vieja teoría de quántum ad hoc por los mecánicos de quántum modernos. La asunción central era que el movimiento clásico no era exacto en el nivel de quántum, y los electrones en un átomo no viajaron en órbitas agudamente definidas. Algo, el movimiento fue manchado hacia fuera de una manera extraña: el Fourier del tiempo transforma implica solamente esas frecuencias que se podrían considerar en saltos de quántum.

Esto era una salida radical de los autores anteriores, que trataron los puntos definidos orbiting de los electrones también. Las órbitas eran entonces trayectoria de las partículas, cuyo Fourier transforma contendría cada múltiplo de número entero del período orbital. Heisenberg substituyó estas cantidades clásicas por las matrices infinitas. El $X\_\; del\; elemento\; de\; matriz\; \{ij\}$ era como los coeficientes de un Fourier del movimiento, pero la frecuencia era la diferencia en el nivel de energía i y j, $(E\_i\; -\; E\_j)\; /h$, no un múltiplo de número entero de cualquier frecuencia clásica de la órbita.

El papel de Heisenberg no admitió ninguna cantidades inobservable, como la posición exacta del electrón en una órbita en cualquier momento. Él permitió solamente que el teórico hablara de los componentes de Fourier del movimiento, cuya magnitud dio las probabilidades de los varios saltos de quántum. Puesto que los componentes de Fourier no se podrían utilizar para construir una trayectoria, el formalismo no podría contestar a ciertas excesivamente preguntas exactas sobre donde estaba el electrón o cómo rápidamente iba.

La característica más llamativa de las matrices infinitas de Heisenberg para la posición y el ímpetu es que no conmutan. Su resultado central era la relación de conmutación canónica : $del$

l = X P - P X = i \ hbar.

y este resultado no tiene una interpretación física clara.

En marzo de 1926, trabajando en el instituto de Bohr, Heisenberg formuló el principio de incertidumbre de tal modo que ponía la fundación de qué se conocía como la interpretación de Copenhague de los mecánicos de quántum. Heisenberg demostró que las relaciones de conmutación implican una incertidumbre, o en la lengua de Bohr una complementariedad, entre X y el P. Ninguna dos variables que no conmutan no se pueden medir simultáneamente--- más exacto se conoce el otro menos exacto.

Principio de incertidumbre y efecto del observador

El principio de incertidumbre se explica a menudo como la declaración que la medida de la posición disturba necesario el ímpetu de una partícula, y vice versa-i., que el principio de incertidumbre es una manifestación del efecto del observador.

Esta explicación se está engañando a veces en un contexto moderno, porque hace que parece que los disturbios son de alguna manera conceptual evitables, que hay estados de la partícula con la posición y el ímpetu definidos, pero los dispositivos experimentales que tenemos no son hoy apenas bastante buenos producir esos estados. De hecho, los estados con la posición definida y el ímpetu apenas no existen en mecánicos de quántum, así que no es el equipo de medida que es culpable.

También se está engañando de otra manera, porque es a veces una falta del medir la partícula que produce el disturbio. Por ejemplo, si una película fotográfica perfecta contiene un pequeño agujero, y un fotón del incidente es el no observado, después es ímpetu llega a ser incierto por una gran cantidad. No observando el fotón, descubrimos que pasó a través del agujero.

Es engañoso de otra más manera, porque a veces la medida puede ser lejana realizado. Si dos fotones se emiten en direcciones opuestas del decaimiento del positronium, el ímpetu de los dos fotones está enfrente de. Midiendo el ímpetu de una partícula, el ímpetu de la otra es resuelto. Este caso es más sutil, porque es imposible introducir más incertidumbres midiendo una partícula distante, pero es posible restringir las incertidumbres en maneras diferentes, con diversas características estadísticas, dependiendo de qué característica de la partícula distante usted elige medir. Restringiendo la incertidumbre en p para ser muy pequeña por un measurment distante, la incertidumbre restante en x permanece grande.

Pero Heisenberg no se centró en las matemáticas de los mecánicos de quántum, él fue tratado sobre todo a establecer que la incertidumbre es realmente una característica del mundo--- que es de hecho físicamente imposible medir la posición y el ímpetu de una partícula a una precisión mejor que ésa permitió por los mecánicos de quántum. Para hacer esto, él utilizó las discusiones físicas basadas en la existencia de quanta, pero no el formalismo mecánico del quántum completo.

La razón es que ésta era una predicción asombrosamente de los mecánicos de quántum, que todavía no fue aceptada. Mucha gente la habría considerado un defecto que no hay estados de la posición y del ímpetu definidos. Heisenberg intentaba demostrar que esto no es un insecto, solamente una característica--- es un aspecto asombrosamente profundo del universo. Para hacer esto, él no podría apenas utilizar el formalismo matemático, porque era el formalismo matemático sí mismo que él intentaba justificar.

Microscopio de Heisenberg

considera también:

l microscopio de Heisenberg

Una forma en la cual Heisenberg estuvo a favor original del principio de incertidumbre está usando un microscopio imaginario mientras que un aparato de medición él se imagina a experimentador el intentar medir la posición y el ímpetu de un electrón tirando un fotón en él.

Si el fotón tiene una longitud de onda corta, y por lo tanto un ímpetu grande, la posición se puede medir exactamente. Pero el fotón será dispersado en una dirección al azar, transfiriendo una cantidad incierta grande de ímpetu al electrón. Si el fotón tiene una longitud de onda larga y ímpetu bajo, la colisión no disturbará el ímpetu del electrón mucho, pero la dispersión no revelará la posición.

Si una abertura grande se utiliza para el microscopio, la localización del electrón se puede resolver bien (véase el criterio de Rayleigh), solamente el ímpetu transversal del fotón entrante, y por la conservación del ímpetu el nuevo ímpetu del electrón, será mal resolved; si se utiliza una pequeña abertura, su el contrario.

Las compensaciones implican que no importa qué se utilizan la longitud de onda del fotón y el tamaño de la abertura, el producto de la incertidumbre en la posición medida y el ímpetu medido es mayor o igual un límite más bajo, que está hasta un pequeño factor numérico igual a constante de Planck. Heisenberg no cuidó para formular el principio de incertidumbre como límite exacto, y preferred utilizarlo como declaración cuantitativa heurística, corregir hasta pequeños factores numéricos.

Comprensión moderna

El principio de incertidumbre es una característica de los estados de Quantum que corresponden a las características estadísticas de la medida en los mecánicos de quántum . Para aclarar este punto, considerar el experimento del microscopio de Heisenberg otra vez.

Suponer que un físico tiene una manera de preparar un electrón en un estado de quántum particular. El físico repite este procedimiento 200 veces, y por 100 veces mide la posición del, y 100 medidas de las épocas el ímpetu del . Las respuestas serán diferentes en cada uno de los primeros 100 y en segundo lugar 100 experimentos, y arracimarán alrededor de un cierto medio con una cierta extensión, medida por la desviación estándar .

La desviación estándar de la posición mide el tiempo de la desviación estándar del ímpetu nunca es menos que el $\backslash \; el\; scriptstyle\; \backslash \; hbar/2$.

Derivaciones

El principio de incertidumbre tiene una derivación matemática directa. El paso dominante es un uso de la desigualdad, uno de Cauchy-Schwarz de los teoremas más útiles de la álgebra linear .

Para dos el hermitiano A de los operadores arbitrario: H del → del H y B : H del → del H, y cualquie x del elemento del H, entonces $del\; \backslash \; langle\; B\; A\; x\; |\; =\; \backslash \; langle\; A\; x\; de\; x\; \backslash \; rangle\; |\; =\; \backslash \; langle\; B\; x\; de\; B\; x\; \backslash \; rangle\; |\; Un\; x\; \backslash \; un\; rangle^\; \{*\}$

En un espacio del producto interno los asimientos de la desigualdad de Cauchy-Schwarz. $del$

l \ ido|\ langle B x | Un x \ un rangle \ un derecho |^2 \ leq \|Un x \|^2 \|B x \|^2

El cambio de esta fórmula lleva a:

Esto da una forma de la relación de Robertson-Schrödinger, una forma general del principio de incertidumbre: $del\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\; |\backslash \; langle\; x\; |\; x\; \backslash \; rangle|^2\; \backslash \; leq\; \backslash |\; Un\; x\; \backslash |^2\; \backslash |\; B\; x\; \backslash |^2,$ donde el operador = el AB - los VAGOS del denotan el conmutador A y del B . Para hacer el significado físico de esta desigualdad más directo evidente, se escribe a menudo en la forma equivalente:

$\backslash \; Delta\_\; \{\backslash \; PSI\}\; A\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\_\; \{\backslash \; PSI\}\; B\; \backslash \; GE\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; se\; fue|\backslash \; se\; fue\; \backslash \; langle\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; derecho\; \backslash \; el\; rangle\_\; \backslash \; PSI\; \backslash \; derecho|$

donde el $del$

l \ se fue \ el langle X \ derecho \ rangle_ \ PSI = \ a la izquierda \ langle \ PSI | X \ PSI \ derecho \ rangle

es el medio del operador del observable X en el ψ del estado de sistema y $del$

l \ = \ raíz cuadrada {\ langle {X} ^2 \ rangle_ \ PSI - \ langle {} \ rangle_ \ PSI ^2 de X} de Delta_ {\ PSI} X

es la desviación estándar del operador del observable X en el ψ del estado de sistema. Este formulación puede estar derivado de antedicho formulación por tapando en $A\; -\; \backslash \; lang\; A\; \backslash \; rang\_\; \backslash \; psi$ para el A y - \ lang B \ rang_ \ psi del $B\; para\; el\; B,\; y\; usando\; el\; hecho\; eso$

$=\; -\; \backslash \; lang\; A\; \backslash \; sonó,\; -\; \backslash \; lang\; B\; \backslash \; rang.$ de B

Esta formulación adquiere su interpretación física, indicada por el " sugestivo de la terminología; mean" y " deviation" estándar;, debido a las características de la medida en los mecánicos de quántum . Se encuentra el principio de incertidumbre exacto del posición-ímpetu cuando A sea X y B sea P, de modo que el conmutador sea $\backslash \; el\; scriptstyle\; i\; \backslash \; hbar$.

Mecánicos de matriz

En los mecánicos de matriz, el conmutador de las matrices X y P es siempre diferentes a cero, él es un $\backslash \; un\; scriptstyle\; múltiples\; constantes\; i\; \backslash \; hbar$ de la matriz de identidad . Esto significa que es imposible para que un estado tenga valores definidos x para X y p para P, XP sería igual al xp del número e igualaría desde entonces PX.

El conmutador de dos matrices es sin cambios cuando son cambiados de puesto por un múltiplo constante de la identidad--- para cuaesquiera dos números verdaderos x y p $p\; del$

l p = = i \ hbar \,

Dado cualquier $\backslash \; psi$ del estado de quántum, definir el número x $x=\; del$

l \ langle \ PSI|X|\ PSI \ rangle = \ sum_ {ij} \ psi^*_i X_ {} \ psi_j del ij

para ser el valor previsto de la posición, y $p=\; del$

l \ langle \ PSI|P|\ PSI \ rangle= \ sum_ {ij} \ psi^*_i P_ {} \ psi_j del ij

para ser el valor previsto del ímpetu. El $\backslash \; el\; scriptstyle\; \backslash \; elsombreroX\; =\; Xx$ de las cantidades y $\backslash \; scriptstyle\; \backslash \; sombrero\; P\; =\; P-p$ son solamente diferentes a cero hasta el punto de la posición y el ímpetu sean inciertos, hasta el punto de el estado contenga algunos valores de X y P que se desvían del medio. El valor previsto del conmutador

$\backslash \; langle\; \backslash \; PSI|\; \backslash \; -\; \backslash \; sombrero\; P\; \backslash \; sombrero\; X\; del\; sombrero\; X\; \backslash \; sombrero\; P\; |\backslash \; PSI\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; PSI|\; \backslash ,\; \backslash \; sombrero\; P\; del\; sombrero\; X\; |\backslash \; PSI\; \backslash \; rangle\; =\; i\; \backslash \; hbar\; \backslash \; langle\; \backslash \; PSI|\backslash \; PSI\; \backslash \; rangle\; =\; i\; \backslash \; hbar\; \backslash ,$

pueden solamente ser diferentes a cero si las desviaciones en X en el $\backslash \; el\; scriptstyle\; del\; estado\; |\backslash \; la\; PSI\; \backslash \; rangle$ mide el tiempo de las desviaciones en P es bastante grande.

El tamaño de los elementos de matriz típicos puede ser estimado sumando los cuadrados sobre el $\backslash \; el\; scriptstyle\; de\; los\; estados\; de\; energía\; |i\; \backslash \; rangle$:

$\backslash \; sum\_i\; |\backslash \; langle\; \backslash \; PSI|\; \backslash \; sombrero\; X\; |i\; \backslash \; rangle\; |^2\; =\; \backslash \; sum\_i\; \backslash \; langle\; \backslash \; PSI|\backslash \; sombrero\; X\; |i\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; i|\backslash \; sombrero\; X\; |\backslash \; PSI\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; PSI|\; \backslash \; sombrero\; X^2\; |\backslash \; PSI\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; delta\; X^2\; \backslash ,$ y esto es igual al cuadrado de la desviación, elementos de matriz hace un tamaño dar aproximadamente por la desviación.

Para producir tan las relaciones de conmutación canónicas, el producto de las desviaciones en cualquier estado tiene que estar sobre el $\backslash \; el\; scriptstyle\; \backslash \; hbar$.

$\backslash \; Delta\; X\; \backslash \; delta\; P\; \backslash \; gtrapprox\; \backslash \; hbar$

Esta estimación heurística se puede hacer en una desigualdad exacta usar la desigualdad de Cauchy-Schwartz, exactamente como antes. El producto interno de los dos vectores entre paréntesis:

$(\backslash \; langle\; \backslash \; PSI|\; \backslash \; sombrero\; X)\; (\backslash \; sombrero\; P\; |\backslash \; PSI\; \backslash \; rangle)$

es limitado arriba por el producto de las longitudes de cada vector:

$|(\backslash \; langle\; \backslash \; PSI|\backslash \; sombrero\; X)\; (\backslash \; sombrero\; P\; |\backslash \; PSI\; \backslash \; rangle)|^2\; \backslash \; le\; \backslash \; delta\; X^2\; \backslash \; delta\; P^2$

Así pues, riguroso, para cualquie estado:

$\backslash \; Delta\; X\; \backslash \; delta\; P\; \backslash \; GE\; \backslash \; langle\; \backslash \; PSI\; |\; \backslash \; sombrero\; X\; \backslash \; sombrero\; P\; |\backslash \; PSI\; \backslash \; rangle$

la parte real de una matriz M es $\backslash \; scriptstyle\; (M+M^\; \backslash \; daga)\; /2$, de modo que sea la parte real del producto del $\backslash \; del\; scriptstyle\; \backslash \; del\; sombrero\; X\; \backslash \; sombrero\; P$ de dos matrices hermitianas:

$\backslash \; mathrm\; \{con\; referencia\; a\}\; (\backslash \; sombrero\; X\; \backslash \; sombrero\; P)\; =\; \{\backslash \; +\; \backslash \; sombrero\; X\; \backslash \; sombrero\; P\; del\; sombrero\; X\; \backslash \; sombrero\; P\; \backslash \; sobre\; 2\}\; =\; \{\backslash \; \{X,\; P\; \backslash \}\; \backslash \; sobre\; 2\}$

mientras que la parte imaginaria es el $del\; \backslash \; mathrm\; \{Im\}\; (\backslash \; sombrero\; X\; \backslash \; sombrero\; P)\; =\; \{\backslash \; -\; \backslash \; sombrero\; X\; \backslash \; sombrero\; P\; del\; sombrero\; X\; \backslash \; sombrero\; P\; \backslash \; sobre\; 2i\}\; =\; \{,\; \backslash \; sombrero\; P\; de\; X\; \backslash \; sobre\; 2i\}\; =\; \{\backslash \; hbar\; \backslash \; sobre\; 2\}$

La magnitud de $\backslash \; de\; scriptstyle\; \backslash \; del\; langle\; \backslash \; PSI\; |\; \backslash \; sombrero\; X\; \backslash \; sombrero\; P\; |\backslash \; la\; PSI\; \backslash \; rangle$ es más grande que la magnitud de su parte imaginaria, que es el valor previsto de la parte imaginaria de la matriz:

$\backslash \; Delta\; X\; \backslash \; delta\; P\; \backslash \; GE\; |\; \backslash \; langle\; \backslash \; PSI\; |\; \backslash \; sombrero\; X\; \backslash \; sombrero\; P\; |\backslash \; PSI\; \backslash \; rangle\; |\; \backslash \; GE\; |\; \backslash \; langle\; \backslash \; PSI\; |\; \backslash \; mathrm\; \{Im\}\; (\backslash \; sombrero\; X\; \backslash \; sombrero\; P)\; |\backslash \; PSI\; \backslash \; rangle\; |\; =\; \{\backslash \; hbar\; \backslash \; sobre\; 2\}$

Observar que el producto de la incertidumbre, por la misma razón, es limitado abajo por el valor previsto del anticommutator. Este límite no es como útil un límite, porque en algunos estados, este valor previsto es cero.

Mecánicos de onda

En los mecánicos de onda de Schrödinger el wavefunction mecánico del quántum contiene la información sobre la posición y el ímpetu de la partícula. La posición de la partícula es donde se concentra la onda, mientras que el ímpetu es la longitud de onda típica.

La longitud de onda de una onda localizada no se puede determinar muy bien. Si la onda extiende sobre una región del tamaño L y la longitud de onda es aproximadamente el $\backslash \; lambda$, el número de ciclos en la región es aproximadamente el $l\; \backslash \; lambda$. La longitud de onda se puede cambiar por alrededor $1/L$ sin el cambio del número de ciclos en la región por una unidad completa, y ésta es aproximadamente la incertidumbre en la longitud de onda. $del$

l \ delta \ lambda = {1 \ sobre L}

Éste es las contrapartes exactas a un resultado bien conocido en el tratamiento de señales --- el más corto un pulso a tiempo, menos el bien definido la frecuencia. La anchura de un pulso en espacio de la frecuencia es inverso proporcional a la anchura a tiempo. Es un resultado fundamental en el análisis de Fourier, cuanto más estrecho es el pico de una función, más amplio el Fourier transforma.

multiplicándose por $h$, e identificando el $\backslash \; el\; delta\; P\; =\; h\; \backslash \; delta\; \backslash \; lambda$, e identificando el $\backslash \; el\; delta\; X\; =\; L$. $del$

l \ delta P \ delta X \ gtrapprox h

El principio de incertidumbre se puede considerar como teorema en el análisis de Fourier : la desviación estándar del valor absoluto ajustado de una función, épocas la desviación estándar del valor absoluto ajustado de su Fourier transforma, es por lo menos 1 (16π ²) (Folland y Sitaram, teorema 1.

Un ejemplo instructivo es la agitar-función gausiana (unnormalized)

$\backslash \; langle\; x\; |\; \backslash \; PSI\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; PSI\; (x)\; =\; e^\; \{-\; \{Ax^2\; \backslash \; sobre\; 2\}\}$

El valor de expectativa de X es cero por simetría, y así que la variación es encontrada haciendo un promedio de $X^2$ sobre todas las posiciones con el $\backslash \; PSI\; (x)^2$ del peso, cuidadoso dividir por el factor de la normalización.

$\backslash \; langle\; X^2\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; ^\; del\; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; dx\; infty\; x^2\; del\; e^\; \{-\; un\; x^2\}\; \backslash \; sobre\; \backslash \; ^\; del\; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; dx\; infty\; del\; e^\; \{-\; Ax^2\}\}\; =\; -\; \{d\; \backslash \; sobre\}\; \backslash \; registro\; (\backslash \; ^\; del\; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; dx\; infty\; de\; DA\; del\; e^\; \{-\; un\; x^2\})\; =\; -\; \{d\; \backslash \; sobre\}\; \backslash \; registro\; de\; DA\; (\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; sobre\; A\})\; =\; \{1\; \backslash \; sobre\; 2A\}$

El fourier transforma del gausiano es el wavefunction en k-espacio, donde está el wavenumber y es relacionada k con el ímpetu por el $de\; la\; relación\; de\; DeBroglie\; \backslash \; el\; p=\; del\; scriptstyle\; \backslash \; k$ hbar:

$\backslash \; langle\; k\; |\; \backslash \; PSI\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; PSI\; (k)\; =\; \backslash \; e^\; del\; ^\; del\; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; infty\}\; \{-\; \{Ax^2\; \backslash \; sobre\; 2\}\; +\; i\; p\; x\}\; =\; \backslash \; e^\; del\; ^\; del\; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; infty\}\; \{-\; \{A\; \backslash \; sobre\; 2\}\; (x\; -\; ip/A)^2\; -\; \{p^2\; \backslash \; sobre\; 2A\}\}\; =\; e^\; \{-\; \{p^2\; \backslash \; sobre\; 2A\}\}\; \backslash \; e^\; del\; ^\; del\; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; infty\}\; \{-\; \{A\; \backslash \; sobre\; 2\}\; (x\; ip/A)^2\}$

El integral pasado no depende de p, porque hay un cambio continuo del $x\; \backslash \; del\; rightarrow\; x-ip/A$ de las variables que quita la dependencia, y esta deformación de la trayectoria de la integración en el plano complejo no pasa ninguna singularidades. Tan hasta la normalización, la respuesta es otra vez una gausiana.

$\backslash \; langle\; k\; |\; \backslash \; PSI\; \backslash$
del
del rangle = del e^ {- p^2 \ sobre 2A}

La anchura de la distribución en k se encuentra in the same way as antes, y la respuesta apenas mueve de un tirón A a 1/A.

$\backslash \; Delta\; k^2\; =\; \{\backslash \; delta\; P^2\; \backslash \; sobre\; \backslash \; hbar^2\}\; =\; \{A\; \backslash \; sobre\; 2\}$

de modo que por este ejemplo

$\backslash \; delta\; X\; \backslash \; delta\; P\; =\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{1\; \backslash \; sobre\; 2A\}\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{\backslash \; hbar^2\; A\; \backslash \; sobre\; 2\}\; =\; \{\backslash \; hbar\; \backslash \; sobre\; 2\}$

cuál demuestra que la desigualdad de la relación de la incertidumbre es apretada. Hay los wavefunctions que saturan el límite.

Relación de Robertson-Schrödinger

Dado cualesquiera dos el los operadores hermitianos el A de y el B, y un sistema en el ψ del estado, allí son distribuciones de probabilidad para el valor de una medida A y del B, con el A de las desviaciones estándar Δ_ψ y el B de Δ_ψ. Entonces el $del\; \backslash \; Delta\_\; \backslash \; PSI\; A\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\_\; \backslash \; PSI\; B\; \backslash \; geq\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; se\; fueron|\backslash \; se\; fue\; \backslash \; langle\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; derecho\; \backslash \; el\; rangle\_\; \backslash \; PSI\; \backslash \; derecho|$ donde el operador = el AB - los VAGOS del denotan el conmutador A y del B, y el $\backslash \; el\; langle\; X\; \backslash \; rangle\_\; \backslash \; psi$ denota valor de expectativa. Esta desigualdad se llama la relación de Robertson-Schrödinger, e incluye el principio de incertidumbre de Heisenberg como caso especial. Primero fue precisada en el 1930 por el Howard Percy Robertson y (independiente) por el Erwin Schrödinger .

Otros principios de incertidumbre

La relación de Robertson Schrödinger da la relación de la incertidumbre para cualquier dos observables que no conmute:

allí es una relación de la incertidumbre entre la posición y el ímpetu de un objeto: del
$de\; \backslash \; x\_i\; del\; delta\; \backslash \; p\_i\; \backslash \; geq\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\}\; del\; delta\; \{2\}$

entre la energía y la posición de una partícula en un potencial unidimensional V (x): $del$

l del
\ delta E \ delta x \ geq {\ hbar \ sobre los 2m} | \ ido|\ p_ dejado \ del langle {x} \ derecho \ rangle \ derecho|

entre la posición angular y el ímpetu angular de un objeto: $\backslash \; delta\; \backslash \; Theta\_i\; \backslash \; delta\; J\_i\; \backslash \; gtrapprox\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\}\; del$

l del
{2}

entre dos componentes ortogonales del operador del ímpetu angular del total de un objeto:

$\backslash \; delta\; J\_i\; \backslash \; delta\; J\_j\; \backslash \; geq\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\}\; \{2\}\; \backslash \; dejados|\backslash \; ido\; \backslash \; langle\; J\_k\; \backslash \; derecho\; \backslash \; rangle\; \backslash \; derecho|$
de donde está distinto el i, j, k y el i del _{del J denota ímpetu angular a lo largo del eje del i} del _{del x .}

entre el número de electrones en un superconductor y la fase de su parámetro de la orden del Ginzburg-Landó $del$

l del
\ delta N \ delta \ phi \ geq 1

principio de incertidumbre del Energía-tiempo

Una relación bien conocida de la incertidumbre no es una consecuencia obvia de la relación de Robertson-Schrödinger, el principio de incertidumbre del energía-tiempo.

Puesto que la energía lleva la misma relación para medir el tiempo que el ímpetu hace al espacio en la relatividad especial, estaba claro a muchos los fundadores tempranos, Niels Bohr entre ellos, que la relación siguiente celebra: $del$

l \ delta E \ delta t \ gtrapprox h ,

pero no era obvio qué Δt es, porque el tiempo en el cual la partícula tiene un estado dado no es operador que pertenece a la partícula, él es un parámetro que describe la evolución del sistema. Como lev el landó bromeó una vez " ¡Para violar la relación toda de la incertidumbre de la tiempo-energía que tengo que hacer es medir la energía muy exacto y después mirar mi reloj! "

Sin embargo, Einstein y Bohr entendían el significado heurístico del principio. Un estado que existe solamente por un breve periodo de tiempo no puede tener una energía definida. Para tener una energía definida, la frecuencia del estado necesita llegar a estar bien definida, y ésta requiere el estado colgar alrededor para bastantes ciclos.

Por ejemplo, en espectroscopia, los estados emocionados tienen un curso de la vida finito. Por el principio de incertidumbre de la tiempo-energía, no tienen una energía definida, y cada vez que decaen la energía ellos lanzan son levemente diferentes. La energía media del fotón saliente tiene un pico en la energía teórica del estado, pero la distribución tiene una anchura finita llamada el '' grosor de línea natural '' . los estados de Rápido-decaimiento tienen un grosor de línea amplio, mientras que los estados de decaimiento lentos tienen un grosor de línea estrecho.

El grosor de línea amplio de estados de decaimiento lentos hace difícil medir exactamente la energía del estado, y los investigadores incluso han utilizado las cavidades de la microonda para retrasar la decaimiento-tarifa, para conseguir picos más agudos. El mismo efecto del grosor de línea también hace difícil medir la masa de resto de partículas de decaimiento rápidas en la física de partícula . Cuanto más rápidamente la partícula decae, menos seguro está su Massachusetts.

Una formulación falsa del del principio de incertidumbre del energía-tiempo dice que eso la medición de la energía de un sistema de quántum a un $\backslash \; a\; un\; delta\; E$ de la exactitud requiere un $\backslash \; un\; delta\; del\; intervalo\; de\; tiempo\; t\; >\; h\; \backslash \; el\; delta\; E$. Esta formulación es similar a la que está referida en a la broma del landó, y fue invalidada explícitamente por el Y. El $del\; tiempo\; \backslash \; el\; delta\; t$ en la relación de la incertidumbre es el tiempo durante el cual el sistema existe imperturbado, no el tiempo durante el cual se gira el equipo experimental.

En 1936, Dirac ofreció una definición y una derivación exactas de la relación de la incertidumbre de la tiempo-energía, en una teoría de quántum relativista del " events". En esta formulación, las partículas siguieron una trayectoria en tiempo de espacio, y cada trayectoria de las partículas parametrized independiente por un diverso rato apropiado. La formulación de los Mucho-tiempos de los mecánicos de quántum es matemáticamente equivalente a los formualations estándar, pero estaba en una forma adecuada más para la generalización relativista. Era la inspiración para la Espinilla-Ichiro Tomonaga 's a la teoría de perturbación de la covariante para la electrodinámica de Quantum.

Pero una formulación más conocida, más ampliamente utilizada del principio de incertidumbre de la tiempo-energía fue dada solamente en 1945 por el L. Mandelshtam y el ES DECIR Tamm, como sigue. Para un sistema de quántum en un $del\; estado\; no\; estacionario|\backslash \; PSI\; \backslash \; rangle$ y un $B$ observable representado por un $\backslash \; un\; sombrero\; B$, los asimientos siguientes del operador del uno mismo-adjoint de la fórmula: $del$

l \ Delta_ {\ PSI} E \ frac {\ Delta_ {\ PSI} B} {\ se fue | \ frac {\ mathrm {} \ langle \ sombrero B \ rangle de d} {\ mathrm {d} t} \ derecho |} \ GE \ frac {\ hbar} {2} ,

donde está la desviación el $\backslash \; Delta\_\; \{\backslash \; PSI\}\; E$ estándar del operador de energía en el $del\; estado|\backslash \; la\; PSI\; \backslash \; rangle$, $\backslash \; Delta\_\; \{\backslash \; PSI\}\; B$ representa la desviación estándar del $\backslash \; del\; sombrero\; B$ del operador y el $\backslash \; el\; langle\; \backslash \; el\; sombrero\; B\; \backslash \; rangle$ es el valor de expectativa del $\backslash \; del\; sombrero\; B$ en ese estado. Aunque, el segundo factor en el lado izquierdo tenga dimensión del tiempo, es diferente del parámetro del tiempo que incorpora la ecuación de Schrödinger. Es un curso de la vida del $del\; estado|\backslash \; PSI\; \backslash \; rangle$ con respecto al $B$ observable. Es decir éste es el tiempo después de lo cual el $del\; valor\; de\; expectativa\; \backslash \; el\; langle\; \backslash \; el\; sombrero\; B\; \backslash \; los\; cambios\; de\; rangle$ apreciable.

Reacciones críticas

El Albert Einstein no era feliz con el principio de incertidumbre, y él desafió el Niels Bohr y Werner Heisenberg con muchos experimentos del pensamiento diseñó probarlo. El más famoso fue como sigue (véase también los discusiones de Bohr-Einstein):

Considerar una caja llenada de la luz. La caja tiene un obturador, que se abre y se cierra rápidamente por un reloj en un rato exacto, y algo de los escapes ligeros. Podemos fijar el reloj para saber el tiempo que la energía escapa. Para medir la cantidad de energía que se va, Einstein propuso el pesar de la caja enseguida después de la emisión. La energía que falta disminuirá el peso de la caja. Si la caja se monta en una escala, es ingenuo posible ajustar los parámetros para violar el principio de incertidumbre.

Bohr pasó un día que consideraba esta disposición, pero realizó eventual que si la escala y la caja se coloca en un campo gravitacional, después la incertidumbre de la posición del reloj en el campo gravitacional alterará la tarifa, y ésta introduce la cantidad correcta de incertidumbre.

La interpretación de Copenhague de los mecánicos de quántum y el principio de incertidumbre de Heisenberg fueron considerados como blancos gemelas por los detractores que creyeron en un determinismo subyacente y el realismo . Dentro de la interpretación de Copenhague de los mecánicos de quántum, no hay realidad fundamental que el estado de quántum está describiendo, apenas una prescripción para calcular resultados experimentales. No hay manera de decir cuáles es el estado de un sistema fundamental, sólo qué el resultado de observaciones pudo ser.

Mientras que Einstein creyó que la aleatoriedad es una reflexión de nuestra ignorancia de una cierta característica fundamental de la realidad, Bohr creyó que las distribuciones de probabilidad son fundamentales e irreducibles, y depende de qué medidas elegimos realizar. No hay realidad objetiva por debajo la determinación del resultado. No sólo hay es un velo que oculta el mecanismo, pero el mecanismo es diferente dependiendo de cómo usted levanta el velo.

Pero se obligó a Bohr que modificara su comprensión del principio de incertidumbre después de otro experimento del pensamiento por Einstein. En 1935, Einstein Podolski y Rosen publicaron un análisis de las partículas enredadas extensamente separadas de . Midiendo una partícula, Einstein realizó, alteraría la distribución de probabilidad de la otra, con todo aquí la otra partícula no podría ser disturbada posiblemente. Este ejemplo llevó Bohr para revisar su comprensión del principio, concluyendo que la incertidumbre no era causado por una interacción directa.

Pero Einstein llegó a conclusiones mucho más de gran envergadura del mismo experimento del pensamiento. Él sentía que una descripción completa de la realidad tendría que predecir los resultados de experimentos localmente de cambiar cantidades deterministas, y por lo tanto tendría que incluir más información que el posible máximo permitido por el principio de incertidumbre.

En el Juan Bell 1964 demostró que esta asunción puede ser probada, puesto que implica cierta desigualdad entre la probabilidad de diversos experimentos. Los resultados experimentales confirman las predicciones de los mecánicos de quántum, eliminando variables ocultadas locales.

Pero es todavía concebible que por debajo quántum las predicciones estadísticas mecánicas mienten un nonlocal teoría variable ocultada. La cuestión de si un resultado al azar es predeterminado por una teoría nonlocal puede ser insustancial y filosófica. Si las variables ocultadas no se obligan, podrían apenas ser una lista de dígitos al azar que se utilizan para producir los resultados de la medida. Para hacerla sensible, la asunción de variables ocultadas nonlocal es aumentada a menudo por una segunda asunción--- que el tamaño del universo observable pone un límite en los cómputos que estas variables pueden hacer. Una teoría nonlocal de esta clase predice que una computadora de Quantum encontrará los obstáculos fundamentales cuando intenta descomponer en factores números de aproximadamente 10000 dígitos o más, una tarea realizable en mecánicos de quántum.

Cultura popular

El principio de incertidumbre aparece en cultura popular en muchos lugares, aunque se indique a veces impreciso, o como suplente para el efecto del observador:

en el de la película de los hermanos de Coen el hombre que no era allí, abogado Freddy Riedenschneider ( Tony Shalhoub ) utiliza el principio de incertidumbre como defensa para su cliente. Riedenschneider no puede recordar el nombre de Heisenberg, llamándolo " Fritz algo-o-otro."
En el la suerte del episodio de Fryrish animated Futurama del de la comedia de enredo de la ciencia ficción que el profesor pierde en la pista del caballo cuando es su caballo batió estrecho hacia fuera en un " finish" del quántum;. Él se queja, " ¡Ninguna feria! ¡Usted cambió el resultado midiéndolo! " (esto puede referirse en lugar de otro al derrumbamiento del wavefunction).
En el Star Trek del de la serie de televisión de la ciencia ficción: La generación siguiente, los transportadores ficticios utilizó al " beam" los carácteres a diversas localizaciones superaron las limitaciones del muestreo debido al principio de incertidumbre con el uso del " " de los compensadores de Heisenberg; Cuando está pedido, " ¿Cómo los compensadores de Heisenberg trabajan? " por el revisto Time el 28 de noviembre de 1994, Michael Okuda, consejero técnico en Star Trek, respondido famoso, " Trabajan apenas fino, agradecen you."
En el de 1997 películas el mundo perdido: Jurassic Park, Ian chaostician Malcolm demanda que el " de esfuerzo; para observar y documento, no interact" con los dinosaurios es una imposibilidad científica debido a " el principio de incertidumbre de Heisenberg, lo que usted estudia, usted también change." Esto combina el principio de incertidumbre con el efecto del observador.
El Copenhague (1998) del del juego de Michael Frayn destaca algunos de los procesos que entraron la formación del principio de incertidumbre. El juego dramatiza las reuniones entre Werner Heisenberg y Niels Bohr. Destaca, también, la discusión del trabajo que ambos hicieron en las bombas nucleares - Heisenberg para Alemania y Bohr para los Estados Unidos y las fuerzas aliadas.
En un episodio de la fuerza adolescente, intentos del hambre del Aqua del programa de televisión de Meatwad (quién fue hecha temporalmente en un genio) para explicar incorrectamente el principio de incertidumbre de Heisenberg al Frylock para explicar su nueva inteligencia encontrada. " El principio de incertidumbre de Heisenberg dice nos que en una curvatura específica del espacio, el conocimiento se puede transferir en energía, o - y éste es dominante ahora - a matter."
En un episodio Stargate SG-1, Samantha Carretero del explica, usar el principio de incertidumbre, que el futuro no es predeterminado, que uno puede calcular solamente posibilidades.
El Dennis Etchison del novelista del horror hace la mención del principio de Heisenberg en un puñado de sus historias y libros.
En el " del programa de televisión; " en la muñeca viva del episodio, el Gil Grissom dice que él vive " por el principio de incertidumbre. El acto mero de observar un fenómeno cambia su nature." otra vez combinación de él con el efecto del observador.
En el episodio 16 (ninguna necesidad de la ocultar) de la versión Inglés-doblada del universo japonés, Washu de Tenchi del anime da una explicación rápida del principio de incertidumbre mientras que canta el Karaoke .
En un sonido del técnico del viaje espacial del trueno (2005) A dice que el principio de incertidumbre de Heisenberg indica que nada es nunca el 100% seguro.
El francés Télépopmusik del grupo de la música electrónica registró una canción llamada " dp.dq>=h/4pi" para su mundo genético (2001) del álbum.

Ver también

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