En las matemáticas, particularmente en el cálculo, un punto inmóvil es una entrada a una función donde está cero el derivado (equivalente, el gradiente es cero): donde el " de la función; stops" aumento o disminución (por lo tanto el nombre).
Para el gráfico de una función unidimensional, esto corresponde a un punto en el gráfico donde está el la tangente paralelo al x - eje. Para el gráfico de una función de dos dimensiones, esto corresponde a un punto en el gráfico donde está paralelo el plano de tangente al plano xy del .
El término se utiliza sobre todo en una dimensión, que este artículo discute: los puntos inmóviles en dimensiones más altas se refieren generalmente como puntos críticos ; ver allí para una discusión dimensional más alta.
Contra punto crítico
El " del término; point" crítico; se confunde a menudo con el " point" inmóvil;. El punto crítico es más general: un punto crítico es el al inmóvil del punto o un punto donde el derivado no se define.Un punto inmóvil es siempre un punto crítico, pero un punto crítico no es siempre un punto inmóvil: puede ser que también sea un punto no diferenciable.
Para una función lisa, éstas son permutables, por lo tanto la confusión; cuando una función se entiende para ser lisa, uno puede referir a puntos inmóviles como puntos críticos, pero cuando puede ser no diferenciable, uno debe distinguir estas nociones.
Observar que hay también una diversa definición del punto crítico en dimensiones más altas, donde el derivado no tiene la fila completa, pero no es necesario cero; esto no es análogo a los puntos inmóviles, pues la función puede todavía cambiar en una cierta dirección.
Clasificación
considera también:
los máximos y de los mínimos
Aislado inmóvil punto de con valores reales función de R son clasificados en cuatro clases, por la prueba de primer derivado :
está uno un extremo mínimo ( del el momento crucial mínimo o el mínimo relativo ) donde el derivado de los cambios de función de negativo al positivo;
está uno un extremo máximo (momento crucial máximo o máximo relativo del ) donde el derivado de los cambios de función de positivo a la negativa;
un punto de levantamiento del de la inflexión (o de la inflexión ) es uno donde está positivo el derivado de la función en ambos lados del punto inmóvil; tal punto marca un cambio en la concavidad
un punto del que cae de la inflexión (o de la inflexión ) es uno donde está negativo el derivado de la función en ambos lados del punto inmóvil; tal punto marca un cambio en concavidad
Aviso: Los máximos y los mínimos globales (o absoluto) a veces se llaman los extremos (respectivamente mínimos) máximos globales (o absoluto). Por el teorema de Fermat, deben ocurrir en el límite o en los puntos críticos pero no ocurren necesario en los puntos inmóviles.
El bosquejar de la curva
Determinación de la posición y de la naturaleza de las ayudas inmóviles de los puntos en la curva que bosqueja, especialmente para las funciones continuas que solucionan el f' de la ecuación; ( x ) = 0 vuelve el x - coordenadas de todos los puntos inmóviles; el y - coordenadas están trivial los valores de la función en esos el x - coordenadas. La naturaleza específica de un punto inmóvil en el x puede ser determinada en algunos casos examinando el segundo derivado f'' ( x ):Si f'' ( x ) < 0, el punto inmóvil en el x es un extremo máximo.
Si f'' ( x ) > 0, el punto inmóvil en el x es un extremo mínimo.
Si f'' ( x ) = 0, la naturaleza del punto inmóvil debe ser resuelto por otros medios, observando un cambio de la muestra alrededor de ese punto proporcionó a menudo los valores de la función existe alrededor de ese punto.
Una manera más directa de determinar la naturaleza de un punto inmóvil está examinando los valores de la función entre los puntos inmóviles. Sin embargo, esto se limita otra vez en que trabaja solamente para las funciones que son continuas en por lo menos un pequeño intervalo que rodea el punto inmóvil.
Un ejemplo simple de un punto de la inflexión es el f ( x ) de la función = el x 3. Hay un cambio claro de la concavidad sobre el x del punto = 0, y podemos probar esto por medio del cálculo . El segundo derivado del f es 6 el por todas partes-continuo x, y en el x = 0, &prime del f ; ′ = 0, y los cambios de la muestra sobre este punto. Tan el x = 0 es un punto de la inflexión.
Más generalmente, los puntos inmóviles de un con valores reales f de la función: &rarr del n del del R ; El R es ésos señala el x 0 donde el derivado en cada dirección iguala cero, o equivalente, el gradiente es cero. En x2, tenemos el 0 del f ( x ) del y f'' ( x ) = 0. Pero, x2 no es un punto inmóvil, él es algo un punto de la inflexión. Esto porque la concavidad cambia de cóncavo hacia arriba a cóncavo hacia abajo y la muestra del f ( x ) del no cambia; permanece positivo. En x3 tenemos f ( x ) = 0 y f'' del ; ( x ) = 0. Aquí, x3 es un punto inmóvil y un punto de la inflexión. Esto es porque la concavidad cambia de cóncavo hacia arriba a cóncavo hacia abajo y la muestra del f ( x ) del no cambia; permanece positivo. .
Ejemplo
En x1 tenemos f ( x ) = 0 y f'' del ; ( x ) = 0. Aunque f'' ( x ) = 0, este punto no es un punto de la inflexión. La razón es que la muestra del f ( x ) del cambia de negativo al positivo. Ver también
Teorema de Fermat
Prueba de primer derivado
Prueba de derivado segundo
Prueba derivada de una orden más alta
Teorema de Fermat (puntos inmóviles)
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