Producto directo - Enciclopedia España

En las matemáticas, uno puede definir a menudo un producto directo de objetos sabido ya, dando un nuevo. Los ejemplos son el producto de sistemas (véase el producto de cartesiano ), grupos (descritos más abajo), el producto de los anillos y de otras estructuras algebraicas . El producto de los espacios topológicos es otro caso.

Ejemplos

si pensamos en el $\ el mathbb {R}$ pues el determinado de números verdaderos, después el $\ mathbb {R}$ es exacto apenas el producto de cartesiano, $\ {(x, y) | x, y \ en \ mathbb {} \} de R$ .

si pensamos en el $\ el mathbb {R}$ como el grupo de números verdaderos debajo del addtion, después el $del producto directo \ el mathbb {R} \ los tiempos \ mathbb {R}$ todavía consiste en el $\ {(x, y) | x, y \ en \ mathbb {} \} de R$ . La diferencia entre esto y el ejemplo precedente es que el $\ el mathbb {R} \ los tiempos \ mathbb {R}$ ahora es un grupo. Tenemos que también decir cómo agregar sus elementos. Esto es hecha dejando el $(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)$ .

si pensamos en el $\ el mathbb {R}$ como el anillo de números verdaderos, después el $\ el mathbb {R} \ los tiempos \ mathbb {R}$ consiste en otra vez el $\ {(x, y) | x, y \ en \ mathbb {} \} de R$ . Para hacer esto un anillo, decimos cómo se agregan sus elementos, el $(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)$ , y cómo son el $multiplicado (a, b) (c, d) = (CA, BD)$ .
¡

sin embargo, si pensamos en el $\ el mathbb {R}$ como el campo de números verdaderos, después el $del producto directo \ el mathbb {R} \ los tiempos \ mathbb {R}$ no existe! Ingenuo definición del $\ {(x, y) | x, y \ en \ el mathbb {} \} de R$ de una manera similar a los ejemplos antedichos no daría lugar a un campo puesto que el $del elemento (1.0)$ no tiene lo contrario multiplicativo.

De una manera similar, podemos hablar del producto de más de dos objetos, e. $\ mathbb {R} \ épocas \ mathbb {R} \ épocas \ mathbb {R} \ épocas \ mathbb {R}$ . Podemos incluso hablar del producto infinitamente de muchos objetos, e. $\ mathbb {R} \ épocas \ mathbb {R} \ épocas \ mathbb {R} \ épocas \ dotsb$ .

Producto directo del grupo

En la teoría de grupo uno puede definir el producto directo de dos grupos ( G, *) y ( H, o), denotado por los × de G del ; H . Los grupos abelianos que se escriben aditivo, puede también ser pedido la suma directa de dos grupos, denotada por el

G \ el oplus H

Se define como sigue:
pues el determinado de los elementos del nuevo grupo, toma el producto de cartesiano de los sistemas de elementos del G y del H, que es {(el g, el h ): g en el G, el h en el H };
en estos elementos puestos una operación, elementwise definido: × del

( g, h ); (g del, h del ) = ( g * g del, h h o) (Observar la operación * pueden estar iguales que el O.)

Esta construcción da a nuevo grupo. Tiene un subgrupo normal isomorfo al G (dado por los elementos de la forma ( g, 1)), y uno isomorfo al H (que abarca los elementos (1, h )).

El revés también se sostiene, allí es el teorema siguiente del reconocimiento: Si un K del grupo contiene el normal G de dos subgrupos y el H, tales que el K = el GH y la intersección del G y del H contiene solamente la identidad, entonces K = el H de G x del . Una relajación de estas condiciones da a el producto semidirecto .

Como un ejemplo, toma como copias del G y del H dos del único (hasta grupo de los isomorphisms) de la orden 2, C ₂: decir {1, un } y {1, b }. Entonces C ₂× C ₂ = {(1.1), (1, b ), ( un, 1), ( un, b )}, con el elemento de la operación por el elemento. Por ejemplo, (1, b ) * ( un, 1) = ( 1* un, b *1) = ( un, b ), y (1, b ) * (1, b ) = (1, b ²) = (1.

Con un producto directo, conseguimos algunos homomorphisms naturales del grupo para libre: proyección traza

$\ mathrm {cerca} \ patio \ pi_1 (g, h) = g$ ,
$\ pi_2 \ dos puntos G \ época H \ a H \ patio \ mathrm {cerca} \ patio \ pi_2 (g, h) = h$ llamó el las funciones coordinadas .

También, cada f del homomorfismo en el producto directo es determinado total por sus funciones componentes = \ pi_i \ circ f del $f_i. Para cualquier grupo ( G, *), y cualquier ≥ 0 del del número entero n, uso múltiple del producto directo da el grupo de todo el n - el n del$ ^{de G del de los Tuples (para el n =0 el grupo trivial). Ejemplos: n} del ^{del Z n} del ^{del R (con la estructura adicional del espacio de vector esto se llama el espacio euclidiano, ve abajo)}

Producto directo de módulos

El producto directo para los módulos (no ser confundido con el producto de tensor ) es muy similar a el que está definido para los grupos arriba, usar el producto de cartesiano con la operación de la adición que es componentwise, y a la multiplicación escalar apenas que distribuye sobre todos los componentes. A partir de el R conseguimos a el n , el ejemplo prototípico del ^{del R del espacio euclidiano de un verdadero n - espacio de vector dimensional. El producto directo del m} del ^{del R y del n} del ^{del R es el m del ^{del R + el n}. Observar que un producto directo para un ^n finito X_i del $\ del prod_ del índice {i=1} es idéntico al ^n X_i$ del $\ del bigoplus_ de la suma directa {i=1}. La suma directa y el producto directo diferencian solamente para los índices infinitos, donde están cero los elementos de una suma directa para todos sino para un número finito de entradas. Son duales: la suma directa es el Coproduct, mientras que el producto directo es el producto. Por ejemplo, considerar el ^ del X= \ del prod_ {i=1} \ {R} infty \ mathcal y ^ del Y= \ del bigoplus_ {i=1} \ {R} infty \ mathcal, el producto directo infinito y suma directa de los números verdaderos. Solamente las secuencias con un número finito de elementos diferentes a cero están en el Y .0,…) está en el Y pero el (1. Ambas secuencias están en el X del producto directo; de hecho, el Y es un subconjunto apropiado del X (es decir, &sub del Y ; X ).$
Producto directo del espacio topológico
El producto directo para una colección del X_i de los espacios topológicos para el i en el I, un cierto sistema de índice, hace uso de nuevo del producto de cartesiano $del l \ prod_ {i \ adentro I} X_i$ La definición de la topología es una poco difícil. Para finito muchos factores, ésta es la cosa obvia y natural a hacer: tomar simplemente como una base de los sistemas abiertos a ser la colección de todos los productos de cartesiano de subconjuntos abiertos de cada factor: $del l \ B = mathcal \ {U_1 \ épocas \ cdots \ épocas U_n \ |\ U_i \ \ mathrm {abrirse \ adentro} \ X_i \}$
Esta topología se llama la topología del producto del . Por ejemplo, directo definiendo la topología del producto en el R ² por los sistemas abiertos del R (desunir las uniones de intervalos abiertos), la base para esta topología consistiría en toda desune las uniones de rectángulos abiertos en el plano (como resulta, coincide con la topología métrica generalmente ).
La topología del producto para los productos infinitos tiene una torcedura, y ésta tiene que hacer con poder hacer todos los mapas de la proyección continuos y hacer todas las funciones en el producto continuas si y solamente si todas sus funciones componentes son continuas (es decir satisfacer la definición categórica del producto: los morphisms aquí son funciones continuas): tomamos como una base de los sistemas abiertos a ser la colección de todos los productos de cartesiano de subconjuntos abiertos de cada factor, como antes, a condición de que todo sino finito muchos factores sea el espacio entero: el $del l \ mathcal B = \ se fueron \ {\ prod_ {i \ adentro I} U_i \ |\ (\ existe j_1, \ ldots, j_n) (U_ {j_i} \ \ mathrm {abrirse \ adentro} \ X_ {j_i}) \ \ mathrm {y} \ (\ forall i \ neq j_1, \ ldots, j_n) (U_i = X_i) \ derecho \}$
(No una vista muy bonita!). La topología natural-que suena más sería, en este caso, tomar productos infinitamente de muchos subconjuntos abiertos como antes, y ésta rinde una topología algo interesante, la topología de la caja del . Sin embargo no es demasiado difícil encontrar un ejemplo del manojo de funciones componentes continuas cuya función del producto no sea continua (véase el separado de la entrada encajonar la topología para un ejemplo y más). El problema que hace la torcedura necesaria se arraiga en última instancia en el hecho de que la intersección de sistemas abiertos está garantizada solamente para estar abierta para finito muchos sistemas en la definición de la topología.
Los productos (con la topología del producto) son agradables con respecto a preservar las características de sus factores; por ejemplo, el producto de los espacios de Hausdorff es Hausdorff; el producto de espacios conectados está conectado, y el producto de espacios compactos es compacto. Que el pasado, llamado el teorema de Tychonoff, es otra más equivalencia al axioma de la opción .
Para más características y formulaciones equivalentes, ver la topología separada del producto de la entrada.

Producto directo de relaciones binarias
En el producto de cartesiano de dos sistemas con el R de las relaciones binarias y el S, la orden del producto se define como ( un, el b ) T ( c, d ) como un d del S del c del R de y del b . Si el R y el S son ambo el reflexivo, el irreflexive, el transitivo, el simétrico, o el antisimétrico, el T de la relación tiene la misma característica. Combinando características sigue que éste también solicita ser un Preorder y ser una relación de equivalencia . Sin embargo, si son el R y el S el total T de las relaciones está en general no. Ver también:
Orden del producto

Producto categórico
Artículo principal del : Producto (teoría) de la categoría El producto directo se puede abstraer a una categoría arbitraria . En una categoría general, dada una colección de del A_i y de los objetos una colección del p_i de Morphisms A al A_i con el i que se extiende en un cierto I del sistema de índice, un A del objeto reputa un producto categórico en la categoría si, para cualquier B del objeto y cualquier colección del f_i de los morphisms del B al A_i, existe un único f del morphism del B a el A tales que el f_i = p_i f y este A del objeto es únicos. Esto no sólo trabaja para dos factores, pero arbitrariamente (incluso infinitamente) muchos.
Para los grupos definimos semejantemente el producto directo de una colección más general, más arbitraria del G_i de los grupos para el i en el I, I un sistema de índice. Denotando el producto de cartesiano de los grupos por el G definimos la multiplicación en el G con la operación de la multiplicación del componentwise; y correspondientes al p_i en la definición antedicha son los mapas de la proyección

$\ pi_i \ dos puntos G \ a G_i \ patio \ mathrm {cerca} \ patio \ pi_i (g) = g_i$ ,
las funciones que llevan el g su componente del th del i ( g_i ). ¡

Métrico y norma
Un métrico en un producto de cartesiano de espacios métricos, y una norma en un producto directo de los espacios de vector normed, se pueden definir de varias maneras, ven por ejemplo.
Ver también
Suma directa
Producto de cartesiano
Coproduct
Producto libre
Producto semidirecto
Producto de Zappa-Szep
Producto de tensor de los gráficos .
Zenithic
Chelsea EmbankmentRandom links: Llanos cruzados, Tejas | Camryn Manheim | Pacto de Georgenberg | Mikhail Nikolayevich Zadornov}

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