En las matemáticas, está una secuencia una progresión geométrica, también conocida como secuencia geométrica, de los números donde cada término después de que la primera sea encontrada multiplicando el anterior por un número diferente a cero fijo llamado el cociente común del . Por ejemplo, la secuencia 2, 6, 18, 54,… es una progresión geométrica con el cociente común 3 y 10, 5, 2.25,… es una secuencia geométrica con el cociente común el 1/2. La suma de los términos de una progresión geométrica se conoce como serie geométrica .

Así, la forma general de una secuencia geométrica es, \ ar^2, \ AR del a del

l, \ ar^3 \ ar^4, \ \ ldots

y el de una serie geométrica es a del

l + AR + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \ ldots

donde está el cociente el ≠ 0 del r común y el un es un factor de posicionamiento, igual al valor del comienzo de la secuencia.

Características elementales

El n - el término del th de una secuencia geométrica con el del valor inicial un y el común r del cociente es dado por el a_n del = a \, el r^ {n-1}

Una secuencia tan geométrica también sigue el a_n recurrente = el a_ de r {n-1} del de la relación para cada n \ geq 2 del número entero

Generalmente, comprobar si una secuencia dada es geométrica, simplemente cheques uno si las entradas sucesivas en la secuencia todas tienen el mismo cociente.

El cociente común de una serie geométrica puede ser negativo, dando por resultado una secuencia de alternancia, con los números cambiando a la negativa y detrás de positivo. Por ejemplo
1, -3, 9, -27, 81, -243 del
,… es una secuencia geométrica con el cociente común -3.

El comportamiento de una secuencia geométrica depende del valor del ratio.
Si es el cociente común:
El positivo, los términos todo será la misma muestra que el término inicial.
La negativa, los términos alternará entre el positivo y la negativa.
Mayor de 1, allí será el crecimiento exponencial hacia el infinito positivo .
1, la progresión es una secuencia constante.
Entre -1 y 1 pero no cero, habrá el decaimiento exponencial hacia cero.
−1, la progresión es una secuencia de alternancia (véase la serie de alternancia )
Menos que −1, allí será el crecimiento exponencial hacia el infinito (positivo y negativo).

Las secuencias geométricas (con el cociente común no igual a -1.1 o a 0) demuestran el crecimiento exponencial o a el decaimiento exponencial, en comparación con el crecimiento linear (o la declinación) de una progresión aritmética tal como 4, 15, 26, 37, 48,… (con la diferencia común 11 del ). Este resultado fue tomado por T. Malthus como la fundación matemática de su principio del de la población . Observar que las dos clases de progresión son relacionadas: exponentiating cada término de una progresión aritmética rinde una progresión geométrica, mientras que tomar el logaritmo de cada término en una progresión geométrica con un cociente común positivo rinde una progresión aritmética.

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considera también:

la serie geométrica

Una serie geométrica es la suma del de los números en una progresión geométrica: del

l \ ar^k del ^ del sum_ {k=0} {n} = ar^0+ar^1+ar^2+ar^3+ \ cdots+ar^n \,

Podemos encontrar una fórmula más simple para esta suma multiplicando ambos lados la ecuación antedicha por el (1-r) , y de nosotros verá eso

(1-r) \ sum_ {k=0} ^ {n} ar^k = a-ar^ {n+1} \,

puesto que el resto de cancelación de los términos. El cambio (para el r \ ne1) da la fórmula conveniente para una serie geométrica: = \ frac {a (1-r^ {n+1} del ar^k) del ^ del \ del sum_ del

l {k=0} {n}}{1-r}

Nota : Si uno era comenzar la suma no a partir de la 0, sino de un término más alto, decir el m, entonces del

l \ ar^k= del ^n del sum_ {k=m} \ frac {a (r^m-r^ {n+1})}{1-r}

El que distingue esta fórmula con respecto al r permite que lleguemos las fórmulas para las sumas de la forma k^s r^k del ^n del \ del sum_ del

l {k=0}

Por ejemplo:

\ frac {d} {el Dr.} \ ^nr^k del sum_ {k=0} = \ ^nkr^ del sum_ {k=0} {k-1} = \ - \ frac {r^n (n+1)} {1-r} del frac {1-r^ {n+1}} {(1-r) ^2}

Para una serie geométrica que contiene solamente incluso energías de r multiplicarse por el (1-r^2): del

l (ar^ del ^ de 1-r^2) \ sum_ {k=0} {n} {2k} = a-ar^ {2n+2} Entonces = \ frac {a (1-r^ {2n+2} del ar^ del ^ del \ del sum_ del

l {k=0} {n} {2k})}{1-r^2}

Para una serie con solamente energías impares de r del

l (ar^ del ^ de 1-r^2) \ sum_ {k=0} {n} {2k+1} = AR-ar^ {2n+3}

y = \ frac {AR (1-r^ {2n+2} del ar^ del ^ del \ del sum_ del

l {k=0} {n} {2k+1})}{1-r^2}

Serie geométrica infinita

considera también:

la serie geométrica Una serie geométrica infinita es una serie infinita cuyos términos sucesivos tienen un cociente común. Tal serie converge si y solamente si el valor absoluto del cociente común es menos de uno (  |    del r ; |  <  1 ). Su valor se puede entonces computar de las fórmulas de la suma finita

\ sum_ {k=0} ^ \ infty ar^k = \ lim_ {n \ \ infty} {\ ar^k del ^ del sum_ {k=0} {n}} = \ lim_ {n \ \} infty \ frac {a (1-r^ {n+1})}{1-r} = \ lim_ {n \ \ infty} \ - \ lim_ {n del frac {a} {1-r} \ \ infty} {\ frac {ar^ {n+1}} {1-r}} = \ frac {a} {1-r}

Por ejemplo, usar valores numéricos del

l \ ^ del sum_ {k=0} \ (\ frac {6} {7} \ derecho) = infty (191) \ dejado \ frac {191} del ^k {1 \ frac {6} {7}} = 1337

Para una serie que contiene solamente incluso energías de r, del

l \ ^ del sum_ {k=0} \ = infty \ frac {a} {1-r^2} del ar^ {2k}

y para las energías impares solamente, del

l \ ^ del sum_ {k=0} \ = infty \ frac {AR} {1-r^2} del ar^ {2k+1}

En caso de que la suma no comience en el k = 0, del

l \ ^ del sum_ {k=m} \ ar^k= \ frac infty {ar^m} {1-r} Sobre fórmulas ser válido solamente para |    del r ; |  <  1. La 3ultima fórmula es realmente válida en cada álgebra de Banach, mientras la norma del r sea menos de una, y también en el campo de los números adic '' p '' - si |    del r ; | p   del ; <  1. Como en el caso para una suma finita, podemos distinguir para calcular las fórmulas para las sumas relacionadas. Por ejemplo,

\ frac {d} {el Dr.} \ ^ del sum_ {k=0} \ r^k infty = \ ^ del sum_ {k=0} \ kr^ infty {k-1} = \ frac {1} {(1-r) ^2}

Esta fórmula trabaja solamente para |    del r ; |  <  1 también. De esto, sigue eso, para |    del r ; |  <  1,

\ sum_ {k=0} ^ {\ infty} k r^k = \ frac {r} {\ (1-r \ derecho) ^2} dejado \; \, \ = \ frac del r^k k^2 del ^ del sum_ {k=0} {\ infty} {r \ se fue (1+r \ derechos)}{\ (1-r \ derecho) ^3} dejado \; \, \ = \ frac del r^k k^3 del ^ del sum_ {k=0} {\ infty} {r \ se fue (1+4 R+ r^2 \ derecho)}{\ (1 r \ derecho) ^4 dejado}

También, el el 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 de la serie infinita + · · · es un ejemplo elemental de una serie que converge el absolutamente .

Es una serie geométrica cuyo primer término es el 1/2 y cuyo cociente común es el 1/2, así que su suma es \ frac12+ \ frac14+ \ frac18+ \ + \ cdots= \ frac {el 1/2} {1 del del frac {1} {16} (+1/2)} = 1. Lo contrario de la serie antedicha es el − 1/16 del − 1/4 + 1/8 del el 1/2 + · · · es un ejemplo simple de una serie de alternancia que converge el absolutamente .

Es una serie geométrica cuyo primer término es el 1/2 y cuyo cociente común es −1/2, así que su suma es \ frac12- \ frac14+ \ frac18- \ + \ cdots= \ frac {el 1/2} del del frac {1} {16} {1 (- 1/2)} = \ frac13.

Números complejos

La fórmula de la adición para la serie geométrica sigue siendo válida incluso cuando el cociente común es un número complejo . Este hecho se puede utilizar para calcular algunas sumas de series geométricas no-obvias, por ejemplo:

\ sum_ {k=0} ^ {\} infty \ frac {\ pecado (KX)}{r^k} = \ frac {r \ pecado (x)} {1 + r^2 - 2 r \ lechuga romana (x)}

La prueba de esta fórmula comienza con = \ frac {e^ {ikx} - e^ del \ del pecado del (KX) {- el ikx}} {2i} una consecuencia de la fórmula de Euler. Substituyendo esto en serie arriba, nosotros consigue

\ sum_ {k=0} ^ {\} infty \ frac {\ pecado (KX)}{r^k} = \ frac {1} {2 i} \ ido \ sum_ {k=0} ^ {\ ^k infty} \ dejado (\ frac {e^ {IX}} {r} \ derecho) - \ sum_ {k=0} ^ {\ ^k infty \ right} \ dejado (\ frac {e^ {- IX}} {r} \ derecho).

Ésta es apenas la diferencia de dos series geométricas. De aquí, es entonces un uso directo de nuestra fórmula para que la serie geométrica infinita acabe la prueba.

Producto

El producto de una progresión geométrica es el producto de todos los términos. Si todos los términos son positivos, después puede ser computado rápidamente tomando al el medio geométrico de la progresión primera y del último período, y levantando ese medio a la energía dada por el número de términos. (Esto es muy similar a la fórmula para la suma de términos de una secuencia aritmética : tomar a el medio aritmético del primer y el último período y multiplicarse con el número de términos.) del

l \ ^ = \ dejado (\ raíz cuadrada {a_1 \ a_ del cdot {n+1}} \ derecho) del ar^i del ^ del prod_ {i=0} {n} {n+1} (si a, r > 0).

Prueba:

Dejar el producto ser representado por P: P=a del

l \ cdot AR \ cdot ar^2 \ ar^ de los cdots {n-1} \ ar^ del cdot {n} .

Ahora, realizando las multiplicaciones, concluimos eso r^ del P=a^ del

l {n+1} {1+2+3+ \ cdots + (n-1) +n} .

Aplicando la suma de la serie aritmética, la expresión rendirá r^ del P=a^ del

l {n+1} {\ frac {n (n+1)} {2}} . ^ del P= del

l (ar^ {\ frac {n} {2}}) {n+1} .

Levantamos ambos lados a la segunda energía: ^ del

P^2= (r^ a^2 {n} del
) del
{n+1} = (a \ ar^n)^ del cdot {n+1} .

Por lo tanto ^ del

P^2= (a_1 del \ a_ del cdot {n+1}) {n+1} y ^ del P= del

l (a_1 \ a_ del cdot {n+1}) {\ frac {n+1} {2}} ,

cuál concluye la prueba.

Relación a la geometría y al trabajo de Euclid

Los libros VIII e IX '' elementos '' de s de Euclid de 'analizan progresiones geométricas y dan varias de sus características.

Una progresión geométrica gana su carácter geométrico del hecho de que las áreas de dos figuras planas geométrico similares están en " duplicate" cociente a sus lados correspondientes; los volúmenes de dos figuras sólidas similares están más lejos en " triplicate" cociente de sus lados correspondientes.

El significado del " de las palabras; duplicate" y " triplicate" en el párrafo anterior es ilustrado por los ejemplos siguientes. Dado dos cuadrados cuyos lados tengan el cociente 2 a 3, después sus áreas tendrá el cociente 4 a 9; podemos escribir esto como 4 a 6 a 9 y notar que los cocientes 4 a 6 y 6 a 9 ambos 2 a 3 iguales; tan usando el cociente lateral 2 a " 3; dos veces " obtenemos el cociente 4 a 9 de las áreas, y la secuencia 4, 6, 9 es una secuencia geométrica con el cociente común 3/2. Semejantemente, dar dos cubos cuyo cociente lateral sea 2 a 5, su cociente del volumen es 8 a 125, que se pueden obtener como 8 a 20 a 50 a 125, el cociente original 2 a el " 5; en triplicate", rindiendo una secuencia geométrica con la ración común 5/2.

Elementos, libro IX del

La progresión geométrica 1, 2, 4, 8, 16, 32,… (o, en el sistema de numeración binario, 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000,…) es importante en la teoría de número . El libro IX, propone 36 de elementos del que prueba que si la suma de los primeros términos del n de esta progresión es un número primero, después los tiempos de esta suma el término del th del n es un número perfecto . Por ejemplo, la suma de los primeros 5 términos de la serie (1 + 2 + 4 + 8 + 16) es 31, que es un número primero. La suma 31 se multiplicó por 16 (el 5to término es la serie) iguales 496, que es un número perfecto.

El libro IX, asunto 35 prueba que en una serie geométrica si el primer término se resta a partir del segundo y el último período en la secuencia entonces como el exceso del segundo está al primer, el exceso del pasado está tan a todos los ésos antes de él. (Ésta es una nueva exposición de nuestra fórmula para la serie geométrica de arriba.) Aplicando esto a la progresión geométrica 31.496 (que resulta a partir del 1.16 multiplicando todos los términos por 31), vemos que 62 menos 31 está a 31 mientras que 496 menos 31 está a la suma de 31. Por lo tanto los números 1.248 agregan para arriba a 496 y fomentan éstos son todos los números que la divisoria 496. Para suponer que P divide 496 y él no está entre estos números. Asumir los iguales 16×31 de P×Q, o 31 está a Q como P está a 16. Ahora P no puede dividir 16 o estaría entre los números 1. Por lo tanto 31 no pueden dividir el Q. Y puesto que 31 no divide Q y Q mide 496, el que el teorema fundamental de aritmético implica ese Q debe dividir 16 y estar entre los números 1. Dejar Q ser 4, entonces P debe ser 124, que es imposible puesto que por hipótesis P no está entre los números 1.

Ver también


progresión aritmética
Función exponencial
Serie armónica
Serie infinita
Thomas Robert Malthus
Hackenbush

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