En matemáticas, el producto de Kronecker del, denotado por el $\backslash \; otimes$, es una operación en dos matrices de tamaño arbitrario dando por resultado una matriz del bloque. Es un caso especial de un producto de tensor . El producto de Kronecker no se debe confundir con la multiplicación generalmente de la matriz, que es una operación enteramente diversa. Se nombra después alemán Leopold Kronecker del matemático.

Definición

Si el A es un m - por matriz del n y el B es un p - por matriz del q, después el $A\; del\; producto\; de\; Kronecker\; \backslash \; los\; otimes\; B$ es la P. del - por el $A\; \backslash \; otimes\; del\; dela\; matrizdel\; bloque\; del\; nq\; del\; B\; =\; \backslash \; comienza\; \{el\; a\_\; del\; bmatrix\}\; \{11\}\; B\; y\; \backslash \; los\; cdots\; y\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; del\; a\_\; \{1n\}\; B\; los\; vdots\; y\; \backslash \; los\; ddots\; y\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; a\_\; \{m1\}\; B\; de\; los\; vdots\; y\; \backslash \; los\; cdots\; y\; el\; a\_\; \{manganeso\}\; B\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}.$ Más explícitamente, hacemos que el $ A del \ = \ comiencen de los otimes B {bmatrix} b_ del a_ {11} {11} y b_ del a_ {11} {12} y \ cdots y b_ del a_ {11} {1q} y \ cdots y \ cdots y b_ del a_ {1n} {11} y b_ del a_ {1n} {12} y \ cdots y del a_ {1n} del b_ {1q} \ \ b_ del a_ {11} {21} y b_ del a_ {11} {22} y \ cdots y b_ del a_ {11} {2q} y \ cdots y \ cdots y b_ del a_ {1n} {21} y b_ del a_ {1n} {22} y \ cdots y del a_ {1n} del b_ {2q} \ \ \ vdots y \ vdots y \ ddots y \ vdots y y y \ vdots y \ vdots y \ ddots y \ de los vdots \ \ b_ del a_ {11} {p1} y b_ del a_ {11} {p2} y \ cdots y b_ del a_ {11} {pq} y \ cdots y \ cdots y b_ del a_ {1n} {p1} y b_ del a_ {1n} {p2} y \ cdots y del a_ {1n} del b_ {pq} \ \ \ vdots y \ vdots y y \ vdots y \ ddots y y \ vdots y \ vdots y y \ de los vdots \ \ \ vdots y \ vdots y y \ vdots y y \ ddots y \ vdots y \ vdots y y \ de los vdots \ \ b_ del a_ {m1} {11} y b_ del a_ {m1} {12} y \ cdots y b_ del a_ {m1} {1q} y \ cdots y \ cdots y b_ del a_ {manganeso} {11} y b_ del a_ {manganeso} {12} y \ cdots y del a_ {manganeso} del b_ {1q} \ \ b_ del a_ {m1} {21} y b_ del a_ {m1} {22} y \ cdots y b_ del a_ {m1} {2q} y \ cdots y \ cdots y b_ del a_ {manganeso} {21} y b_ del a_ {manganeso} {22} y \ cdots y del a_ {manganeso} del b_ {2q} \ \ \ vdots y \ vdots y \ ddots y \ vdots y y y \ vdots y \ vdots y \ ddots y \ de los vdots \ \ b_ del a_ {m1} {p1} y b_ del a_ {m1} {p2} y \ cdots y b_ del a_ {m1} {pq} y \ cdots y \ cdots y b_ del a_ {manganeso} {p1} y b_ del a_ {manganeso} {p2} y \ cdots y b_ del a_ {manganeso} {pq} \ extremo {bmatrix}. $

Ejemplos

$\backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; 1\; y\; 2\; \backslash \; \backslash \; 3\; y\; 4\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; 0\; y\; 5\; \backslash \; \backslash \; 6\; y\; 7\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}$

\ comenzar {el bmatrix} 1 \ cdot 0 y 1 \ cdot 5 y 2 \ cdot de 0 y de 2 \ cdot 5 \ \ 1 \ cdot 6 y 1 \ cdot 7 y 2 \ cdot de 6 y de 2 \ cdot 7 \ \ 3 \ cdot 0 y 3 \ cdot 5 y 4 \ cdot de 0 y de 4 \ cdot 5 \ \ 3 \ cdot 6 y 3 \ cdot 7 y 4 \ cdot de 6 y de 4 \ cdot 7 \ \ \ extremo {bmatrix}

\ comenzar {el bmatrix} 0 y 5 y 0 y 10 \ \ 6 y 7 y 12 y 14 \ \ 0 y 15 y 0 y 20 \ \ 18 y 21 y 24 y 28 \ extremo {bmatrix} .

$\backslash \; comienza\; \{el\; bmatrix\}\; a\_\; \{11\}\; y\; del\; a\_\; \{12\}\; \backslash \; \backslash \; a\_\; \{21\}\; y\; del\; a\_\; \{22\}\; \backslash \; \backslash \; a\_\; \{31\}\; y\; a\_\; \{32\}\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; comenzar\; \{el\; bmatrix\}\; b\_\; \{11\}\; y\; b\_\; \{12\}\; y\; del\; b\_\; \{13\}\; \backslash \; \backslash \; b\_\; \{21\}\; y\; b\_\; \{22\}\; y\; b\_\; \{23\}\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}$

\ comenzar {el bmatrix} del a_ {11} del b_ {11} y del b_ del a_ {11} {12} y del b_ del a_ {11} {13} y del b_ del a_ {12} {11} y del b_ del a_ {12} {12} y del b_ del a_ {12} {13} \ \ del a_ {11} del b_ {21} y del b_ del a_ {11} {22} y del b_ del a_ {11} {23} y del b_ del a_ {12} {21} y del b_ del a_ {12} {22} y del b_ del a_ {12} {23} \ \ del a_ {21} del b_ {11} y del b_ del a_ {21} {12} y del b_ del a_ {21} {13} y del b_ del a_ {22} {11} y del b_ del a_ {22} {12} y del b_ del a_ {22} {13} \ \ del a_ {21} del b_ {21} y del b_ del a_ {21} {22} y del b_ del a_ {21} {23} y del b_ del a_ {22} {21} y del b_ del a_ {22} {22} y del b_ del a_ {22} {23} \ \ del a_ {31} del b_ {11} y del b_ del a_ {31} {12} y del b_ del a_ {31} {13} y del b_ del a_ {32} {11} y del b_ del a_ {32} {12} y del b_ del a_ {32} {13} \ \ b_ del a_ {31} {21} y b_ del a_ {31} {22} y b_ del a_ {31} {23} y b_ del a_ {32} {21} y b_ del a_ {32} {22} y b_ del a_ {32} {23} \ extremo {bmatrix} .

Características

Bilinearity y associativity

El producto de Kronecker es un caso especial del producto de tensor, así que es el bilineario y el asociativo: $A\; \backslash \; otimes\; del\; (B+C)\; =\; A\; \backslash \; otimes\; B\; +\; A\; \backslash \; otimes\; C\; \backslash \; qquad,$ del$$
de (A+B) \ otimes C = A \ otimes C + B \ otimes C \ qquad, $del$
de (ka) \ otimes B = A \ otimes (kB) = k (A \ otimes B), $del$
de (A \ otimes B) \ otimes C = A \ otimes (B \ otimes C), donde están el A, el B y el C las matrices y el k es un escalar.

El producto de Kronecker no es el comutativo: el A del $\backslash \; otimes$ generalmente del A del $\backslash \; otimes$ del B y del B es diversas matrices. Sin embargo, el A del $\backslash \; otimes$ del B y del B del $\backslash \; otimes$ del A es equivalente de la permutación, significando que existen el P de las matrices de la permutación y el Q tales que $A\; \backslash \; otimes\; del\; B\; =\; P\; \backslash ,\; (B\; \backslash \; los\; otimes\; A)\; \backslash ,\; Q.$ Si el A y el B es matrices cuadradas, después el A del $\backslash \; otimes$ del B y del B del $\backslash \; otimes$ del A es incluso el similar de la permutación, significando que podemos tomar el P = el Q ^T.

La característica del mezclado-producto

Si el A, el B, el C y el D son matrices de tal tamaño que uno puede formar la CA y BD del de los productos de matriz, entonces $del\; (A\; \backslash \; otimes\; B)\; (C\; \backslash \; otimes\; D)\; =\; CA\; \backslash \; otimes\; BD.$ Esto se llama la característica del mezclado-producto del, porque mezcla el producto de matriz ordinario y el producto de Kronecker. Sigue que el B del $\backslash \; otimes$ del A es inversible si y solamente si el A de y el B son inversibles, en este caso lo contrario es dado por el $del\; (A\; \backslash \; otimes\; B)^\; \{-\; 1\}\; =\; A^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; los\; otimes\; B^\; \{-\; 1\}.$

Suma y exponenciación de Kronecker

Si es el A el n - por el n, B está el m - por el m y $I\_k$ denota el k - por matriz de identidad del k entonces podemos definir la suma, $\backslash \; oplus$ de Kronecker, por el $A\; \backslash \; oplus\; del\; B\; =\; A\; \backslash \; los\; otimes\; I\_m\; +\; I\_n\; \backslash \; otimes\; B.$ Tenemos la fórmula siguiente para la matriz exponencial que es útil en la evaluación numérica de los procesos de Markov de cierto Continuo-tiempo, e^ del $del\; \{A\; \backslash \; oplus\; B\}\; =\; e^A\; \backslash \; los\; otimes\; e^B.$

Espectro

Suponer que el A y el B son matrices cuadradas del n del tamaño y del q respectivamente. Dejar λ₁,…, el n del λ _{sea los valores propios A y μ1,…, el q} del μ <sub>sea los del B (enumerado según multiplicidad). Entonces los valores propios del B del $\backslash \; otimes$ del A son $del\; \backslash ,\; \backslash \; qquad\; i=1,\; \backslash \; ldots,\; \backslash ,\; del\; lambda\_i\; \backslash \; del\; mu\_j\; de\; n\; j=1,\; \backslash \; los\; ldots,\; Q.$ Él sigue que rastro y determinante de Kronecker producto son dado por

$\backslash \; operatorname\; \{tr\}\; (A\; \backslash \; =\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; A\; de\; los\; otimes\; B)\; \backslash ,\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; B\; \backslash \; patio\; \backslash \; mbox\; \{y\}\; \backslash \; patio\; \backslash \; det\; (A\; \backslash \; otimes\; B)\; =\; (\backslash \; det\; A)^q\; (\backslash \; det\; B)^n.$</sub>

Valores singulares

Si el A y el B es matrices rectangulares, después uno puede considerar su los valores singulares . Suponer que el A tiene valores singulares diferentes a cero del A del _{del r, \ qquad i = 1, \ ldots, r_A a saber del
$\backslash \; del\; sigma\_\; \{A,\; i\}.$ Semejantemente, denotar los valores singulares diferentes a cero del B por, \ qquad i = 1, \ ldots, r_B del $\backslash \; del\; sigma\_\; del\; \{B,\; i\}.$ Entonces el B del $\backslash \; otimes$ del A del producto de Kronecker tiene valores singulares diferentes a cero del B} del _{del r del A} del <sub>del r, \ qquad i=1, \ ldots, \, a saber del
$\backslash \; del\; sigma\_\; \{A,\; i\}\; \backslash \; del\; sigma\_\; \{B,\; j\}\; del\; r\_A\; j=1,\; \backslash \; los\; ldots,\; r\_B.$ Puesto que fila de matriz iguala número de diferente a cero singular valor, nosotros encuentran que

$\backslash \; operatorname\; \{fila\}\; (A\; \backslash \; =\; \backslash \; operatorname\; \{fila\}\; A\; de\; los\; otimes\; B)\; \backslash ,\; \backslash \; operatorname\; B.\; \{espeso\}$</sub>

Relación al producto de tensor abstracto

El producto de Kronecker de matrices corresponde al producto de tensor abstracto de mapas lineares. Específicamente, si el A de las matrices y el B representan de las transformaciones los V ₁ linear W ₂ del → del W ₁ y del V ₂ del → del, respectivamente, después el B del $\backslash \; otimes$ del A de la matriz representa el producto de tensor de los dos mapas, W ₂ del $\backslash \; otimes$ del W ₁ del → del V ₂ del $\backslash \; otimes$ del V ₁.

Relación a los productos de gráficos

El producto de Kronecker de las matrices de la adyacencia de dos gráficos es la matriz de la adyacencia del gráfico del producto de tensor. La suma de Kronecker de las matrices de la adyacencia de dos gráficos es la matriz de la adyacencia del gráfico del producto de cartesiano. Ver, contestar para ejercitar 96.

Transportar

La operación de la transposición es distributiva sobre el producto de Kronecker: $del\; (A\; \backslash \; otimes\; B)^T\; =\; A^T\; \backslash \; otimes\; B^T.$

Ecuaciones de la matriz

El producto de Kronecker se puede utilizar para conseguir una representación conveniente para algunas ecuaciones de la matriz. Considerar por ejemplo el AXB de la ecuación = el C, donde el A, el B y el C se dan matrices y el X de la matriz es el desconocido. Podemos reescribir esta ecuación como $del\; (B^\; \backslash tapa\backslash \; otimes\; A)\; \backslash ,\; \backslash \; operatorname\; \{vec\}\; (x)\; =\; \backslash \; =\; del\; operatorname\; \{vec\}\; (AXB)\; \backslash \; operatorname\; \{vec\}\; (c).$ Ahora sigue de las características del producto de Kronecker que el AXB de la ecuación = el C tiene una solución única si y solamente si el A y el B son no singulares.

Aquí, el vec ( X ) denota el vectorization X de la matriz formado apilando las columnas del X en un solo vector de la columna.

Si el X fila-se pide en el x del vector de la columna entonces el $AXB$ puede estar también se escriba como $(A\; \backslash \; otimes\; B^\; \backslash \; tapa)\; x$

Historia

El producto de Kronecker se nombra después Leopold Kronecker, aunque hay poca evidencia que él era el primer para definirla y para utilizar. De hecho, en el pasado Kronecker el producto a veces fue llamado la matriz de Zehfuss del, después Juan Jorge Zehfuss .

Operadores relacionados de la matriz

Dos operadores relacionados de la matriz son los productos de Tracy-Singh y de Khatri-Rao que funcionan encendido las matrices repartidas . Dejar la matriz $A$ de $m$-by-$n$ ser repartido en el $A\_\; de\; los\; bloques\; de$ m\_i$-by-$ n\_j$\{ij\}$ y la matriz $B$ de $p$-by-$q$ en el $p\_k$-by-$q\_l$ bloquea el kilolitro del _{del B con por supuesto el $\backslash \; el\; m\_i\; de\; Sigma\_i\; =\; m$, $\backslash \; n\_j\; de\; Sigma\_j\; =\; n$, $\backslash \; p\_k\; de\; Sigma\_k\; =\; p$ y $\backslash \; q\_l\; de\; Sigma\_l\; =\; q.$ entonces definimos el producto de Tracy-Singh para ser $A\; \backslash \; circ\; del\; B\; =\; (A\_\; \{\}\; \backslash \; circ\; B\; del\; ij)\; \_\; \{ij\}\; =\; ((A\_\; \{ij\}\; \backslash \; los\; otimes\; B\_\; \{kilolitro\})\; \_\; del\; \_\; \{kilolitro\})\; \{ij\}$ cuál significa que $(ij)$th subblock de $mp$-by-$nq$ producto $A\; \backslash \; circ\; B$ es $m\_i\; p$-by-$n\_j\; q$ matriz $A\_\; \{\}\; \backslash \; circ\; B$ del ij, cuyo el subblock del $(kilolitro)$th iguala el $A\_\; de\; la\; matriz\; del$ m\_i\; p\_k$-by-$ n\_j\; q\_l$\{ij\}\; \backslash \; los\; otimes\; B\_\; \{kilolitro\}$. Por ejemplo, si $A$ y $B$ ambos son matrices repartidas $2$-by-$2$ e.: $del\; A\; =\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; comenzar\; \{el\; arsenal\}\; \{c\; |\; c\}\; De\; A\_\; \{11\}\; y\; de\; A\_\; \{12\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; hline\; A\_\; \{21\}\; y\; A\_\; \{22\}\; \backslash \; extremo\; \{arsenal\}\; \backslash ]$}

derecho

\ se fue \ comenzar {el arsenal} {c c | c} 1 y 2 y 3 \ \ 4 y 5 y 6 \ \ \ hline 7 y 8 y 9 \ extremo {arsenal} \ derecho], \ patio B = \ se fue \ comenzar {el arsenal} {c | c} De B_ {11} y de B_ {12} \ \ \ hline B_ {21} y B_ {22} \ extremo {arsenal} \]

derecho

\ se fue \ comenzar {el arsenal} {c | c c} 1 y 4 y 7 \ \ \ hline 2 y 5 y 8 \ \ 3 y 6 y 9 \ extremo {arsenal} \ derecho], conseguimos:

$A\; \backslash \; circ\; B\; =\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; comenzar\; \{el\; arsenal\}\; \{c\; |\; c\}\; A\_\; \{11\}\; \backslash \; circ\; B\; y\; A\_\; \{12\}\; \backslash \; del\; circ\; B\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; hline\; A\_\; \{21\}\; \backslash \; circ\; B\; y\; A\_\; \{22\}\; \backslash \; circ\; B\; \backslash \; extremo\; \{arsenal\}\; \backslash ]$

derecho

\ se fue \ comenzar {el arsenal} {c | c | c | c} A_ {11} \ otimes B_ {11} y A_ {11} \ otimes B_ {12} y A_ {12} \ otimes B_ {11} y A_ {12} \ de los otimes de B_ {12} \ \ \ hline A_ {11} \ otimes B_ {21} y A_ {11} \ otimes B_ {22} y A_ {12} \ otimes B_ {21} y A_ {12} \ de los otimes de B_ {22} \ \ \ hline A_ {21} \ otimes B_ {11} y A_ {21} \ otimes B_ {12} y A_ {22} \ otimes B_ {11} y A_ {22} \ de los otimes de B_ {12} \ \ \ hline A_ {21} \ otimes B_ {21} y A_ {21} \ otimes B_ {22} y A_ {22} \ otimes B_ {21} y A_ {22} \ otimes B_ {22} \ extremo {arsenal} \ derecho]

$$

\ se fue \ comenzar {el arsenal} {c c | c c c c | c | c c} 1 y 2 y 4 y 7 y 8 y 14 y 3 y 12 y 21 \ \ 4 y 5 y 16 y 28 y 20 y 35 y 6 y 24 y 42 \ \ \ hline 2 y 4 y 5 y 8 y 10 y 16 y 6 y 15 y 24 \ \ 3 y 6 y 6 y 9 y 12 y 18 y 9 y 18 y 27 \ \ 8 y 10 y 20 y 32 y 25 y 40 y 12 y 30 y 48 \ \ 12 y 15 y 24 y 36 y 30 y 45 y 18 y 36 y 54 \ \ \ hline 7 y 8 y 28 y 49 y 32 y 56 y 9 y 36 y 63 \ \ \ hline 14 y 16 y 35 y 56 y 40 y 64 y 18 y 45 y 72 \ \ 21 y 24 y 42 y 63 y 48 y 72 y 27 y 54 y 81 \ extremo {arsenal} \ derecho]

El producto de Khatri-Rao se define como $A\; \backslash \; ast\; del\; B\; =\; (A\_\; \{ij\}\; \backslash \; los\; otimes\; B\_\; \{ij\})\; \_\; \{ij\}$ en cuál es el producto el bloque del $(ij)$th de $m\_ip\_i$-by-$n\_jq\_j$-sized Kronecker de los bloques correspondientes de $A$ y de $B$, si se asume que “el número horizontal” y “vertical” de subblocks de ambas matrices es igual. El tamaño del producto es entonces $\backslash \; Sigma\_i\; m\_ip\_i$-by-$\backslash \; Sigma\_j\; n\_jq\_j$. Procedimiento con las mismas matrices que el ejemplo anterior obtenemos:

$A\; \backslash \; ast\; B\; =\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; comenzar\; \{el\; arsenal\}\; \{c\; |\; c\}\; A\_\; \{11\}\; \backslash \; otimes\; B\_\; \{11\}\; y\; A\_\; \{12\}\; \backslash \; de\; los\; otimes\; de\; B\_\; \{12\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; hline\; A\_\; \{21\}\; \backslash \; otimes\; B\_\; \{21\}\; y\; A\_\; \{22\}\; \backslash \; otimes\; B\_\; \{22\}\; \backslash \; extremo\; \{arsenal\}\; \backslash ]$

derecho

\ se fue \ comenzar {el arsenal} {c c | c c} 1 y 2 y 12 y 21 \ \ 4 y 5 y 24 y 42 \ \ \ hline 14 y 16 y 45 y 72 \ \ 21 y 24 y 54 y 81 \ extremo {arsenal} \ derecho]

Un producto columna-sabio de Kronecker, también llamado el producto de Khatri-Rao de dos matrices asume las particiones de las matrices como sus columnas. En este caso $m\_1=m$, $p\_1=p$, $n=q$ y $\backslash \; forall\; j:\; n\_j=p\_j=1$. El producto resultante es una matriz de $mp$-by-$n$ cuyo cada columna es el producto de Kronecker de las columnas correspondientes de $A$ y de $B$. Podemos utilizar solamente las matrices de los ejemplos anteriores si cambiamos las particiones:

$C\; =\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; comenzar\; \{el\; arsenal\}\; \{c\; |\; c\; |\; c\}\; C\_1\; y\; C\_2\; y\; C\_3\; \backslash \; extremo\; \{arsenal\}\; \backslash ]$

derecho

\ se fue \ comenzar {el arsenal} {c | c | c} 1 y 2 y 3 \ \ 4 y 5 y 6 \ \ 7 y 8 y 9 \ extremo {arsenal} \ derecho], \ patio D = \ se fue \ comenzar {el arsenal} {c | c | c} D_1 y D_2 y D_3 \ extremo {arsenal} \]

derecho

\ se fue \ comenzar {el arsenal} {c | c | c} 1 y 4 y 7 \ \ 2 y 5 y 8 \ \ 3 y 6 y 9 \ extremo {arsenal} \ derecho], de modo que:

$C\; \backslash \; ast\; D$

\ se fue \ comenzar {el arsenal} {c | c | c} C_1 \ otimes D_1 y C_2 \ otimes D_2 y C_3 \ otimes D_3 \ extremo {arsenal} \]

derecho

\ se fue \ comenzar {el arsenal} {c | c | c} 1 y 8 y 21 \ \ 2 y 10 y 24 \ \ 3 y 12 y 27 \ \ 4 y 20 y 42 \ \ 8 y 25 y 48 \ \ 12 y 30 y 54 \ \ 7 y 32 y 63 \ \ 14 y 40 y 72 \ \ 21 y 48 y 81 \ extremo {arsenal} \ derecho]

.

Zenithic

Gull Lake (Michigan)

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