En las matemáticas, especialmente la teoría de grupo, el producto de Zappa-Szep del (también conocido como el producto del knit del ) describe una manera de la cual un grupo se pueda construir a partir de dos subgrupos él es una generalización los productos semidirectos directos de y

Productos internos de Zappa-Szep

Dejar el G ser un grupo con el e del elemento de identidad, y dejar el H y el K ser subgrupos del G . Las declaraciones siguientes son equivalentes:
G = &cap del HK y del H ; K = { e }
Para cada g en el G, existe un único h en el H y un único k en el K tales que g = HK . Si cualquiera (y por lo tanto ambos) de estas declaraciones se sostiene, después el G reputa un producto interno de Zappa-Szep del del H y del K .

Ejemplos

Dejar el G = el GL ( n, C ), el grupo linear general de las matrices inversibles del × n del n sobre los números complejos para cada A de la matriz en el G, la descomposición QR afirma que existe un único Q de la matriz unitaria y un superior R de la matriz triangular único con las entradas verdaderas positivo en el principal diagonal tales que el A = el QR . Así el G es un producto de Zappa-Szep del unitario U ( n ) del grupo y del K del grupo (decir) de matrices triangulares superiores con las entradas diagonales positivas.

Uno de los ejemplos más importantes de esto es el teorema 1937 de Pasillo en la existencia de los sistemas de Sylow para los grupos solubles. Esto demuestra que cada grupo soluble es un producto de Zappa-Szep de un subgrupo del p'- de Pasillo y de un p-subgrupo de Sylow, y de hecho que el grupo es producto de a (factor múltiple) Zappa-Szep de cierto sistema de los representantes de sus subgrupos de Sylow.

En 1935, Miller demostró que cualquier grupo transitivo no-regular de la permutación con un subgrupo regular es un producto de Zappa-Szep del subgrupo regular y de un estabilizador del punto.11) y el grupo de alternancia del grado 5 como ejemplos, y por supuesto cada grupo de alternancia de grado primero es un ejemplo. Este mismo papel da un número de ejemplos de los grupos que no pueden ser observados como productos de Zappa-Szep de subgrupos apropiados, tales como el grupo del quaternion y el grupo de alternancia del grado 6.

Productos externos de Zappa-Szep

Como con los productos directos y semidirectos, hay una versión externa del producto de Zappa-Szep para los grupos que no son el sabido a priori a ser subgrupos de un grupo dado. Para motivar esto, dejar el G = el HK ser un producto interno de Zappa-Szep del H de los subgrupos y del K del G del grupo. Para cada k en el K y cada h en el H, existen α ( k, h ) en el H y el β ( k, h ) en el K tales que el KH = β del α ( k, h ) ( k, h ). Esto define el α de los mappings : H del → del H del × del K y β: K del → del H del × del K que resultan tener las características siguientes:

para cada k en el K, el α de trazado del $\backslash \; mapsto$ del h ( k, h ) es un Bijection del H .
Para cada h en el H, el β de trazado del $\backslash \; mapsto$ del k ( k, h ) es un bijection del K .
α ( e, h ) = h y β ( k, e ) = k para todo el h en el H y el k en el K .
α ( k ₂ del k ₁, h) = α ( k ₁, α ( k ₂, h))
β ( h ₂ del k, del h ₁) = β (β ( k, h ₂), h ₁)
α ( h ₂ del k, del h ₁) = α del α ( k, h ₁) (β ( k, h ₁), h ₂)
β ( k ₂ del k ₁, h) = β ( k ₁, β del α ( k ₂, h)) ( k ₂, h)

para todo el h ₁, h ₂ en el H, k ₁, k ₂ en el K .

Dando vuelta a esto alrededor, suponer el H y el K son grupos (y dejar el e denotar el elemento de identidad de cada grupo) y suponen que existen α de los mappings: H del → del H del × del K y β: K del → del H del × del K que satisface las características arriba. En el K del × del H del producto de cartesiano, definir una multiplicación y una inversión que trazan cerca, respectivamente,

(h₁, k₁) (h₂, k₂) = (α de h₁ (k₁, h₂), β (k₁, h₂) k₂)
(h, k)^{− 1} = (α (k^{− 1}, h^{− 1}), β (k^{− 1}, h^{− 1}))

Entonces el K del × del H es un grupo llamado el producto externo de Zappa-Szep del del H de los grupos y del K . El × del H de los subconjuntos { e } y {el e } el K del × son el isomorfo de los subgrupos al H y el K, respectivamente, y el K del × del H es, de hecho, un producto interno de Zappa-Szep del × del H { e } y {el e } el K del ×.

Relación a los productos semidirectos y directos

Dejar el G = el HK ser un producto interno de Zappa-Szep del H de los subgrupos y del K . Si el H es el normal en el G, después el α y el β de los mappings se dan cerca, respectivamente, α ( k, h ) = ^{&minus del k h k ; 1} y β ( k, h ) = k . En este caso, el G es un producto semidirecto interno del H y del K .

Si, además, el K es normal en el G, entonces α ( k, h ) = el h . En este caso, el G es un producto directo interno del H y del K .