Una probabilidad anterior es una probabilidad marginal, interpretada como descripción de qué se sabe sobre una variable en la ausencia de una cierta evidencia . La probabilidad posterior es entonces la probabilidad condicional de la variable que toma en cuenta la evidencia. La probabilidad posterior se computa de probabilidad de la función anterior y vía el teorema de Bayes .
Pues el anterior y el posterior no son términos usados en análisis del frequentist, este artículo utiliza el vocabulario de la probabilidad Bayesian y de la inferencia Bayesian .
A través de este artículo, por brevedad el variable del término abarca variables observables, variables (inadvertidas) latentes, parámetros, e hipótesis.
Distribución de probabilidad anterior
En la inferencia estadística Bayesian, una distribución de probabilidad anterior del, a menudo llamada simplemente el anterior, de un incierto p de la cantidad (por ejemplo, suponer que el p es la proporción de votantes que voten por el político nombrado Smith en una elección futura) es la distribución de probabilidad que expresaría su incertidumbre sobre el p antes del " data" (por ejemplo, un sondeo de opinión) se consideran. Se significa para atribuir incertidumbre algo que aleatoriedad a la cantidad incierta.
Uno aplica el teorema de Bayes, multiplicando el anterior por la función de probabilidad y después normalizándolo, para conseguir al la distribución de probabilidad posterior, que es la distribución condicional de la cantidad incierta dada los datos.
Un anterior es a menudo el gravamen puramente subjetivo de un experto experimentado. Algunos elegirán una conjugación anterior cuando pueden, para hacer el cálculo de la distribución posterior más fácil.
Priors informativos
Un anterior informativo expresa la información específica, definida sobre una variable. Un ejemplo es una distribución anterior para la temperatura al mediodía mañana. Un acercamiento razonable es hacer el anterior un de distribución normal con el valor previsto igual a la temperatura de hoy del noontime, con la variación igual a la variación cotidiana de la temperatura atmosférica.
Este ejemplo tiene una característica en común con muchos priors, a saber, ése el trasero a partir de un problema (temperatura de hoy) se convierte en el anterior para otro problema (temperatura de mañana); la evidencia preexistente que se ha considerado ya es parte asunción anterior y como más evidencia acumula el anterior es determinada en gran parte por la evidencia algo que de la cualquier original, a condición de que la asunción original admitió la posibilidad de lo que está sugiriendo la evidencia. El " de los términos; prior" y " posterior" estar generalmente concerniente a un dato o a una observación específico.
¡Priors Uninformative
Un anterior uninformative expresa la información de carácter general vaga o sobre una variable. El " del término; prior" uninformative; es un nombre incorrecto; una fuerza tan anterior se llame un anterior no muy informativo. Los priors Uninformative pueden expresar la información tal como " la variable es positive" o " la variable es menos que un cierto limit". Algunas autoridades prefieren el anterior objetivo del término.
En problemas de la valoración del parámetro, el uso de un anterior uninformative rinde típicamente los resultados que no son demasiado diferentes de análisis estadístico convencional, como la función de probabilidad rinde a menudo más información que el anterior uninformative.
Algunas tentativas se han hecho en encontrar distribuciones de probabilidad en un cierto sentido requerido lógicamente por la naturaleza de su estado de la incertidumbre; éstos son un tema de la controversia filosófica. Por ejemplo, el Edwin T. Jaynes ha publicado una discusión (Jaynes 1968) basada en los grupos de mentira eso sugiere que el anterior para el p de la proporción de los votantes que votan por un candidato, no dados ninguna otra información, sea el &minus anterior del p de Haldane; 1 (1 − &minus del p ); 1. Si uno es tan incierto sobre el valor del ya mencionado p de la proporción que uno conoce solamente que por lo menos un votante votará por Smith y por lo menos uno no, después la distribución de probabilidad condicional del p dado esta información solamente es la distribución del uniforme en el intervalo 1, contra el cual es obtenido aplicando el teorema de Bayes al conjunto de datos que consiste en un voto para Smith y un voto, usar el anterior antedicho. El Haldane se ha criticado anteriormente considerando que rinde una distribución posterior incorrecta que ponga 100% del contenido de la probabilidad en el p = 0 o en el p = 1 si una muestra finita de votantes toda favorece a mismo candidato. El &minus anterior del p de Jeffreys; 1/2 (1 − &minus del p ); 1/2 es por lo tanto preferred (véase abajo).
Priors puede ser construido que son proporcionales a la medida de Haar si el X del espacio de parámetro lleva una estructura natural del grupo. Por ejemplo, en la física puede ser que contemos con que un experimento dé los mismos resultados sin importar nuestra opción del origen de un sistema coordinado. Esto induce la estructura del grupo del grupo de la traducción en el X, y el resultar anteriormente es un constante anterior incorrecto. Semejantemente, algunas medidas son naturalmente invariantes a la opción de una escala arbitraria (es decir, no importa si utilizamos centímetros o pulgadas, nosotros debe conseguir los resultados que son físicamente iguales). En tal caso, el grupo de la escala es la estructura natural del grupo, y la correspondencia anteriormente en el X es proporcional a 1 x . Importa a veces si utilicemos la medida izquierdo-invariante o derecho-invariante de Haar. Por ejemplo, las medidas invariantes izquierdas y derechas de Haar en el afinan a grupo que no son iguales. 413) sostiene que la medida derecho-invariante de Haar es la opción correcta.
Otra idea, defendida por Edwin T. Jaynes, es utilizar el principio de la entropía máxima . La motivación es que la entropía de Shannon de una distribución de probabilidad mide la cantidad de información contuvo la distribución. Cuanto más grande es la entropía, menos la información es proporcionado por la distribución. Así, maximizando la entropía sobre un sistema conveniente de distribuciones de probabilidad en el X, uno encuentra esa distribución que sea lo más menos posible informativa en el sentido que contiene la menos cantidad de información constante con los apremios que definen el sistema. Por ejemplo, la entropía máxima anteriormente en un espacio discreto, dado solamente que la probabilidad está normalizada a 1, es la anterior que asigna probabilidad igual a cada estado. Y en el caso continuo, la entropía máxima dado anteriormente que la densidad está normalizada con el medio cero y la unidad de la variación es el estándar de distribución normal.
Una idea relacionada, priors de la referencia fue expuesta por Jose M. Aquí, la idea es maximizar la divergencia prevista de Kullback-Leibler de la distribución posterior concerniente al anterior. Esto maximiza la información posterior prevista sobre el X cuando la densidad anterior es el p ( x ). La referencia se define anteriormente en el límite asintótico, es decir, uno considera el límite de los priors así que obtenido mientras que el número de puntos de referencias va al infinito. Los priors de la referencia son a menudo el objetivo anteriormente de la opción en problemas multivariantes, desde otras reglas (e., regla de Jeffreys) pueden dar lugar a priors con comportamiento problemático.
Los problemas filosóficos asociados a priors uninformative se asocian a la opción de una escala métrica, o de la medida apropiada. Suponer que queremos un anterior para la velocidad corriente de un corredor que sea desconocido a nosotros. Podríamos especificar, por ejemplo, un de distribución normal como el anterior para su velocidad, pero podríamos especificar alternativo un normal anteriormente por el tiempo que él toma para terminar 100 metros, que es proporcional al recíproco del primer anterior. Éstos son priors muy diversos, pero no está claro que es ser preferred. Semejantemente, si estuvieron pedidos estimar una proporción desconocida entre 0 y 1, puede ser que digamos que todas las proporciones son igualmente probables y utilicemos un uniforme anteriormente. Alternativo, puede ser que digamos que todas las órdenes de la magnitud para la proporción son igualmente probables, que da un proporcional anterior al logaritmo. El Jeffreys anterior intenta solucionar este problema computando un anterior que exprese la misma creencia ninguna materia que métrico se utilice. El Jeffreys para un desconocido p de la proporción es anteriormente &minus del p ; 1/2 (1 − &minus del p ); 1/2, que diferencia de la recomendación de Jaynes.
Los problemas prácticos se asociaron a priors uninformative incluyen el requisito ese la distribución posterior sean apropiados. Los priors uninformative generalmente en variables continuas, ilimitadas son incorrectos. Esta necesidad ser un problema si la distribución posterior es apropiada. El otro tema de la importancia es que si un anterior uninformative es ser el usado rutinario, es decir, con muchos diversos conjuntos de datos, debe tener buenas características de Frequentist . Un Bayesian no sería referido normalmente a tales ediciones, sino que puede ser importante en esta situación. Por ejemplo, uno querría cualquier regla de decisión basada en la distribución posterior para ser el admisible bajo función de pérdida adoptada. Desafortunadamente, la admisibilidad es a menudo difícil de comprobar, aunque se sepan algunos resultados (e., Berger y Strawderman 1996). La edición es particularmente aguda con los modelos jerárquicos de Bayes que los priors generalmente (e., Jeffreys anterior) pueden dar reglas de decisión gravemente inadmisibles si están empleados en los niveles más altos de la jerarquía.
Priors incorrectos
Si el teorema de Bayes se escribe como entonces está claro que seguiría siendo verdad si todo el P ( i de las probabilidades anteriores del del A ) y el P ( j del del A ) fue multiplicado por un constante dado; iguales serían verdades para una variable al azar continua . Las probabilidades posteriores todavía sumarán (o integrar) a 1 incluso si no lo hacen los valores anteriores, y así que los priors necesitan solamente ser especificados en la proporción correcta. Tomando esta idea más lejos, en muchos casos la suma o el integral de los valores anteriores puede incluso no necesitar ser finito conseguir las respuestas sensibles para las probabilidades posteriores. Cuando éste es el caso, el anterior se llama un anterior incorrecto. Algunos estadísticos utilizan priors incorrectos como priors uninformative. Por ejemplo, si necesitan una distribución anterior para el medio y la variación de una variable al azar, pueden asumir el p ( m, del v ); ~ 1 v (para el del v ; > 0) cuál sugeriría que cualquier valor para el medio sea igualmente probable y que un valor para la variación positiva llega a ser menos probable en la proporción inversa a su valor. Desde entonces éste sería un anterior incorrecto para el medio y para la variación.
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