En las matemáticas, el producto de cartesiano del es un producto directo de sistemas. El producto de cartesiano se nombra después René Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio lugar a este concepto.

Específicamente, el producto de cartesiano dos del X (por ejemplo los puntos de los sistemas en un x-axis) y del Y (por ejemplo los puntos en un y-axis), denotado Y del × del X, es el sistema de todos los pares pedidos posible cuyo primer componente sea un miembro del X y cuyo segundo componente sea un miembro del Y (e. el conjunto del plano x-y): = \ {del $X\; \backslash \; delos\; tiemposdel$

l Y (x, y) | x \ en X \; \ mathrm {y} \; y \ en Y \}.

Por ejemplo, el producto de cartesiano del sistema del trece-elemento de la tarjeta que juega estándar alinea {el as, rey, reina, Gato, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} y el sistema four-element de los juegos de la tarjeta {♠, ♥, ♦, ♣} es el sistema de elemento 52 de las tarjetas que juegan {(as, ♠), (rey, ♠),…, (2, ♠), (as, ♥),…, (3, ♣), (2, ♣)}. El producto de cartesiano tiene 52 elementos porque ése es el producto de 13 por 4.

Un producto de cartesiano de dos sistemas finitos se puede representar por una tabla, con un sistema como las filas y el otro como las columnas, y la formación de los pares pedidos, de las células de la tabla, eligiendo el elemento del sistema de la fila y de la columna.

producto n-ary

El producto de cartesiano se puede generalizar al n - producto de cartesiano ary sobre el X ₁ de los sistemas del n ,…, el X_n :

$X\_1\; del\; \backslash \; épocas\; \backslash \; cdots\; \backslash \; =\; \backslash \; \{de\; X\_n\; de\; las\; épocas\; (x\_1,\; \backslash \; ldots,\; x\_n)\; \backslash \; mediados\; de\; x\_1\; \backslash \; en\; X\_1\; \backslash ;\; \backslash \; mathrm\; \{y\}\; \backslash ;\; \backslash \; cdots\; \backslash ;\; \backslash \; mathrm\; \{y\}\; \backslash ;\; x\_n\; \backslash \; en\; X\_n\; \backslash \}.$

De hecho, puede ser (el X_n-1 del × del × del X ₁…) el identificado X_n del ×. Es un sistema de los tuples '' n '' -

Cuadrado cartesiano y energía cartesiana

El cuadrado cartesiano (o el producto de cartesiano binario del ) de un X del sistema es el X del producto de cartesiano ² = el X del × del X . Un ejemplo es el de 2 dimensiones R² del plano = los × del R ; El R donde está el sistema el R de los números verdaderos - todos los puntos ( x, y ) donde están números el x y el y verdaderos (véase el sistema coordinado de cartesiano).

La energía cartesiana del de un determinado X se puede definir como: n del ^{del X del}

l = × del X del × del X . X del × = $\backslash \; \{(x\_1,\; \backslash \; ldots,\; x\_n)|\; x\_1\; \backslash \; en\; X\; \backslash ;\; \backslash \; mathrm\; \{y\}\; \backslash ;\; \backslash \; ldots\; \backslash ;\; \backslash \; mathrm\; \{y\}\; \backslash ;\; x\_n\; \backslash \; en\; X\; \backslash \}.$

Un ejemplo de esto es el R³ = los × del R ; × del R ; R, con el R otra vez el sistema de números verdaderos, y más generalmente del n de R ^{del .}

Ver también:
Espacio euclidiano

Productos infinitos

La definición antedicha es generalmente toda que es necesario para los usos matemáticos mas comunes. Sin embargo, es posible definir el producto de cartesiano sobre (posiblemente el infinito) una colección arbitraria de sistemas. Si el I es cualquier sistema de índice, y $del$

l \ {X_i \ | i \ adentro I \}

es una colección de sistemas puestos en un índice por el I, después definimos = \ {de X_i del $\backslash \; del\; prod\_\; del$

l {i \ adentro I} f: I \ \ bigcup_ {i \ adentro I} X_i \ |\ (\ forall i) (f () \ en de i) \} de X_i,

es decir, el sistema de todas las funciones definió en el sistema de índice tales que el valor de la función en un particular i del índice es un elemento del   del X_i ;.

Para cada j en el I, el $del\; de\; la\; función\; \backslash \; pi\_\; \{j\}:\; \backslash \; prod\_\; \{i\; \backslash \; adentro\; I\}\; X\_i\; \backslash \; a\; X\_\; \{j\},$ definido por el $\backslash \; el\; pi\_\; \{j\}\; (f)\; =\; f\; del\; (j),\; \backslash ,$ se llama el   del j del ; mapa de la proyección de ^th.

Un n - el tuple se puede ver como función en {1, 2,…, n } ese toma su valor en el i para ser el   del i ; elemento de ^th del tuple. Por lo tanto, cuando es el I {1, 2,…, n } esta definición coincide con la definición para el caso finito. En el caso infinito esto es una familia .

Un caso infinito particular y familiar es cuando el sistema de índice es $\backslash \; el\; mathbb\; N,$ los números naturales : éste es apenas el sistema de todas las secuencias infinitas con el   del i ; término de ^th en su determinado correspondiente X_i  . De nuevo, el $\backslash \; el\; mathbb\; R$ proporciona un ejemplo de esto: $del$

l \ ^ del prod_ {n = 1} \ infty \ mathbb R = \ ^ \ omega= \ mathbb R \ épocas \ mathbb R \ épocas \ cdots del mathbb {R}

es la colección de secuencias infinitas de números verdaderos, y se visualiza fácilmente como un vector o tuple con un número infinito de componentes. Otro caso especial (el ejemplo antedicho también satisface esto) es cuando todo el X_i de los factores implicado en el producto es igual, siendo como " Exponentiation." cartesiano; Entonces la unión grande en la definición es apenas el sistema sí mismo, y la otra condición se satisface trivial, así que éste es apenas el sistema de todas las funciones de del I al X.

Si no, el producto de cartesiano infinito es menos intuitivo; sin embargo objeto de valor en sus usos a matemáticas más altas.

La aserción que el producto de cartesiano de una colección arbitraria de sistemas no vacíos es no vacío es equivalente al axioma de la opción .

Forma abreviada

Si varios sistemas se están multiplicando juntos, e. $X\_1,\; X\_2,\; X\_3,\dots$, después algunos autores eligen abreviar el producto de cartesiano como simplemente el $\backslash \; épocas\; X\_i$.

Producto de cartesiano de funciones

Si el f es una función del A a el B y el g es una función del X al Y, sus × del f del producto de cartesiano del ; el g es una función de × del A ; X a los × del B ; Y con el $del\; (f\; \backslash \; épocas\; g)\; (a,\; x)\; =\; (f\; (a),\; g\; (x))$

Como sobre esto puede ser extendido a los Tuples y a las colecciones infinitas de funciones.

Teoría de la categoría

Aunque el producto de cartesiano se aplique tradicionalmente a los sistemas, la teoría de la categoría proporciona una interpretación más general del producto de estructuras matemáticas.

Ver también

Relación binaria
Producto vacío
Producto (teoría) de la categoría
Topología del producto
Relación (matemáticas)
Ultraproduct

.

Zenithic

Asgard II

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