El Quaternions proporciona una notación matemática conveniente para representar las orientaciones y las rotaciones de objetos. Debido a la ciertas compacticidad, eficacia, y ventajas de la estabilidad sobre las matrices, quaternions han encontrado su manera en usos en los gráficos de computadora, la robótica, la navegación, y los mecánicos orbitales de los satélites .

Operaciones de la rotación de Quaternion

Una explicación muy terminante de las características usadas en esta sección es dada por Altmann.

Meta

La meta es encontrar una fórmula que exprese la rotación en espacio 3D usar la multiplicación del quaternion. Ideal, esta fórmula debe ser un análogo a la multiplicación compleja usada para representar las 2.as rotaciones: $f\; del$

l (w) = ZW \, ,

donde

$z\; =\; e^\; \{\backslash \}\; \backslash ,\; de\; la\; alfa\; i$

es utilizado para la rotación por un α del ángulo .

Derivación

La fórmula deseada de la rotación 3D no puede ser multiplicación simple del quaternion, porque la rotación de un vector (representado como un quaternion con la parte real cero) debe rendir un vector, pero multiplicar un vector con un quaternion arbitrario puede dar lugar a un no-vector (con la parte real diferente a cero).

Sin embargo, resulta que podemos cancelar la parte real si nos multiplicamos por un quaternion a partir de un lado y por lo contrario de ese quaternion del otro lado. Dejar el z = + el u ser un quaternion diferente a cero, y considerar la función

$f\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; =\; z\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash ,\; z^\; \{-\; 1\}\; \backslash ,$

donde &minus del ^{del z ; 1} es lo contrario multiplicativo del z, y el v es un vector en forma del quaternion. El f de la función es conocido como conjugación por z . Observar que la parte real del f ( v ) es cero, porque en general el ZW y el wz del tienen la misma parte real para cualquier z de los quaternions y el w, y tan

$\backslash \; mathfrak\; \{R\}\; (z\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \; z^\; de\; v\; \{-\; 1\})\; =\; \backslash \; mathfrak\; \{R\}\; (z\; \backslash \; (\backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \; z^\; de\; v\; \{-\; 1\}))\; =\; \backslash \; mathfrak\; \{R\}\; ((\backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \; z^\; de\; v\; \{-\; 1\})\; \backslash \; z)\; =\; \backslash \; mathfrak\; \{R\}\; (\backslash \; mathbf\; \{\}\; de\; v\; \backslash \; 1)\; =\; 0$

(nota que esta prueba aplica el Associativity de la multiplicación del quaternion). Además, el f es ''' del ''' R - lineares y nosotros tenemos f ( v ) = el v si y solamente si el v y el u de la parte imaginaria del z son el colineal (porque el f ( v ) = el v significa el z del v = el v del z ). Por lo tanto el f es una rotación cuyo eje de la rotación pasa con el origen y es dado por el u del vector.

Observar que la conjugación con el z es el equivalente a la conjugación con el rz del para cualquier r del número verdadero. Podemos restringir así nuestra atención a los quaternions del valor absoluto 1, los quaternions supuestos de la unidad del . Observar ese incluso entonces z y el − el z representa la misma rotación. (El valor absoluto | z | del z del quaternion = el + el v se define como la raíz cuadrada un ² + || v ||², que lo hace multiplicativo: | ZW | = | z | | w |.) La inversión de quaternions de la unidad es especialmente fácil: Si | z | = 1, entonces ^{&minus del z ; 1} = z ^* (el conyugal z ^* del z del quaternion = + el v se define como z ^* = un &minus de ; el v ) y éste hace nuestra fórmula de la rotación incluso más fácil.

Resulta que el ángulo del $\backslash \; alpha$ de la rotación es también fácil leer si nos estamos ocupando de un z del quaternion de la unidad = + el v : tenemos = \ lechuga romana \ frac del $a\; del\; \{\backslash \; alfa\}\; \{2\}$.

Resumen

Para resumir, a la izquierda rotación por ángulo $\backslash \; alpha$ sobre eje v puede estar representado vía conjugación por unidad quaternion z

$z\; =\; \backslash \; lechuga\; romano\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; alfa\}\; \{2\}\; +\; \backslash \; pecado\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; alfa\}\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash sombrero\backslash \; mathbf\; \{v\}$

donde está el $normalizado\; del\; del\; vector\; \backslash \; =\; el$ \backslash \; el\; sombrero\; \backslash \; el\; mathbf\; \{v\}$\backslash \; frac\; del\; sombrero\; \backslash \; del\; mathbf\; \{v\}\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\}\; \{\backslash |\backslash \; mathbf\; \{de\; v\}\; \backslash |\}$.

La composición de dos rotaciones corresponde a la multiplicación del quaternion: si el f de la rotación es representado por la conjugación con el z del quaternion y el g de la rotación es representado por la conjugación con el w, entonces el   del f de la composición ; ∘  el g es representado por la conjugación con el ZW .

Si uno desea girar sobre un eje que no pase con el origen, después un primer traduce los vectores al origen, conjuga, y los traduce detrás.

El ángulo entre dos quaternions no se debe confundir con el ángulo de la rotación implicado en la rotación entre las orientaciones que corresponden a estos quaternions: el anterior es mitad de estes 3ultimo (o de 180° menos mitad de estes 3ultimo). El ángulo entre las hachas de dos rotaciones es otra vez diferente.

Por ejemplo el quaternion para la identidad es ±1 y para una rotación 180° sobre el z - el eje es el k del ±. El ángulo entre los dos quaternions es el 90°. El ángulo entre las hachas de las dos rotaciones es en este caso indefinido.

Ejemplo

Considerar el f de la rotación alrededor del u del eje = el i + el j + el k, con un ángulo de la rotación de 120°, o ^2π⁄ radianes de ₃ = \ frac {2 \ pi} {3} del $\backslash \; de\; la\; alfa\; del$

l = 120^ \ circ

La longitud del u es √3, el medio ángulo es ^π⁄ ₃ (60°) con el ½ del coseno, (lechuga romana 60° = 0.5) y seno ^√3⁄ ₂, (pecado 60° = 0. Por lo tanto nos estamos ocupando de una conjugación por el quaternion de la unidad

$z\; =\; \backslash \; lechuga\; romano\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; alfa\}\; \{2\}\; +\; \backslash pecado\backslash \; frac\; \{\backslash \; alfa\}\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash \; sombrero\; \backslash \; mathbf\; \{u\}$ = \ lechuga romana 60^ \ + \ pecado 60^ \ circ del $z\; del$

l del circ \, \ sombrero \ mathbf {u}

$z\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{3\}\}\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; \backslash ,\; \backslash \; sombrero\; \backslash \; mathbf\; \{u\}$

$z\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{3\}\}\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; frac\; \{(i+j+k)\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{3\}\}$ = \ frac {1 + i + j + k} {2} del $z\; del$

l .

Concreto, f ( ai del + BJ + CK ) = z ^∗ del z ( ai + BJ + CK ).

Observar ese z ^∗  = 1 z, como z tienen módulo de la unidad; aquí z ^∗  = (1− k del − del j del − del i ) /2. Esto se puede simplificar, usar las reglas ordinarias para la aritmética del quaternion, al f ( ai del + el BJ + el CK ) = ci del + aj + el bk, del

según lo esperado: la rotación corresponde a guardar un cubo se sostuvo fijo en un punto, y la rotación de él 120° sobre la diagonal larga a través del punto fijo (observar cómo las tres hachas son cíclico permutados ).

Non-commutativity y rotaciones de Quaternion

La multiplicación de quaternions es el no conmutativo. Puesto que esta operación corresponde a una rotación tridimensional, esta característica puede ser demostrada fácilmente demostrando que las rotaciones tridimensionales no son comutativas en general. Un ejercicio simple de aplicar dos rotaciones a un objeto asimétrico (e., un libro) puede explicarlo. Primero, girar un libro 90 grados a la derecha alrededor del eje de z. Girarlo después 180 grados a la derecha alrededor del eje de x. Entonces restaurar la orientación original, de modo que el título del libro sea otra vez legible, y aplicar esas rotaciones en orden opuesta. Esto demuestra eso, la composición de dos diversas rotaciones alrededor de dos hachas espaciales distintas no conmutará generalmente.

Quaternions contra otras representaciones de rotaciones

La representación de una rotación como quaternion (4 números) es más compacta que la representación como matriz ortogonal (9 números). Además, para un eje y un ángulo dados, uno puede construir fácilmente el quaternion correspondiente, e inversamente, para un quaternion dado uno puede leer fácilmente del eje y del ángulo. Ambos éstos son mucho más duros con las matrices o los ángulos de Euler

En los juegos de ordenador y otros usos, uno está a menudo interesado en las “rotaciones lisas”, significando que la escena debe girar lentamente y no en un solo paso. Esto puede ser lograda eligiendo una curva tal como la interpolación linear esférica en los quaternions, con una punto final siendo rotación inicial de la transformación 1 (o algún) de la identidad la otra y el otro ser la rotación final prevista. Esto es más problemático con otras representaciones de rotaciones.

Al componer varias rotaciones en una computadora, los errores de redondeo acumulan necesario. Un quaternion que todavía está apagado levemente representa una rotación después de ser normalised— una matriz que está apagada levemente no necesita ser el ortogonal más y por lo tanto no es más dura de convertir de nuevo a una matriz ortogonal apropiada.

Quaternions también evita un fenómeno llamado la cerradura del cardán que puede resultar cuando, por ejemplo en la echada/los sistemas rotatorios del desvío/del rodillo, la echada se gira el 90° hacia arriba o hacia abajo, de modo que el desvío y el rodillo después correspondan al mismo movimiento, y un grado de libertad de rotación se pierde. En un cardán - el sistema, por ejemplo, éste de navegación de inercia aeroespacial basado podrían tener resultados desastrosos si el avión está en una zambullida escarpada o una subida.

La matriz ortogonal que corresponde a una rotación por el z del quaternion de la unidad = + BI del + cj del + DK (con |z| = 1) es dado por el

(Comparar la fórmula general equivalente para 3 × matriz de 3 rotaciones en términos de eje y ángulo .)

(La matriz es válida para la rotación opuesta del sentido (e., rotación derecha en un sistema coordinado zurdo ). Para mismo-detectar la rotación, transportan la matriz.)

El considera también : Cartas en TAN (3), Euler pesca con caña, ángulo del eje

Comparaciones de funcionamiento con otros métodos de la rotación

Esta sección discute las implicaciones del funcionamiento de usar quaternions contra otros métodos (las matrices del eje/del ángulo o de la rotación) para realizar rotaciones en 3D. Un breve resumen:

Pares de quaternions de la unidad como rotaciones en el espacio 4D

Un par del z _l de los quaternions de la unidad y del z _r puede representar cualquier rotación en el espacio 4D. Dado un cuadridimensional v del vector, y fingimiento ese es un quaternion, podemos girar el v del vector como esto:

Es directo comprobar que para cada M del M de la matriz ^T = el I, es decir, que cada matriz (y por lo tanto ambas matrices junto) representa una rotación. Observar que desde (el l v del ^{del z de} ) el r del ^{del z} = el l ( r del ^{del z del del z del v ), las dos matrices deben conmutar. Por lo tanto, hay dos subgrupos de conmutación del sistema de rotaciones cuadridimensionales. Las rotaciones cuadridimensionales arbitrarias tienen 6 grados de libertad, cada matriz representan 3 de esos 6 grados de libertad.}

Desde un infinitesimal que la rotación cuadridimensional se puede representar por un par de quaternions (como sigue), todas las rotaciones cuadridimensionales (no-infinitesimales) puede también ser representado.

el

$z\_l=\; \backslash \; (1+\; \{dt\_\; \{ab\}\; +dt\_\; \{cd\}\; \backslash \; sobre\; 2\}\; i+\; dejado\; \{dt\_\; \{CA\}\; -\; dt\_\; \{\}\; \backslash \; sobre\; de\; BD\; 2\}\; j+\; \{dt\_\; \{anuncio\}\; +dt\_\; \{a.\}\; \backslash \; sobre\; 2\}\; k\; \backslash \; derechos)$

$z\_r=\; \backslash \; (1+\; \{dt\_\; \{ab\}\; -\; dt\_\; \{cd\}\; \backslash \; sobre\; 2\}\; i+\; dejado\; \{dt\_\; \{CA\}\; +dt\_\; \{\}\; \backslash \; sobre\; de\; BD\; 2\}\; j+\; \{dt\_\; \{anuncio\}\; -\; dt\_\; \{a.\}\; \backslash \; sobre\; 2\}\; k\; \backslash \; derechos)$

Ver también

Slerp — interpolación linear esférica
La conversión entre los quaternions y Euler pesca con caña
Grupo de la rotación
Rotaciones coordinadas * álgebra de Clifford * grupo del espinor
Mapa de la cubierta
esfera 3
TAN (4)

.

Zenithic

Pata, Sulu

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