En las matemáticas, el problema de Hilbert segundo del fue planteado por el David Hilbert en el 1900 como uno de sus problemas 23. Pide una prueba que la aritmética sea el constante.

En los años 30, el Kurt Gödel y el Gerhard Gentzen probaron los resultados que echar la nueva luz en el problema. Algunos sienten que estos resultados resolvieron el problema, mientras que otros sienten que el problema está todavía abierto.

Problema y su interpretación de Hilbert

En una traducción inglesa, Hilbert pide: " del ; Cuando nos contratan a investigar las fundaciones de una ciencia, debemos fijar un sistema de axiomas que contenga una descripción exacta y completa de las relaciones que subsisten entre las ideas elementales de esa ciencia. … Pero sobretodo deseo señalar el siguiente como el más importante entre las preguntas numerosas que se pueden hacer con respecto a los axiomas: Para probar que no son contradictorios, es decir, que un número definido de pasos lógicos basó sobre ellos puede nunca llevar a los resultados contradictorios. En geometría, la prueba de la compatibilidad de los axiomas puede ser efectuada construyendo un campo conveniente de los números, tales que las relaciones análogas entre los números de este campo corresponden a los axiomas geométricos. … Por una parte un método directo es necesario para la prueba de la compatibilidad del axioms." aritmético; Ahora es campo común para interpretar la pregunta de Hilbert segundo para preguntar una prueba que el Peano aritmético es constante (Franzen 2005: p.

Hay muchas pruebas sabidas que la aritmética de Peano es constante que puede ser realizado en sistemas fuertes tales como teoría determinada de Zermelo-Frankel. Éstos no proporcionan una resolución a la pregunta de Hilbert segundo, sin embargo, porque alguien que duda la consistencia de la aritmética de Peano es poco proclive a aceptar los axiomas de la teoría determinada (que es mucho más fuerte) para probar su consistencia. Así una respuesta satisfactoria al problema de Hilbert se debe realizar usar los principios que serían aceptables por alguien que no cree ya que el PA es constante. Tales principios a menudo se llaman el finitistic porque son totalmente constructivos y no presuponen un infinito terminado de números naturales. El teorema del estado incompleto de Gödel pone un límite severo en cómo es débil un sistema finitistic puede ser mientras que todavía prueba la consistencia de la aritmética de Peano.

Teorema del estado incompleto de Gödel

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los teoremas del estado incompleto de Gödel

El teorema del estado incompleto segundo de Gödel demuestra que no es posible para ninguna prueba que la aritmética de Peano es constante ser realizada dentro de la aritmética sí mismo de Peano. Este teorema demuestra que si son los únicos procedimientos aceptables de la prueba los que se pueden formalizar dentro de aritmética entonces la llamada de Hilbert para una prueba de la consistencia no pueden ser contestados. Sin embargo, como Nagel y Newman (1958: 96– 97) todavía explican, allí son sitio para una prueba que no se pueda formalizar en aritmética:

"Este resultado imponente del análisis de Godel no debe ser entendido mal: no excluye una prueba meta-matemática de la consistencia de la aritmética. Qué excluye es una prueba de la consistencia que se puede reflejar por las deducciones formales de la aritmética. las pruebas Meta-matemáticas de la consistencia de la aritmética, de hecho, han sido construidas, notablemente por Gerhard Gentzen, miembro de la escuela de Hilbert, en 1936, y por otros desde entonces. … Sino estas pruebas meta-matemáticas no puede ser representado dentro del cálculo aritmético; y, puesto que no son finitistic, no alcanzan los objetivos proclamados de program." original de Hilbert;

Prueba de la consistencia de Gentzen

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la prueba de la consistencia de Gentzen

En 1936, Gentzen publicó una prueba que la aritmética de Peano es constante. El resultado de Gentzen demuestra que una prueba de la consistencia se puede obtener en un sistema que sea mucho más débil que teoría determinada.

La prueba de Gentzen procede asignando a cada prueba en la aritmética de Peano un número ordinal, basado en la estructura de la prueba, con cada uno de estos ordinales menos que el ε₀ . Él entonces prueba por la inducción Transfinite en estos ordinales que ninguna prueba pueda concluir en una contradicción. El método usado en esta prueba se puede también utilizar para demostrar un para cortar el resultado de la eliminación para el Peano aritmético en una lógica más fuerte que lógica de primer orden, pero la prueba sí mismo de la consistencia se puede realizar en lógica de primer orden ordinaria usar los axiomas de la aritmética recurrente primitiva y de un principio de la inducción transfinite. Tait (2005) da una interpretación juego-teórica del método de Gentzen.

La prueba de la consistencia de Gentzen inició el programa del análisis ordinal en teoría de la prueba. En este programa, las teorías formales de la teoría aritmética o determinada se asignan los números ordinales de una forma que una teoría podrá probar la consistencia de un segundo si y solamente si el ordinal asignado al primer es más grande que el ordinal asignado al segundo. Estos ordinales dan una medida de la fuerza de la consistencia de las teorías. La prueba de Gentzen demuestra que una teoría podrá probar la consistencia de la aritmética si y solamente si su ordinal teórico de la prueba es más grande que ε₀.

Puntos de vista modernos en el estado del problema

Mientras que los teoremas de Gödel y de Gentzen ahora son entendidos bien por la comunidad de la lógica matemática, ningún consenso ha formado encendido de si (o de qué manera) estos teoremas contestan al problema de Hilbert segundo. 3) sostiene que el teorema del estado incompleto de Gödel demuestra que no es posible producir las pruebas finitistic de la consistencia de teorías fuertes. Kreisel (1976) indica que aunque los resultados de Gödel impliquen que ninguna prueba sintáctica finitistic de la consistencia puede ser obtenida, (particularmente, second-order) las discusiones semánticas se pueden utilizar para dar pruebas convincentemente de la consistencia. Detlefsen (1990: el P. 65) sostiene que el teorema de Gödels no previene una prueba de la consistencia porque sus hipótesis no pudieron ser se aplican a todos los sistemas en los cuales una prueba de la consistencia podría ser realizada. 2) llama la creencia que el teorema de Gödel elimina la posibilidad de un " persuasivo de la prueba de la consistencia; erroneous", citando la prueba de la consistencia dada por Gentzen y más finales de dada por Gödel en 1958.