Raíz cuadrada - Enciclopedia España

En las matemáticas, una raíz cuadrada de un x del número es un r del número tales que $r^2=x$ , o en palabras, un r del número cuyo cuadrado (el resultado de multiplicar el número por sí mismo) sea el x . Cada no negativo x del número verdadero tiene una raíz cuadrada no negativa única, llamada el la raíz cuadrada principal y denotada con un símbolo radical como $\ raíz cuadrada x$ . Por ejemplo, la raíz cuadrada principal de 9 es 3, $denotado \ raíz cuadrada 9 = 3$ , porque $3^2 = 3 \ times3 = 9$ . La otra raíz cuadrada de 9 es − 3.

Las raíces cuadradas se presentan a menudo al solucionar las ecuaciones cuadráticos o las ecuaciones de la forma $ax^2+bx+c=0$ , debido al $x$ variable que es ajustado.

Cada x del número positivo tiene dos raíces cuadradas. Una de ellas es el $\ raíz cuadrada {x}$ , que es positivo, y el otro es el $- \ raíz cuadrada {x}$ , que es negativo. Junto, estas dos raíces son el $denotado \ P. \ raíz cuadrada {x}$ . Las raíces cuadradas de números negativos se pueden discutir en el marco de los números complejos que las raíces cuadradas de objetos con excepción de números pueden también ser definidas.

Las raíces cuadradas de los números enteros que no son los cuadrados perfectos son siempre los números irracionales ': números no expresables como cociente de dos números enteros. Por ejemplo, el $\ raíz cuadrada 2$ no se puede escribir exactamente como $\ m/n$ , donde están números enteros el de n y el de m. No obstante, es exactamente la longitud diagonal de un cuadrado con la longitud lateral 1. Esto se ha sabido desde épocas antiguas, con el descubrimiento que el $\ raíz cuadrada 2$ es irracional atribuido al Hipparchus, un discípulo Pythagoras . ( ven la raíz cuadrada de 2 para las pruebas de la irracionalidad de este número. )

Características

principal f de la función de raíz cuadrada (x) = \ raíz cuadrada {x}

(generalmente apenas designado el " function" de la raíz cuadrada;) es una función que traza el determinado del

\ del mathbb no negativos {R} ^+ \ taza \ {de los números verdaderos 0 \}

sobre sí mismo, y, como todas las funciones, vuelve siempre un valor único. La función de raíz cuadrada también traza los números racionales en los números algébricos (un sobreconjunto de los números racionales); el

\ raíz cuadrada x

es racional si y solamente si es

x

un número racional que se puede representar como cociente de dos cuadrados perfectos en el geométrico llama, la función de raíz cuadrada traza el área de un cuadrado a su longitud lateral.

Para todos los números verdaderos positivos $x$ y $y$ , = {xy} \ raíz cuadrada x \ raíz cuadrada y y $\ raíz cuadrada x del \ raíz cuadrada = x^ {el 1/2}.$

$\ raíz cuadrada {x^2} = x$ solamente cuando $x \ GE 0; de$ el $\ raíz cuadrada {x^2} generalmente = \ se fue|x \ derecho|$ (véase el valor absoluto ).

La función de raíz cuadrada es continua para todo el $x,$ y no negativos diferenciable para todo el $x$ positivo. Su derivado es dado por = \ tfrac {1} del $f'(x) {2 \ raíz cuadrada x}.$

¡La serie de Taylor del $\ raíz cuadrada {x+1}$ sobre $x=0 \! ¡$ es $1 + \ frac {1} {2} x - \ frac {1} {8} x^2 + \ - del frac {1} {16} x^3 \ frac {5} {128} x^4 + \ puntos \!$ y converge para el $\ se fue| x \ derecho| < 1$ .

Cómputo

considera también: Métodos de computar el

las raíces cuadradas Muchos métodos de raíces cuadradas calculadoras existen hoy, algunos significados para ser hecho a mano y algunos significados para ser hecho por la máquina.

Muchos, pero no todas las calculadoras de bolsillo tienen una llave de la raíz cuadrada. Las hojas de balance de la computadora y el otro software también se utilizan con frecuencia para calcular raíces cuadradas. Los programas de los programas informáticos ejecutan típicamente buenas rutinas para computar la función exponencial y el logaritmo natural o el logaritmo, y después computan la raíz cuadrada del x usar el $\ raíz cuadrada {x} del de la identidad = el e^ {\ el frac {1} {2} \ ln x}$ o el $\ raíz cuadrada {x} = 10^ {\ el frac {1} {2} \ registro x}$ Se explota la misma identidad al computar raíces cuadradas con las tablas de logaritmo o las reglas de diapositiva

El método más común de cálculo de la raíz cuadrada se conoce a mano como el " " babilónico del método ;. Implica un algoritmo simple, que da lugar a un número más cercano a la raíz cuadrada real que se repite cada vez. Para encontrar el r, la raíz cuadrada de un x del número verdadero: Comenzar con un positivo arbitrario r del valor del comienzo (más cercano a la raíz cuadrada del x, el mejor).

Substituir el r por el promedio entre el del r y del x ; / r . (Es suficiente tomar un valor de aproximación del promedio, no demasiado cercano al valor anterior del del r y del x ; / r para asegurar la convergencia .)

Repetir el paso 2 hasta el r y el x/r de está tan cerca como deseado.

La complejidad más conocida del tiempo para computar una raíz cuadrada con los dígitos del n de la precisión es igual que ésa para multiplicar dos el n - números del dígito.

¡Raíces cuadradas de números negativos y complejos número complejo -->

considera también:

l número complejo El cuadrado de cualquier número positivo o negativo es positivo, y el cuadrado de 0 es 0. Por lo tanto, ninguÌn número negativo puede tener una raíz cuadrada verdadera. Sin embargo, es posible trabajar con un sistema de números más grande, llamado el los números complejos que contiene soluciones a la raíz cuadrada de un número negativo. Esto es hecha introduciendo un nuevo número, denotada por el i (a veces j, especialmente en el contexto de la electricidad ) y llamada el la unidad imaginaria, que es definido tales que el i ² = − 1. Usar esta notación, podemos pensar en el i como la raíz cuadrada del − 1, pero nota que también tenemos (− i) ² = i ² = − 1 y tan (− i) es también una raíz cuadrada del − 1. Semejantemente a los números verdaderos, decimos la raíz cuadrada principal del − 1 es el i, o más generalmente, si el x es cualquier número positivo, entonces la raíz cuadrada principal del − el x es el $\ raíz cuadrada del {- x} = i \ la raíz cuadrada x$ porque $del (i \ raíz cuadrada x)^2 = i^2 (\ raíz cuadrada x)^2 = (- 1) x = - x.$

Por la discusión dada arriba, el i puede ser ni positivo ni negativa. Esto crea un problema: para el z del número complejo, no podemos definir el $\ raíz cuadrada z$ para ser el " positive" raíz cuadrada del z .

Para cada diferente a cero z del número complejo existen el w de exacto dos números tales que el w ² = z . Por ejemplo, las raíces cuadradas del i son: = \ frac {\ raíz cuadrada {2}} {2} (1+i) del $\ raíz cuadrada {i} del$

y $- \ raíz cuadrada {i} del = - \ frac {\ raíz cuadrada {2}} {2} (1+i).$

La definición generalmente de √ el z está introduciendo el corte de rama siguiente : si del z ; = &thinsp del r ; &phi del i del ^{del e ;} se representa en los coordenadas polares con − π < φ ≤ π, entonces fijamos el valor principal a

$\ raíz cuadrado {z} = \ raíz cuadrado {} \, de r e^ {i \ phi \ sobre 2}.$

Así definido, la función de raíz cuadrada es el olomorfo por todas partes excepto en los números verdaderos no positivos (donde no está incluso el continuo). La serie de Taylor antedicha para el $\ raíz cuadrada {1+x}$ sigue siendo válida para el x de los números complejos con | x | < 1.

Cuando el número está en la forma rectangular la fórmula siguiente se puede utilizar para el valor principal: = \ raíz cuadrada del $\ raíz cuadrada {x+iy} del l {\ frac {R+ x} {2}} + i \ frac {y} {\ raíz cuadrada {2 (R+ x)}}$

donde el $r = \ se fue|x+iy \ derecho| = \ raíz cuadrada {x^2+y^2}$ (el módulo del valor absoluto o del número complejo), a menos que x = - r y y =0. Notar que la muestra de la parte imaginaria de la raíz es igual que la muestra de la parte imaginaria del número original. La parte real del valor principal es siempre no negativa.

Observar que debido a la naturaleza discontinua de la función de raíz cuadrada en el plano complejo, = \ raíz cuadrada z \ cdot \ raíz cuadrada w del $\ raíz cuadrada {ZW} de la ley es en general el no verdadero. Incorrecto si se asume que esta ley es la base vario del " culpable; proofs", por ejemplo el siguiente que demuestra ese − 1 = 1: l = \ raíz cuadrada {- 1} \ = \ raíz cuadrada {1} de -1 = de i \ del cdot i = \ raíz cuadrada del cdot \ raíz cuadrada {- 1} {- 1 \ cdot -1} = 1$

La tercera igualdad no puede ser justificada. (Véase la prueba inválida .)

Este problema puede presentarse como uso erróneo de la notación principal de la raíz cuadrada del √ definido en el principio del artículo, o el descuido explicar la rama cortada adentro la definición de la función de raíz cuadrada compleja. Con el concepto (two-valued) general de la raíz cuadrada, es de hecho verdad que una de las dos raíces cuadradas del de 1 es -1.

Raíces cuadradas de matrices y de operadores

considera también: Raíz cuadrada de un

la matriz Si el A es una matriz Positivo-definida u operador, después existe exacto un definido positivo B de la matriz o del operador con el B ² = el A ; entonces definimos √ A = B .

Más generalmente, a cada normal A de la matriz o del operador existen el normal B de los operadores tales que el B ² = el A . Hay generalmente B de varios tal operadores para cada A y la función de raíz cuadrada no se puede definir para los operadores normales de una manera satisfactoria. Los operadores definidos positivos son relacionados con los números verdaderos positivos, y los operadores normales son relacionados con los números complejos.

Raíces cuadradas principales de los primeros 20 números enteros positivos

Como fracciones decimales aperiódicas

Como fracciones continuas periódicas

Uno de los resultados más intrigantes del estudio de los números irracionales como fracciones continuas fue obtenido por el de José Louis Lagrange circa 1780. Lagrange encontró que la raíz cuadrada de cualquier número entero positivo del no-cuadrado se puede representar por una fracción continua periódico. Es decir, en cuáles ocurre cierto patrón de dígitos repetidamente en los denominadores (véase el ejemplo debajo de la tabla). En cierto modo estas raíces cuadradas son los números irracionales muy más simples, porque pueden ser representadas con un patrón de dígitos de repetición simple.

Construcción geométrica de la raíz cuadrada

Una raíz cuadrada se puede construir con un compás y una regla. En sus elementos, Euclid (la Florida. la construcción del medio geométrico de dos cantidades en dos diversos lugares: Asunto II. Desde el medio geométrico de

a

y de

b

está el

\ raíz cuadrada {ab}

, uno puede construir el

\ raíz cuadrada {a}

simplemente tomando

b=1

La construcción también es dada por el Descartes en su La Géométrie, véase el cuadro 2 en la página 2. Sin embargo, Descartes no hizo ninguna demanda a la originalidad y su audiencia habría sido absolutamente familiar con Euclid.

Otro método de construcción geométrica utiliza los triángulos correctos y la inducción : el $\ raíz cuadrada {1} = 1$ puede, por supuesto, ser construido, y una vez que se ha construido el $\ raíz cuadrada {x}$ , el triángulo correcto con 1 y el $\ raíz cuadrada {x}$ para sus piernas tiene una hipotenusa del $\ raíz cuadrada {x+1}$ .

Historia

El papiro matemático de Rhind es una copia a partir de 1650 A. de un trabajo incluso anterior y nos demuestra cómo los egipcios extrajeron raíces cuadradas.

En el la India antigua, el conocimiento de aspectos teóricos y aplicados de la raíz cuadrada y cuadrada era por lo menos tan viejo como el Sulba Sutras del, anticuado alrededor 800-500 A. (posiblemente mucho anterior). Un método para encontrar aproximaciones muy buenas a las raíces cuadradas de 2 y 3 se dan en el Baudhayana Sulba Sutra del . El Aryabhata en el Aryabhatiya (sección 2.4) del, ha dado un método para encontrar la raíz cuadrada de los números que tenían muchos dígitos. Smith en la historia del de las matemáticas, dice, sobre la situación existente en Europa: " En Europa estos métodos (para descubrir el cuadrado y la raíz cuadrada) no aparecieron antes Cataneo (1546). Él dio el método Aryabhata para determinar el root" cuadrado;.

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