En las matemáticas, el producto de tensor del, denotado por el $\backslash \; otimes$, se puede aplicar en diversos contextos a las matrices, álgebra, espacios de vector topológicos de los vectores de los espacios de vector de los tensores y los módulos en cada caso la significación del símbolo son iguales: la operación bilinearia más general. En algunos contextos, este producto también se refiere como producto externo del . El " del término; product" del tensor; también se utiliza en lo referente a las categorías monoidal .

Ejemplo del :

$\backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; comenzar\; \{bmatrix\}\; \backslash \; b\_2\; \backslash \; \backslash \; b\_3\; \backslash \; b\_1\; \backslash \; \backslash \; b\_4\; \backslash \; extremo\; \{el\; bmatrix\}\; \backslash \; comenzar\; \{bmatrix\}\; a\_1\; y\; a\_2\; y\; a\_3\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}\; =\; \backslash \; comenzar\; \{bmatrix\}\; \backslash \; a\_1b\_2\; y\; a\_2b\_2\; y\; a\_3b\_2\; \backslash \; \backslash \; a\_1b\_3\; y\; a\_2b\_3\; y\; a\_3b\_3\; \backslash \; a\_1b\_4\; y\; a\_2b\_4\; y\; a\_3b\_4\; \backslash \; extremo\; de\; a\_1b\_1\; y\; de\; a\_2b\_1\; y\; \backslash \; de\; a\_3b\_1\; \backslash \; \{bmatrix\}$

Fila del resultado = 2, dimensión resultante = 4× 3 = 12.

Aquí la fila denota la fila (número del tensor de índices indispensables), mientras que la dimensión cuenta el número de grados de libertad en el arsenal resultante; la fila de la matriz es 1.

Un caso representativo es el producto de Kronecker de cualquier dos órdenes rectangulares, considerado como matrices. Un producto de dos días es el caso especial del producto de tensor entre dos vectores de la misma dimensión.

Producto de tensor de dos tensores

Hay una fórmula general para los componentes de un producto de dos (o más) tensores por ejemplo, si el U y el V es dos tensores de la covariante espeso m y del n (respectivamente), después los componentes de su producto de tensor se dan cerca _ del $del$

l (V \ otimes U) {… i_ i_1i_2 {m+n}} = V_ {… i_n i_1i_2i_3} U_ {i_ del i_ del i_ {n+1} {n+2}… {n+m}} . Así, los componentes del producto de tensor de dos tensores son el producto ordinario de los componentes de cada tensor.

Observar que en el producto de tensor, el U del factor consume los primeros índices de la fila ( U ), y el V del factor consume (el V ) los índices espesos siguientes, así que el $del\; \backslash \; el\; mathrm\; \{fila\}\; (U\; \backslash \; otimes\; V)=\; \backslash \; mathrm\; (U)+\; \{espeso\}\; \backslash \; mathrm\; (V)$ {espeso}

Ejemplo

Dejar el U ser un tensor del tipo (1.1) con el U^{&alpha de los componentes;} _β , y dejan el V sean un tensor del tipo (1.0) con el V^{&gamma de los componentes;} . Entonces $U^\; \backslash \; \{\}\; \_\; alfa\; \backslash \; V^\; beta\; \backslash gammadel\; =\; (U\; \backslash \; otimes\; V)^\; \backslash \; \{\}\; \_\; alfa\; \backslash \; \{\}\; ^\; \backslash \; gamma\; beta$ y _ \ sigma de V^ \ MU U^ \ NU del $del\; \{\}\; =\; (\_\; de\; U)^\; de\; V\; \backslash \; de\; los\; otimes\; \{\backslash \; MU\; \backslash \; NU\}\; \{\}\; \backslash \; sigma$.

El producto de tensor hereda todos los índices de sus factores. ¡siendo clases de álgebra del tensor de las estructuras de datos entonces se podrían pensar en ser, hasta cierto punto, " " orientado al objeto ;.) -->

Ver también: Tratamiento clásico de los tensores

Producto de Kronecker de dos matrices

Artículo principal del : Producto de Kronecker.

Con las matrices esta operación generalmente se llama el producto de Kronecker del, un término usado para hacer claramente que el resultado tiene una estructura de bloque particular impuesta ante él, en el cual cada elemento de la primera matriz es substituido por la segunda matriz, escaló por ese elemento. Para las matrices $U$ y $V$ esto está: $U\; \backslash \; otimes\; del$

l V = \ comenzar {el u_ del bmatrix} {11} V y el u_ {12} V y \ de los cdots \ \ u_ {21} V y del u_ {22} V \ \ \ vdots y y \ ddots \ extremo {bmatrix} = \ comenzar {el bmatrix} v_ del u_ {11} {11} y v_ del u_ {11} {12} y \ cdots y v_ del u_ {12} {11} y v_ del u_ {12} {12} y \ de los cdots \ \ v_ del u_ {11} {21} y v_ del u_ {11} {22} y y del u_ {12} del v_ {21} y del v_ del u_ {12} {22} \ \ \ vdots y y \ de los ddots \ \ del u_ {21} del v_ {11} y del v_ del u_ {21} {12} \ \ del u_ {21} del v_ {21} y del v_ del u_ {21} {22} \ \ \ vdots \ extremo {bmatrix} .

Producto de tensor de mapas multilineares

El dado multilinear traza el $f\; (x\_1,\dots \; x\_k)$ y el $g\; (x\_1,\dots \; x\_m)$ su producto de tensor es el =f multilinear del $del\; de\; la\; función\; (f\; \backslash \; otimes\; g)\; (x\_1,\dots ,\; x\_\; \{k+m\})\; (x\_1,\dots ,\; x\_k)\; g\; (x\_\; \{k+1\},\dots ,\; x\_\; \{k+m\})$

Producto de tensor de los espacios de vector

El $V\; del\; producto\; de\; tensor\; \backslash \; los\; otimes\; W$ dos del V de los espacios de vector y del W sobre un campo $K$ tiene una definición formal por el método de los generadores y de las relaciones del . La clase de equivalencia bajo estas relaciones (dadas abajo) del $(v,\; w)$ se llama un tensor del y es denotado por el $v\; \backslash \; los\; otimes\; w$. Por la construcción, una puede probar varias identidades entre los tensores y formar una álgebra de tensores.

Para construir el $V\; \backslash \; los\; otimes\; W$, tomar un espacio de vector sobre $K$ con el $V\; \backslash \; las\; épocas\; W$ de la base y aplicar (descomponer en factores hacia fuera el subespacio generado cerca) las relaciones multilineares siguientes:
$del$

(v_1+v_2) \ otimes w=v_1 \ otimes w+v_2 \ otimes w
=v del $v\; \backslash \; de\; los\; otimes\; (w\_1+w\_2)\; \backslash \; otimes\; w\_1+v\; \backslash \; otimes\; w\_2$
w=v del $cv\; \backslash \; de\; los\; otimes\; \backslash \; cw=c\; de\; los\; otimes\; (v\; \backslash \; otimes\; w)$

donde está vectores el $v,\; v\_i,\; w,\; w\_i$ de los espacios apropiados, y $c$ es del campo subyacente $K$.

Podemos entonces derivar la identidad

$0v\; del\; \backslash \; w=v\; de\; los\; otimes\; \backslash \; otimes\; 0w=0\; (v\; \backslash \; otimes\; w)=0$,

el cero en el $V\; \backslash \; los\; otimes\; W$.

El $V\; del\; producto\; de\; tensor\; \backslash \; los\; otimes\; resultantes\; W$ es sí mismo un espacio de vector, que puede ser verificado directo comprobando los axiomas del espacio de vector. $dado\; de\; las\; bases\; \backslash \; \{v\_i\; \backslash \}$ y $\backslash \; \{w\_i\; \backslash \}$ para el V y el W respectivamente, los tensores del $v\_i\; \backslash \; de\; los\; otimes\; w\_j$ de la forma forma una base para el $V\; \backslash \; los\; otimes\; W$. La dimensión del producto de tensor por lo tanto es el producto de dimensiones de los espacios originales; el ^m por ejemplo del $\backslash \; del\; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; los\; otimes\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^n$ tendrán dimensión $mn$.

Característica universal del producto de tensor

El producto de tensor es caracterizado por una característica universal . Considerar el problema de encajar los × del V del producto de cartesiano; W en un X del espacio de vector vía un &phi bilineario del del mapa; . Los &otimes del V de la construcción del producto de tensor; W, junto con el &phi de encajadura natural del del mapa; : × del V ; &rarr del W ; &otimes del V ; W dado cerca $del$

l \ varphi (u, w)= u \ otimes w, es el " universal" solución a este problema en el sentido siguiente. Para cuaesquiera otros tales pares ( X, &psi del ; ), donde está un espacio el X de vector, y ψ × de trazado bilinearios del V un ; &rarr del W ; El X, allí existe un mapa linear único del

$T\; :\; V\; \backslash \; otimes\; W\; \backslash \; rightarrow\; X$

tales que $\backslash \; PSI\; =\; T\; \backslash \; circ\; \backslash \; varphi.$ del

l

Si se asume que esta característica universal, puede ser verificado fácilmente que el producto de tensor es único hasta isomorfismo.

Una consecuencia inmediata es la identificación de $B\; del$

l (V \ épocas W, X),

los mapas bilinearios de × del V ; W al X y a los mapas lineares $L\; del$

l (V \ otimes W, X).

El isomorfismo natural traza &psi del ; al T .

¡Producto de tensor de los espacios de Hilbert espacio de Hilbert -->

El producto de tensor de los dos espacios de Hilbert es otro espacio de Hilbert, que se define como descrito más abajo.

Definición

La discusión ha sido hasta ahora puramente algebraica. A la luz de la estructura adicional en los espacios de Hilbert, uno quisiera introducir un producto interno, y por lo tanto una topología, en el producto de tensor que se presentan naturalmente de los de los factores. Let  And  del H ₁; El H ₂ sea los dos espacios de Hilbert con, \ cdot \, \ cdot \ rangle_2 de rangle_1 del $\backslash \; del\; langle\; \backslash \; del\; cdot\; de\; los\; productos\; internos\; y\; del$ \backslash \; del\; langle\; \backslash \; del\; cdot,\; respectivamente.\; Construir\; el\; of \; del\; producto\; de\; tensor;\; And \; del\; H$$₁; H ₂ como espacios de vector según lo explicado arriba. Nosotros puede dar vuelta este vector espacio tensor producto en interno producto espacio por definiendo

$\backslash \; langle\; \backslash \; phi\_1\; \backslash \; otimes\; \backslash \; phi\_2,\; \backslash \; psi\_1\; \backslash \; otimes\; \backslash \; psi\_2\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; phi\_1,\; \backslash \; psi\_1\; \backslash \; rangle\_1\; \backslash ,\; \backslash \; langle\; \backslash \; phi\_2,\; \backslash \; psi\_2\; \backslash \; rangle\_2\; \backslash \; patio\; \backslash \; mbox\; \{para\; todos\}\; \backslash \; phi\_1,\; \backslash \; psi\_1\; \backslash \; en\; H\_1\; \backslash \; mbox\; \{y,\}\; \backslash \; phi\_2\; \backslash \; psi\_2\; \backslash \; en\; H\_2$ y extendiendo por linearidades. Que este producto interno es el natural es justificado por la identificación de mapas bilinearios escalar-valorados en × del H ₁; H ₂ y functionals lineares en su producto de tensor del espacio de vector. Finalmente, tomar la terminación debajo de este producto interno. El espacio de Hilbert resultante es el producto de tensor del   And  del H ₁; H ₂.

Características

If  And  del H ₁; El H ₂ tiene bases ortonormales {φ k del _{} y {ψ l} del _{}, respectivamente, entonces {φ k}   del _{; ⊗   ψ el l} del _{} es una base ortonormal para el H 1  ⊗   H 2.}

Ejemplos y usos

Los ejemplos siguientes demuestran cómo se presentan los productos de tensor naturalmente.

Dos dado X de los espacios de medida y Y, con &mu de las medidas; and  ν respectivamente, uno puede mirar el L ² (  del X ; ×   Y ), el espacio de funciones en   del X ; ×   Y que es integrable cuadrado con respecto al &mu de la medida del producto;   ×   ν. Si el f es una función integrable cuadrada en el X, y el g es una función integrable cuadrada en el Y, después podemos definir un h de la función en   del X ; ×   Y por el   del h ( x, y ); =    del f ( x ); g ( y ). La definición de la medida del producto se asegura de que todas las funciones de esta forma sean integrables cuadrado, así que ésta define un bilineario que traza el   de L² ( X ); ×     de L² ( Y ); →   L² (  del X ; ×   Y ). Combinaciones lineares de funciones del   del f ( x ) de la forma; el g ( y ) está también en L² (  del X ; ×   Y ). Resulta que el sistema de combinaciones lineares es de hecho denso en L² (  del X ; ×   Y ), si L² ( X ) y L² ( Y ) son separables. Esto demuestra que   de L² ( X ); ⊗   L² ( Y ) es el isomorfo a L² (  del X ; ×   El Y ), y él también explica porqué necesitamos tomar la terminación en la construcción del producto de tensor del espacio de Hilbert.

Semejantemente, podemos demostrar que L² ( X ;   H ), denotando el espacio del   cuadrado del X de las funciones integrables; →   El H, es isomorfo al   de L² ( X ); ⊗   H si este espacio es separable. El isomorfismo traza el   del f ( x ); ⊗   φ   ∈     de L² ( X ); ⊗   &phi del H a del f ( x );   ∈   L² ( X ;   H ). Podemos combinar esto con el ejemplo anterior y concluir que   de L² ( X ); ⊗   L² ( Y ) y L² (  del X ; ×   El Y ) es ambo isomorfo a L² ( X ;   L² ( Y )).

Los productos de tensor de los espacios de Hilbert se presentan a menudo en los mecánicos de Quantum . Si una cierta partícula es descrita por el space  de Hilbert; El H ₁, y otra partícula es by  descrito; El H ₂, entonces el sistema que consiste en ambas partículas es descrito por el of  del producto de tensor; And  del H ₁; H ₂. Por ejemplo, el espacio de estado de un oscilador armónico de Quantum es L² ( R ), así que el espacio de estado de dos osciladores es   de L² ( R ); ⊗   L² ( R ), que es isomorfo a L² ( R ²). Por lo tanto, el sistema de la dos-partícula es descrito por las funciones de onda del &phi de la forma; ( x ₁,   x ₂). Un ejemplo más intrincado es proporcionado por los espacios de Fock que describen un número variable de partículas.

Relación con el espacio dual

En la discusión sobre la característica universal, el reemplazo del X por el campo escalar subyacente del V y del W rinde ese el $del\; espacio\; (V\; \backslash \; los\; otimes\; W)^\; \backslash \; star$ (el espacio dual del $V\; \backslash \; de\; los\; otimes\; W$, conteniendo todos los functionals lineares en ese espacio) se identifica naturalmente con el espacio de todos functionals bilinearios el el $V\; \backslash \; las\; épocas\; W$. Es decir cada funcional bilineario es un funcional en el producto de tensor, y viceversa.

Siempre que $V$ y $W$ sean dimensionales finito, han un isomorfismo natural entre el $V^\; \backslash estrella\backslash \; otimes\; W^\; \backslash \; estrella$ y el $(V\; \backslash \; otimes\; W)^\; \backslash \; star$, mientras que para los espacios de vector de la dimensión arbitraria tenemos solamente un $V^\; \backslash \; una\; estrella\; \backslash \; otimes\; W^\; \backslash \; estrella\; \backslash \; subconjunto\; (V\; \backslash \; otimes\; W)^\; \backslash \; star$ de la inclusión. Así pues, los tensores de los functionals lineares son functionals bilinearios. Esto nos da una nueva manera de mirar el espacio de functionals bilinearios, como tensor producto sí mismo.

Tipos de tensores, e., alternancia

Subespacios lineares del bilineario los operadores (o generalmente operadores multilineares) determinan los espacios de cociente naturales del espacio del tensor, que son con frecuencia útiles. Ver el producto de cuña para el primer ejemplo del comandante. Otro sería el tratamiento de las formas algebraicas como tensores simétricos.

Sobre anillos más generales

El $\backslash \; otimes\_R$ de la notación refiere a un producto de tensor de los módulos sobre un R del anillo .

Producto de tensor para los informáticos

Lenguajes de programación del arsenal

Los lenguajes de programación del arsenal pueden tener este patrón incorporado. Por ejemplo, en el APL el producto de tensor se expresa como $\backslash \; circ.\; \backslash \; times$ (por ejemplo $A\; \backslash \; circ.\; \backslash \; épocas\; B$ o $A\; \backslash \; circ.\; En\; el\; J\; el\; producto\; de\; tensor\; es\; la\; forma\; de\; dos\; días\; del\; *\; (por\; ejemplo\; a\; *\; b\; o\; del\; a\; *\; b\; *\; c\; ).$

Observar que el tratamiento del j también permite la representación de algunos campos de tensor (mientras que el un y el b pueden ser funciones en vez de constantes -- el resultado es entonces una función derivada, y si el un y el b son el diferenciable, después el a*/b es diferenciable).

Sin embargo, estas clases de notación no están universal presentes en idiomas de arsenal. Otras idiomas de arsenal pueden requerir el tratamiento explícito de índices (por ejemplo, Matlab ), y/o pueden no apoyar las funciones higher-order tal como el derivado (por ejemplo, FORTRAN /APL de Jacobian).

Zenithic

Indigofera rothii

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