En la teoría de número, el problema de Znám del pide qué sistemas de números enteros del k tienen la característica que cada número entero en el sistema es un divisor apropiado del producto de los otros números enteros en el sistema, más 1. problemas de Znám se nombran después eslovaco Štefan Znám del matemático, que lo sugirió en 1972, aunque otros matemáticos hubieran considerado problemas similares alrededor del mismo tiempo. Un problema estrechamente vinculado cae la asunción del properness del divisor, y será llamado el problema incorrecto de Znám de aquí en adelante.

Una solución al problema incorrecto de Znám se proporciona fácilmente para cualquier k : los primeros términos del k de la secuencia de Sylvester tienen la característica required. que hay por lo menos una solución a el problema (apropiado) demostrado de Znám para cada solución del k el ≥ 5. Sun se basa en una repetición similar a ésa para la secuencia de Sylvester, pero con un diverso sistema de valores iniciales.

El problema de Znám es estrechamente vinculado a las fracciones del egipcio. Se sabe que hay solamente finito muchas soluciones para cualquier fijo k . Es desconocido si hay algunas soluciones al problema de Znám usar solamente números impares, y sigue siendo vario otro no se sabe.

El problema

El problema de Znám pide qué sistemas de números enteros tienen la característica que cada número entero en el sistema es un divisor apropiado del producto de los otros números enteros en el sistema, más 1. es decir, dado el k, qué fija del $\backslash \; \{n\_1,\; \backslash \; los\; ldots,\; n\_k\; \backslash \}\; de$ del de los números enteros ¿hay, tales que, para cada i, divisorias del i del _{del n pero no es igual al $\backslash \; a\; Bigl\; (\backslash \; n\_j\; \backslash \; Bigr\; del\; ^n\; del\; prod\_\; \{j\; \backslash \; ne\; i\})\; +\; 1\; \backslash \; patio\; del\; ?$}

Un problema estrechamente vinculado se refiere a sistemas de los números enteros en los cuales cada número entero en el sistema es un divisor, pero no no necesario de un divisor apropiado, de uno más el producto de los otros números enteros en el sistema. Este problema no parece haber sido nombrado en la literatura, y será referido como el problema incorrecto de Znám. Cualquier solución al problema de Znám es también una solución al problema incorrecto de Znám, pero no no necesario viceversa.

Historia

El problema de Znám se nombra después eslovaco Štefan Znám del matemático, que sugirió en 1972. hubiera planteado el problema incorrecto de Znám para el k = 3, y, independiente de Znám, encontrara que todas las soluciones al problema incorrecto para el ≤ 5. del k demostró a que el problema de Znám es insoluble para el k < 5, y J. acreditado Janák con encontrar la solución {2, 3, 11, 23, 31} para el k = 5.

Ejemplos

Una solución al k = 5 es {2, 3, 7, 47, 395}. Algunos cálculos demostrarán eso

Conexión a las fracciones egipcias

Cualquier solución al problema incorrecto de Znám es equivalente (vía la división por el producto del i del _{del x ) a una solución {x_i} a + el $\backslash \; suma\; \backslash \; frac1\; \backslash \; golpecito\; \backslash \; frac1\; \{x\_i\}\; =y,$ del de la ecuación donde el y así como cada i} del _{del x debe ser un número entero, e inversamente cualquier solución corresponde a una solución al problema incorrecto de Znám. Sin embargo, todas las soluciones sabidas tienen y = 1, así que satisfacen {x_i} + el $\backslash suma\backslash \; frac1\; \backslash \; golpecito\; \backslash \; frac1\; \{x\_i\}\; =1.$ del de la ecuación Es decir, llevan a una representación egipcia de la fracción del número uno mientras que una suma de unidad fracciona . Varios de los papeles citados en el estudio del problema de Znám también las soluciones a esta ecuación. describir un uso de la ecuación en la topología, a la clasificación de las singularidades en superficies, y describir un uso a la teoría de los autómatas finitos no deterministas .}

Número de soluciones

Según lo demostrado, el número de soluciones para cualquier k es finito, así que tiene sentido de contar el número total de soluciones para cada k .

Brenton y Vasiliu calculaban que el número de soluciones para los pequeños valores del k, comenzando con el k = 5, forma el 2, 5, 15 del de la secuencia, el 93 . Actualmente, algunas soluciones se saben para el k = 9 y el k = 10, pero es confuso cuántas soluciones siguen siendo sin descubrir para esos valores del k . Sin embargo, hay infinitamente muchas soluciones si el k no es fijo: Cao y Jing (1998) demostraron que hay por lo menos 39 soluciones para cada ≥ 12 del k, mejorando resultados anteriores que prueban la existencia de pocas soluciones (,). conjeturar que el número de soluciones para cada valor del k crece monotónico con el k .

Es desconocido si hay algunas soluciones al problema de Znám usar solamente números impares. Con una excepción, todas las soluciones sabidas comienzan con el 2 . Si todos los números en una solución al problema de Znám o al problema incorrecto de Znám son el primero, su producto es un número primario del pseudoperfect; es desconocido si existen infinitamente muchas soluciones de este tipo.