El radián, en las matemáticas, es una unidad del ángulo plano, de igual a los grados 180/del del π, o de cerca de 57. Es representado por el " del símbolo; rad" o, más raramente, por el exponente c (para el " measure" circular;). Por ejemplo, un ángulo de 1.2 radianes sería escrito como " rad" 1.2^c" (el segundo símbolo se puede confundir desde un grado: " 1.

Sin embargo, el radián es la unidad estándar de medida angular para los matemáticos, y en la escritura matemática el " del símbolo; rad" se omite casi siempre. En la ausencia de cualquier símbolo se asumen los radianes, y cuando se significan los grados se utiliza el ° del símbolo.

El radián era antes una unidad suplementaria del SI, pero esta categoría fue suprimida en 1995 y el radián ahora se considera una unidad derivada del SI. La unidad del SI de medida del ángulo sólido es el estereorradián .

Definición

Un radián es el ángulo subtendido en el centro de un círculo al lado de un arco de la circunferencia que es igual en longitud al radio del círculo.

Más generalmente, la magnitud en radianes de cualquier ángulo subtendido por dos radios es igual al cociente de la longitud del arco incluido al radio del círculo; es decir, el θ del = el s / r, donde está el ángulo el θ del subtendido en radianes, el s es longitud de arco, y el r es radio. Inversamente, la longitud del arco incluido es igual al radio multiplicado por la magnitud del ángulo en radianes; es decir, s = rθ del .

Sigue que la magnitud en radianes de una revolución completa (360 grados) es la longitud de la circunferencia entera dividida por el radio, o 2π   del r ; / r, o 2π. Así los radianes 2π son iguales a 360 grados, significando que un radián es igual a los grados 180/π.

Historia

El concepto de medida del radián, en comparación con el grado de un ángulo, se debe acreditar probablemente a los corrales de Rogelio en 1714. Él tenía el radián en todo pero nombre, y él reconoció su naturalidad como unidad de medida angular.

El radián término primero apareció en la impresión el el 5 de junio, 1873, en las preguntas de la examinación fijadas por el James Thomson (hermano de señor Kelvin ) en la universidad de la reina, Belfast . Él utilizó el término desde 1871, mientras que en 1869, el Thomas Muir, después de la universidad de St Andrews, vacillated entre el rad, el radial y el radián del . En el 1874, Muir adoptó el radián del después de una consulta con James Thomson.

Conversiones

Conversión entre los radianes y los grados

Como se declaró anteriormente, un radián es igual a los grados 180/π. Así, para convertir de radianes a los grados, multiplicarse por 180/π. Por ejemplo,

$1\; \backslash \; mbox\; \{rad\}\; =\; 1\; \backslash \; cdot\; \backslash \; frac\; \{180^\; \backslash \; circ\}\; \{\backslash \; pi\}\; \backslash \; aproximadamente\; 57.2958^\; \backslash \; circ$
$2.5\; \backslash \; cdot\; \backslash \; frac\; \{180^\; \backslash \; circ\}\; \{\backslash \; pi\}\; \backslash \; aproximadamente\; 143.2394^\; \backslash \; circ$
$\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{3\}\; \backslash \; mbox\; \{rad\}\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{3\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; frac\; \{180^\; \backslash \; circ\}\; \{\backslash \; pi\}\; =\; 60^\; \backslash \; circ$

Inversamente, convertir de grados a los radianes, multiplicarse por π/180. Por ejemplo,

$1^\; \backslash \; circ\; =\; 1\; \backslash \; cdot\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{180^\; \backslash \; circ\}\; \backslash \; aproximadamente\; 0.0175\; \backslash \; mbox\; \{rad\}$
$23^\; \backslash \; circ\; =\; 23\; \backslash \; cdot\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{\}\; \backslash \; aproximadamente\; de\; 180^\; \backslash \; del\; circ\; 0.4014\; \backslash \; mbox\; \{rad\}$

Usted puede también convertir radianes a las revoluciones dividiendo el número de radianes por 2π.

La tabla demuestra la conversión de algunos ángulos comunes.

Conversión entre los radianes y los graduados

los radianes 2π son iguales a una revolución completa, que es 400^g. Así pues, convertir de radianes a los graduados que se multiplican por 200/π, y al convertido de graduados a los radianes multiplicarse por π/200. Por ejemplo,

$1.2\; \backslash \; cdot\; \backslash \; frac\; \{200^\; \{\backslash \; rm\; g\}\}\; \{\backslash \; pi\}\; \backslash \; aproximadamente\; 76.3944^\; \{\backslash \; rm\; g\}$
$50^\; \{\backslash \; rm\; g\}\; =\; 50\; \backslash \; cdot\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{\{\backslash \; rm\; g\}\}\; 200^\; \backslash \; aproximadamente\; 0.7854\; \backslash \; mbox\; \{rad\}$

Razones que los radianes son preferred en matemáticas

En el cálculo y la mayoría de las otras ramas de las matemáticas más allá de la geometría práctica, los ángulos se miden universal en radianes. Una razón importante es que los resultados en el análisis que implica las funciones trigonométricas son simples y " natural" cuando la discusión de la función se expresa en radianes. Por ejemplo, el uso de radianes lleva a la fórmula simple del límite

$\backslash \; lim\_\; \{h\; \backslash \}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pecado\; h\}\; \{h\}\; =1$, del rightarrow 0

cuál es la base de muchas otras identidades elegantes en matemáticas, el incluir $del$

l \ frac {d} {dx} \ = \ lechuga romana x del pecado x.

Las funciones trigonométricas también tienen extensiones de serie más simples cuando se utilizan los radianes; por ejemplo, la serie de Taylor siguiente para el sin  x : $del$

l \ pecado x = - \ frac {x^3} {3 de x!} + \ frac {x^5} {5!} - \ frac {x^7} {7!} + \ cdots.

Si el x fuera expresado en grados entonces la serie contendría los factores sucios que implican energías de π/180: si el x es el número de grados, el número de radianes es el y = el x /180 del π, tan $del$

l \ pecado x \ (grado) = \ pecado y \ (rad) = \ frac {\ pi} {180} x - (\ frac {\ pi} {180}) ^3 \ \ frac {x^3} {3!} + (\ frac {\ pi} {180}) ^5 \ \ frac {x^5} {5!} - (\ frac {\ pi} {180}) ^7 \ \ frac {x^7} {7!} + \ cdots.

Análisis dimensional

Aunque el radián sea una unidad de medida, es una cantidad sin dimensiones . Esto se puede ver de la definición dada anterior: el ángulo subtendió en el centro de un círculo, medido en radianes, es el cociente de la longitud del arco incluido a la longitud del radio del círculo. Puesto que las unidades de medida la cancelación, este cociente son sin dimensiones.

Otra manera de considerar el dimensionlessness del radián está en las representaciones de la serie de las funciones trigonométricas, tales como la serie de Taylor para el sin  x mencionado anterior: $del\; \backslash \; pecado\; x\; =\; -\; \backslash \; frac\; \{x^3\}\; \{3\; de\; x!\}\; +\; \backslash \; cdots$ Si el x tuviera unidades, después la suma sería sin setido: ¡el x del término linear no se puede agregar (o haber restado) al término cúbico $x^3/3!$. Por lo tanto, el x debe ser sin dimensiones.

Uso en la física

El radián es ampliamente utilizado en la física cuando se requieren las medidas angulares. Por ejemplo, la velocidad angular se mide típicamente en radianes por el segundo (rad/s). Una revolución por segundo es igual a los radianes 2π por segundo.

Semejantemente, la aceleración angular se mide a menudo en radianes por segundo por el segundo (rad/s²).

Las razones están iguales que en matemáticas.

Múltiplos de las unidades del radián

Los prefijos métricos no tienen uso limitado con radianes, y ninguno en matemáticas.

El miliradián (0.001 rad, o 1 mrad) se utiliza en la artillería y el que apunta, porque corresponde a un error de 1 m en un radio de acción de 1000 m (a tales pequeños ángulos, la curvatura es insignificantes). La divergencia de las vigas del laser también se mide generalmente en miliradianes.

Unidades más pequeñas como los microradians (μrads) y los nanoradians (nrads) se utilizan en astronomía, y se pueden también utilizar para medir la calidad de la viga de lasers con divergencia ultrabaja. Semejantemente, los prefijos más pequeños que milli- son potencialmente útiles en la medición de ángulos extremadamente pequeños.

Sin embargo, los prefijos más grandes no tienen ninguna utilidad evidente, principalmente porque exceder los radianes 2π es comenzar el mismo círculo (o el ciclo revolucionario) otra vez.

Ver también

trigonometría
Análisis armónico
Frecuencia angular
Graduado
Grado
Estereorradián - el " radian" cuadrado;

.

Zenithic

Léon Gaumont

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