En las matemáticas, un producto de Euler del es una extensión del producto infinito, puesta en un índice por el p de los números primeros, de una serie de Dirichlet . El nombre se presentó del caso de la zeta-función de Riemann, donde tal representación del producto fue probada por el Euler .

Generalmente una serie de Dirichlet de la forma

$\backslash \; sum\_\; \{n\}\; a\; (n)\; n^\; \{-\}\; \backslash ,\; de\; s$

donde a (n) es un que la función multiplicativa del n se puede escribir como

$\backslash \; prod\_\; \{p\}\; P\; (p,)\; \backslash ,\; de\; s$

donde está la suma el P ( p, s ) p^ del

$1+a\; (p)\; del\; \{-\; s\}\; +\; p^\; de\; a\; (p^2)\; \{-\; 2s\}\; +\; \backslash \; cdots.$

De hecho, si consideramos éstos como funciones de generación formales la existencia de tal una extensión formal del producto del Euler es una necesaria y la suficiente condición ese un ( n ) sea multiplicativa: esto dice exactamente que el un ( n ) es el producto del que un ( k del ^{del p ) cuando el n descompone en factores como el producto del k} del ^{del p de las energías de distinto prepara el p .}

Un caso especial importante es el en cuyo un ( n ) es el total multiplicativo, de modo que el P ( p, s ) sea una serie geométrica . Entonces = \ frac {1} {p^ 1-a (p) {- s}} del $P\; del$

l (p, s)

al igual que el caso para la zeta-función de Riemann, donde un ( n ) = 1), y más generalmente para los carácteres de Dirichlet

Todos los casos importantes son en la práctica tales que las extensiones de la serie infinita y del producto infinito son el absolutamente convergente en una cierta región

l con referencia a ( s ) > C

es decir, en un poco de mitad-plano correcto en los números complejos. Esto da ya una cierta información, puesto que el producto infinito, converger, debe dar un valor diferente a cero; por lo tanto la función dada por la serie infinita no es poner a cero adentro tal mitad-plano.

En la teoría de las formas modulares es típico tener productos de Euler con polinomios cuadráticos en el denominador aquí. La filosofía general de Langlands incluye una explicación comparable de la conexión de polinomios del m del grado, y la teoría de la representación para el m de GL_.

Ejemplos de los productos de Euler

El producto de Euler atado a la función de zeta de Riemann, usando también la suma de la serie geométrica, es $del$

l \ zetas = \ = \ prod_ {p} del n^ del ^ del sum_ {n=1} {\ infty} {- s} \ p^ grande (\ del sum_ {n=0} del ^ {\ infty} {- ns} \ grande) = \ ^ del prod_ {p} (1-p^ {- s}) {- 1} .

Un producto de Euler para el $\backslash \; MU\; de\; lafunción\; de\; Möbius(n)$ es

$\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; zetas\}\; =\; \backslash \; prod\_\; \{p\}\; (1-p^\; \{-\; s\})\; =\; \backslash \; sum\_\; \{n=1\}\; ^\; \{\backslash \; n^\; infty\}\; \backslash \; MU\; (n)\; \{-\; s\}$.

Otros productos derivaron de la función de zeta son $\backslash \; frac\; del$

l {\ zeta (2s)}{\ zeta} = \ prod_ {p} (1+p^ {- s}) ^ {- 1} = \ sum_ {n=1} ^ {\ n^ infty} \ lambda (n) {- s}

donde $\backslash \; lambda\; (n)\; =\; (-\; ^\; de\; 1)\; \{\backslash \; Omega\; (n)\}$ es la función de Liouville, y del
$\backslash \; del\; frac\; \{\backslash \; zetas\}\; del$

= \ prod_ {p} (1+p^ {\ zeta (2s)} {- s}) = \ ^ del sum_ {n=1} {\ infty} |\ MU (n)|n^ {- s} .

Semejantemente $\backslash \; frac\; del$

l {\ zeta^2} {\ zeta (2s)} = \ prod_ {p} \ grande (\ frac {1+p^ {- s}} {1-p^ {- s}} \ grande) = \ prod_ {p} (1+2p^ {- s} +2p^ {- 2s} + \ cdots) = \ ^ del sum_ {n=1} {\ infty} 2^ {\ n^ de Omega (n)} {- s}

donde $\backslash \; Omega\; (n)$ cuenta el número de factores primeros distintos del n y $2^\; \{\backslash \; Omega\; (n)\}$ el número de divisores Cuadrado-libres .

Si $\backslash \; ji\; (n)$ es un carácter de Dirichlet del conductor $N$ del, de modo que el $\backslash \; chi$ sea total multiplicativo y $\backslash \; ji\; (n)$ depende solamente del N del modulo del n, y del $\backslash \; de\; la\; ji\; (n)\; =\; 0$ si el n entonces no es el coprimero al N $del$

l \ prod_ {p} (1 - \ ji (p) p^ {- s}) ^ {- 1} = \ ^ del sum_ {n=1} {\ infty} \ n^ de la ji (n) {- s} .

Aquí es conveniente omitir prepara el p que divide el N del conductor del producto.

El Ramanujan en sus cuadernos intentó generalizar el producto de Euler para la función de zeta en la forma:

$\backslash \; prod\_\; \{)\; \backslash \; aproximadamente\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{Li\_\; \{s\}\; (x)\}$ de p} (x-p^ {- s} s > 1

donde está el Li_s (x) Polylogarithm para x=1 el producto antedicho es apenas el $1\; \backslash \; zeta\; (s)$

buscando para que una manera obtenga energías primeras como raíces de cierta función f (x, s).