El principio mínimo de Pontryagin del se utiliza en teoría del control óptimo para encontrar el control mejor para llevar a un el sistema dinámico a partir de un estado otro, especialmente en presencia de los apremios para el estado o los controles entrados. Fue formulado por el lev ruso Semenovich Pontryagin y sus estudiantes del matemático. Tiene como caso general la ecuación de Euler-Lagrange del cálculo de las variaciones .

El principio indica informal que el hamiltoniano se debe reducir al mínimo sobre $\backslash \; \{U\}$ mathcal, el sistema de todos los controles permitidos. Si el $u^*\; \backslash \; en\; \backslash \; \{U\}$ mathcal es el control óptimo para el problema, entonces el principio indica eso: $H\; del\; (x^*(t),\; \backslash \; lambda^*(t)\; del\; u^*(t),\; t)\; \backslash \; leq\; H\; (x^*(t),\; u\; (t),\; \backslash \; lambda^*(t),\; t),\; \backslash \; patio\; \backslash \; forall\; u\; \backslash \; en\; \backslash \; \{U\},\; mathcal\; \backslash \; patio\; t\; \backslash \; en\; t\_f$ donde está la trayectoria de estado y el $\backslash \; el\; lambda^*\; el$ x^*\; \backslash \; en\; C^1$óptimos\; \backslash \; en\; BV$ es la trayectoria costillada óptimo .

El resultado era primer aplicado con éxito en los problemas de tiempo mínimos donde se obliga el control de la entrada, pero puede también ser útil en estudiar problemas estado-obligados.

Las condiciones especiales para el hamiltoniano pueden también ser derivadas. Cuando el tiempo final $t\_f$ es fijo y el hamiltoniano no depende explícitamente el el tiempo ($\backslash \; frac\; \{\backslash \; H\; parcial\}\; \{\backslash \; t\; parcial\}\; \backslash \; 0$ equivalente), entonces:

$H\; (x^*(t),\; \backslash \; lambda^*(t)\; del\; u^*(t))\; \backslash \; equivalente\; \backslash \; mathrm\; \{constante\}\; \backslash ,$ y si el tiempo final está libre, entonces: $H\; del\; (x^*(t),\; \backslash \; lambda^*(t)\; del\; u^*(t))\; \backslash \; 0\; equivalente.\; \backslash ,$ Condiciones más generales en el control óptimo se dan abajo.

El principio mínimo de Pontryagin es una condición necesaria para un grado óptimo. La ecuación de los Hamilton-Jacobi-Botones proporciona las suficientes condiciones para un grado óptimo.

Maximización y minimización

Los resultados aquí se conocen a veces como principio máximo de Pontryagin. Esto es porque el trabajo original de Pontryagin se centró en la maximización de una ventaja funcional algo que reduciendo al mínimo un coste funcional, la prueba del principio mínimo se basa históricamente en la maximización del hamiltoniano algo que reduciendo al mínimo el hamiltoniano. En este marco, reducir al mínimo el coste funcional en vez de maximizar una ventaja funcional, el funcional se debe multiplicar por el $\{-\; 1\}$. Los usos modernos de esto trabajan el foco en el problema de la minimización.

Declaración formal de las condiciones necesarias para el problema de la minimización

Aquí las condiciones necesarias se demuestran para la minimización de un funcional. Tomar $x$ para ser el estado del sistema dinámico con la entrada $u$, tal que el $del\; \backslash \; =f\; del\; punto\; \{x\}\; (x,\; u),\; \backslash ,\; 0)\; =x\_0\; \backslash \; patio\; del\; patio\; x\; (u\; (t)\; \backslash \; en\; \backslash \; \{U\},\; mathcal\; \backslash \; patio\; t\; \backslash \; adentro$ donde está el $\backslash \; \{U\}$ mathcal el sistema de controles admisibles y de $T$ es (es decir,) la época final terminal del sistema. El $u\; del\; control\; \backslash \; en\; \backslash \; \{U\}$ mathcal se debe elegir para todo el $t\; \backslash \; en$ para maximizar el $J$ funcional, que es definido por el $del\; J=\; \backslash \; PSI\; +\; (de\; x\; (T))\; \backslash \; int^T\_0\; L\; (x\; (t),\; despegue\; de\; u\; (t))$

Los apremios en la dinámica del sistema se pueden colindar al de Lagrange $L$ introduciendo el $de\; tiempo\; variable\; \backslash \; lambda$ del vector del multiplicador de Lagrange, cuyos elementos se llaman los costates del sistema. Esto motiva la construcción hamiltoniano $H$ definida para todo el $t\; \backslash \; en$ cerca:

$H\; (\backslash \; lambda\; (t),\; x\; (t),\; u\; (t),\; t)=\; \backslash \; lambda\text{'}(t)\; f\; (x\; (t),\; u\; (t))\; +L\; (x\; (t),\; u\; (t))\; \backslash ,$ donde está la transposición el $\backslash \; el\; lambda\text{'}\; del$ \backslash \; lambda$.$

El principio mínimo de Pontryagin indica que la trayectoria de estado óptima $x^*$, el control óptimo $u^*$, y el $correspondiente\; \backslash \; lambda^*$ del vector del multiplicador de Lagrange deben reducir al mínimo el $H$ hamiltoniano de modo que el

La notación usada arriba se define abajo.

$\backslash \; Psi\_T\; =\; \backslash \; frac\; (de\; x\; (T))\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; PSI\; (x)\}\; \{\backslash \; T\; parcial\}|\_\; \{x=x\; (T)\}\; \backslash ,$

$\backslash \; Psi\_x\; (x\; (T))\; =\; \backslash \; comienza\; \{\}\; \backslash \; frac\; del\; bmatrix\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; PSI\; (x)\}\; \{\backslash \; x\_1\; parciales\}|\_\; \{x=x\; (T)\}\; y\; \backslash \; y\; \backslash \; frac\; de\; los\; cdots\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; PSI\; (x)\}\; \{\backslash \; x\_n\; parcial\}\; |\_\; \{x=x\; (T)\}\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}$

$H\_x\; (x^*,\; u^*,\; \backslash \; lambda^*,\; t)=\; \backslash \; comienza\; \{\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; H\; parcial\}\; del\; bmatrix\; \{\backslash \; x\_1\; parcial\}|\_\; \{x=x^*,\; \backslash \; lambda=\; \backslash \; lambda^*\; del\; u=u^*\}\; y\; \backslash \; y\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; H\; parcial\}\; de\; los\; cdots\; \{\backslash \; x\_n\; parcial\}|\_\; \{x=x^*,\; \backslash \; lambda=\; \backslash \; lambda^*\; del\; u=u^*\}\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}$

$L\_x\; (x^*,\; u^*)\; =\; \backslash \; comienzan\; \{\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; L\; parcial\}\; del\; bmatrix\; \{\backslash \; x\_1\; parciales\}|\_\; \{x=x^*,\; u=u^*\}\; y\; \backslash \; y\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; L\; parcial\}\; de\; los\; cdots\; \{\backslash \; x\_n\; parcial\}|\_\; \{x=x^*,\; u=u^*\}\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}$

$f\_x\; (x^*,\; u^*)\; =\; \backslash \; comienza\; \{\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; f\_1\; parcial\}\; del\; bmatrix\; \{\backslash \; x\_1\; parcial\}|\_\; \{x=x^*,\; u=u^*\}\; y\; \backslash \; y\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; f\_1\; parcial\}\; de\; los\; cdots\; \{\backslash \; x\_n\; parcial\}|del\; \_\; \{x=x^*,\; u=u^*\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; vdots\; y\; \backslash \; ddots\; y\; \backslash \; vdots\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; frac\; \{\backslash \; f\_n\; parcial\}\; \{\backslash \; x\_1\; parciales\}|\_\; \{x=x^*,\; u=u^*\}\; y\; \backslash \; y\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; f\_n\; parcial\}\; de\; los\; ldots\; \{\backslash \; x\_n\; parcial\}|\_\; \{x=x^*,\; u=u^*\}\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}$

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