La raíz cuadrada del de 2, también conocida como constante de Pythagoras del, denotado a menudo cerca $\ raíz cuadrada {2},$ del

es el número verdadero positivo que, cuando es multiplicado por sí mismo, da a del número 2 . Su valor numérico aproximado a 65 lugares decimales es:
1.41421 del
35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799.

La raíz cuadrada de 2 era probablemente el primer número irracional sabido . Geométrico, es la longitud de una diagonal a través de un cuadrado con los lados de una unidad de longitud; esto sigue del teorema pitagórico . En las calculadoras básicas sin la función de raíz cuadrada, el $rápido de la aproximación \ el tfrac {99} {70}$ para la raíz cuadrada de dos es mejores que el $\ el tfrac rápidos {22} de la aproximación {7}$ para el pi, probablemente el número irracional lo más extensamente posible sabido .

Historia

La tableta de arcilla babilónica YBC 7289 (C. 1800-1600 BCE) da una aproximación del

\ raíz cuadrada {2}

en cuatro figuras sexagesimales, que es cerca de seis figuras decimales : + \ frac {24} del

l $1 {60} + \ + \ frac {10} {60^3} = 1.41421 \ overline {296} del frac {51} {60^2}.$

Otra aproximación cercana temprana de este número se da en los textos matemáticos antiguos del indio, el Sulbasutras (C. 800-200 BCE) como sigue: Aumento del la longitud el lado por su tercer y este tercero por su propio cuarto menos la trigésimo cuarta parte de eso cuarta. es decir,

$1 + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {3 \ cdot 4} - \ frac {1} {3 \ cdot4 \ cdot 34} = \ frac {577} {408} \ aproximadamente 1.$

Esta aproximación india antigua es el séptimo en una secuencia de aproximaciones cada vez más exactas basadas en la secuencia de números de Pell que se puedan derivar de la extensión de la fracción continua del $\ raíz cuadrada {2}.$

El descubrimiento de los números irracionales se atribuye generalmente al pitagórico Hippasus de Metapontum, que produjo la prueba de a (geométrico más probable) de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2. según una leyenda, que Pythagoras creyó en la rotundidad de números, y que no podría aceptar la existencia de números irracionales. Él no podría refutar su existencia con lógica, pero su creencia no aceptaría la existencia de números irracionales y así que él condenó Hippasus a la muerte ahogándose. Otras leyendas divulgan que Hippasus fue ahogado por los pitagóricos fanáticos, o expelido simplemente de su círculo.

Algoritmo del cómputo

Hay un número de algoritmos para aproximar la raíz cuadrada de 2, que en expresiones como cociente de números enteros o como un decimal puede ser aproximado solamente. El algoritmo más común para esto, uno usado como base en muchas computadoras y las calculadoras, es el método babilónico de computar raíces cuadradas, que es uno de muchos métodos de computar las raíces cuadradas . Va como sigue:

Primero, escoger una conjetura arbitraria, $F_0$ ; la conjetura no importa, como ella afecta solamente a cuántas iteraciones se requieren para alcanzar una aproximación de cierta exactitud. Entonces, usar esa conjetura, iterar con el cómputo recurrente siguiente : = \ frac {+ \ frac {2} del $F_ del l {n+1} de F_n {F_n}} {2}.$

Más iteraciones con el algoritmo (es decir, más cómputos realizados y el mayor " n"), la mejor aproximación de la raíz cuadrada de 2 se alcanza.

El valor de √2 era calculado a 137.444 lugares decimales por equipo de s de Kanada Yasumasa 'en 1997.

En febrero de 2006 el expediente para el cálculo de √2 fue eclipsado con el uso de un ordenador personal. Shigeru Kondo calculaba 200.000 lugares decimales adentro levemente durante 13 días y 14 horas usar una PC 3.6GHz con 16GB de la memoria.

Entre constantes matemáticos con extensiones decimales nonrepeating, solamente π se ha calculado más exactamente.

Pruebas de la irracionalidad

Prueba por pendiente infinita

Una prueba de la irracionalidad del número es la prueba siguiente por la pendiente infinita . Es también una prueba por la contradicción, que significa que el asunto es probado si se asume que el contrario del asunto es verdad y que demuestra que esta asunción es falsa, así que significa que el asunto debe ser verdad.

asume que √2 es un número racional, significando que existe un del número entero un y un b del número entero tales que un /un b

de = de √2. Entonces √2 se puede escribir como irreducible de la fracción un /un b tales que el un y el b son números enteros coprimeros y ( un /un b ) ² = el

2. Sigue ese un ²/ b ² = 2 y un ² = 2 el b ². ( ('' ''/'' de a b '') ⁿ = '' a '' ⁿ/'' b '' ⁿ )

Por lo tanto el un ² está incluso porque es igual 2 al b ². (el ² del 2 b está lógicamente necesario incluso porque es divisible por 2 es decir, (el ² de 2 b) /2 = el ² de b - y los números divisibles por dos están incluso por definición.

de ) Sigue que el un debe ser incluso durante (los cuadrados de números enteros impares son también impares, refiriendo a b) o (solamente los números pares tienen incluso cuadrados, refiriendo a a).

Porque el un es uniforme, existe un k del número entero que satisfaga: = 2 k .

Substituyendo 2 el k a partir de (6) para el un en la segunda ecuación de (3): 2 el b ² = (2 el k ) ² es equivalente 2 al b ² = 4 que el k ² es equivalente al b ² = 2 el k ².

Porque 2 el k ² es divisible por dos y por lo tanto incluso, y porque 2 el k ² = el b ², sigue que el b ² está también incluso que significa que el b es uniforme.

Por (5) y (8) el un y el b son ambo incluso, que contradice que el un /un b es irreducible según lo indicado en (2).

Q.D

Puesto que hay una contradicción, la asunción (1) que √2 es un número racional debe ser falsa. Se prueba el contrario: √2 es irracional.

Esta prueba se puede generalizar para demostrar que cualquier raíz de cualquier número natural es un número natural o irracional.

Prueba por la facturización única

Una prueba alternativa utiliza el mismo acercamiento con el teorema único de la facturización:

asume que √2 es un número racional, significando que existe un del número entero un y un b del número entero tales que un /un b

de = de √2. Entonces √2 se puede escribir como irreducible de la fracción (la fracción se reduce tanto cuanto sea posible) un /un b tales que el un y el b son números enteros coprimeros y ( un /un b ) ² = el

2. Sigue ese un ²/ b ² = 2 y un ² = 2 el b ².

Por el teorema único de la facturización, el un y el b tienen una facturización primera única, tal que = 2^x el k y b = 2^y el m para el x de los números enteros no negativos, el y, y el impar no negativo m de los números enteros y el k .

Por lo tanto, un ² = 2^2x k ² y b ² = 2^2y m ².

Inserción nuevamente dentro (3) de nosotros conseguimos ese 2^2x k ² = 2·2^2y m ² = 2^2y+1 m ².

Esto indica que una facturización primera con incluso una energía de 2 (el exponente es 2 el x ) es igual a una con una energía impar de 2 (el exponente es 2 del y ; + 1). Pero esto contradice el teorema único de la facturización. Por lo tanto la declaración original debe ser falsa.

Otra prueba

La discusión siguiente del absurdum de anuncio de Reductio que demuestra la irracionalidad de √2 es menos bien sabido. Utiliza la información adicional √2 > 1. Asumir que √2 es un número racional. Esto significaría que existen el m de los números enteros y el n con el ≠ 0 del n tales que el m / n

de = de √2. Entonces √2 se puede también escribir como irreducible m / n de la fracción con números enteros positivos del, porque √2 > 0.

Entonces

{porque} \ raíz cuadrado {2} \, n \, = \,

de m. Desde √2 > 1, sigue ese m > el n, que alternadamente implica ese m > 2 el n - m .

Tan el m / n de la fracción para √2, que según (2) es ya en los términos más bajos, se representa por (3) en terminantemente más bajo llama. Esto es una contradicción, tan la asunción que √2 es racional debe ser falso.

Prueba geométrica

Otra demostración del absurdum de anuncio de Reductio que √2 es irracional es menos bien sabido. Es también un ejemplo de la prueba por la pendiente infinita . Hace uso de la construcción clásica del compás y de la regla, probando el teorema por un método similar a ése empleado por los geómetras del griego clásico.

Dejar ABC del ser un triángulo isósceles correcto con el m de la longitud de la hipotenusa y el n de las piernas. Por el teorema pitagórico, el m / n = √2. supone que el m y el n son números enteros que dejan el m : el n sea un cociente dado en sus términos más bajos .

Dibujar el BD de los arcos y el CE del con el A del centro. Sigue ese AB = el ANUNCIO, CA del del = el AE y el CCB ∠ y el DAE del ∠ coinciden. Por lo tanto el ABC y ADE del de los triángulos es el congruente por el SAS.

Puesto que el EBF del ∠ es un de ángulo recto y BEF ∠ es mitad un de ángulo recto, el BEF del es también un triángulo isósceles correcto. Por lo tanto el ESTÉ = del m ; − el n implica el FB del = del m ; − n . Por simetría, DF de = del m ; − el n, y el FDC es también un triángulo isósceles correcto. También sigue ese FC = del n ; − ( del m ; − n ) = 2 del n ; − m .

Por lo tanto tenemos un triángulo isósceles correcto incluso más pequeño, con el del n de la longitud 2 de la hipotenusa; − m y del m de las piernas; − n . Estos valores son números enteros incluso más pequeños que el m y el n y en el mismo cociente, contradiciendo la hipótesis ese m : el n está en los términos más bajos. Por lo tanto el m y el n no pueden ser ambos números enteros, por lo tanto √2 es irracional.

Características de la raíz cuadrada de dos

Una mitad de √2, aproximadamente 0.70710 67811 86548, es una cantidad común en trigonometría de la geometría y porque el vector de unidad que hace un ángulo 45° con las hachas en un plano tiene los coordenadas

del l \ (\ frac {\ raíz cuadrada {2}} {2}, dejado \ frac {\ raíz cuadrada {2}} {2} \ derecho).

Este número satisface = \ frac = \ raíz cuadrada del $(45^ \ circ) de lechuga romana (45^ \ circ).$

Una característica interesante de la raíz cuadrada de dos es como sigue: ¡ $del l \! \ {1 \ encima {\ raíz cuadrada {2} - 1}} = \ raíz cuadrada {2} + 1.$

Éste es un resultado de una característica de los medios de la plata

Otra característica interesante de la raíz cuadrada de dos: $\ raíz cuadrada {2+ \ raíz cuadrada {2+ \ raíz cuadrada {2} \ cdots} del } del = 2$

La raíz cuadrada de dos se puede también expresar en términos de copias del i de la unidad imaginaria usar solamente la raíz cuadrada y las operaciones aritméticas : $del l \ frac {\ raíz cuadrada {i} +i \ raíz cuadrada {i}} {i}$ y $\ frac {\ raíz cuadrada {- i} - i \ raíz cuadrada {- i}} {- i}.$

Serie y representaciones del producto

La identidad lechuga romana (π/4) = pecado (π/4) = √2/2, junto con las representaciones del producto infinito para el seno y el coseno, lleva a los productos por ejemplo

\ frac del l {1} {\ raíz cuadrada 2} = \ ^ del prod_ {k=0} \ infty \ ido (1 \ frac {1} {(4k+2)^2} \ derecho) = \ ido (1 \ frac {1} {4} \ derecho) \ ido (1 \ frac {1} {36} \ derecho) \ ido (1 \ frac {1} {100} \) derecho \ cdots

y $\ raíz cuadrada {2} del l = \ ^ del prod_ {k=0} \ infty \ frac {(4k+2)^2} {(4k+1) (4k+3)} = \ ido (\ frac {2 \ cdot 2} {1 \ cdot 3} \ derecho) \ ido (\ frac {6 \ cdot 6} {5 \ cdot 7} \ derecho) \ ido (\ frac {10 \ cdot 10} {9 \ cdot 11} \ derecho) \ ido (\ frac {14 \ cdot 14} {13 \ cdot 15} \) derecho \ cdots$

o equivalente, $\ raíz cuadrada {2} del l = \ ^ del prod_ {k=0} \ infty \ ido (1+ \ frac {1} {4k+1} \ derecho) \ (1 \ frac {1} {4k+3} \ derecho)$

dejado

\ ido (1+ \ frac {1} {1} \ derecho) \ ido (1 \ frac {1} {3} \ derecho) \ ido (1+ \ frac {1} {5} \ derecho) \ ido (1 \ frac {1} {7} \) derecho \ cdots.

El número puede también ser expresado tomando la serie de Taylor de una función trigonométrica. Por ejemplo, la serie para lechuga romana (π/4) da $\ frac del l {1} {\ raíz cuadrada {2}} = \ ^ del sum_ {k=0} \ ^ infty \ del frac {(- ^k de 1) \ ido (\ frac {\ pi} {4} \ derecho) {2k}} {(2k)!}.$

La serie de Taylor de √ (1+ x ) con el x = 1 da

$\ raíz cuadrado {2} = \ sum_ {k=0} ^ \ infty (- ^ de 1) {k+1} \ frac {(2k-3)!!}{(2k)!!} = 1 + \ frac {1} {2} - \ + \ frac {1 \ cdot3} {2 \ cdot4 \ cdot6} del frac {1} {2 \ cdot4} - \ + \ cdots.$ del frac {1 \ cdot3 \ cdot5} {2 \ cdot4 \ cdot6 \ cdot8}

La convergencia de esta serie se puede acelerar con un Euler transforma, produciendo $\ raíz cuadrada {2} del l = \ ^ del sum_ {k=0} \ infty \ frac {(2k+1)!}{(k!)^2 2^ {3k+1}} = \ 2} + \ frac {3} del frac {1} {{8} + \ frac {15} {64} + \ 256} + \ frac {315} del frac {35} {{4096} + \ 16384} + \ cdots.$ del frac {693} {

No se sabe si √2 se puede representar con un BBP-tipo fórmula . el BBP-tipo fórmulas se sabe para el ln π√2 y √2 (1+√2), sin embargo.

Representación de la fracción continua

La raíz cuadrada de dos tiene la representación siguiente de la fracción continua : ¡

del l \! + \ cfrac {1} \ \ raíz cuadrada {2} = 1 {2 + \ cfrac {1} {2 + \ cfrac {1} {2 + \ cfrac {1} {\ ddots}}}}.

Ver también

Raíz cuadrada de 3
Raíz cuadrada de 5
La raíz cuadrada de dos es el cociente de aspecto de los tamaños del papel bajo ISO 216 .
La raíz cuadrada de dos es el cociente de la frecuencia de un intervalo de Tritone en música dodecafónica del temperamento del igual.
La raíz cuadrada de dos también forma la relación de las paradas F en lentes fotográficas.

Zenithic

Statutes Drafting and Compilation Act 1920

Random links:

Charlize Theron | Guillermo Hogarth | Jean de Joinville

="http://pagead2.googlesyndication.com/pagead/show_ads.js">