En la teoría del anillo, una rama de la álgebra del extracto, el Jacobson radical de un R del anillo es un ideal del R que contiene esos elementos del R que en cierto modo sean " cerca de zero".
Definición
El Jacobson radical es denotado por J ( R ) y se puede definir de las maneras equivalentes siguientes:la intersección de todo el máximo dejado los ideales .
la intersección de todos los ideales correctos máximos.
la intersección de todos los annihilators dejado simple R - módulos * la intersección de todos los annihilators del correcto simple R - módulos
la intersección de todos los ideales primitivos izquierdo
la intersección de todos los ideales primitivos correctos.
{ R del ∈ del x : para cada R del ∈ del r existe el R del ∈ del u con el u (1 - el rx del ) = 1}
{ R del ∈ del x : para cada R del ∈ del r existe el R del ∈ del u con (1 - el xr del ) el u = 1}
si el R es el comutativo, la intersección de todos los ideales máximos en el R .
el ideal más grande I tales que para todo el I, 1 del ∈ del x - el x es inversible en el R
Observar que la característica pasada hace medio del no que cada x del elemento del R tales que 1 - el x es inversible debe ser un elemento de J ( R ). También, si el R no es comutativo, después J ( R ) es el no necesario igual a la intersección de todos los ideales máximos bilaterales en el R .
El radical de Jacobson se nombra para el Nathan Jacobson, que primero estudió el radical de Jacobson.
Ejemplos
El radical de Jacobson de cualquier campo es {0}. El radical de Jacobson de los números enteros es {0}.El radical de Jacobson del Z Z /8 del anillo (véase la aritmética modular ) es 2 el Z Z /8.
Si es el K un campo y un R es el anillo de todo el triangular superior n - por matrices del n con las entradas en el K, después J ( R ) consiste en todas las matrices triangulares superiores con ceros en la diagonal principal.
Si el K es un campo y un R = el '' n ''
El comienzo con una aljaba finita Γ y un K del campo y consideran el K Γ de la álgebra de la aljaba (según lo descrito en el artículo de la aljaba). El radical de Jacobson de este anillo es generado por todas las trayectorias en Γ del ≥ 1.
El radical de Jacobson de un C*-algebra es {0}. Esto sigue del teorema de Gelfand-Naimark y el hecho para el *-algebra del A., un *-representation topológico irreducible en un espacio de Hilbert es algebraico irreducible, de modo que su núcleo sea un ideal primitivo en el sentido puramente algebraico (véase el espectro del *-algebra del A.
Características
a menos que el R sea el anillo trivial {0}, el radical de Jacobson es siempre un ideal en el R distinto del R .
si el R es comutativo y finito generado, después J ( R ) es iguales al Nilradical del R .
el radical de Jacobson del R /J ( R ) del anillo es cero. Los anillos con el radical cero de Jacobson se llaman los anillos semiprimitivos
si f : El S del → del R es un homomorfismo Surjective, entonces f (J ( R ) del anillo) ⊆ J ( S ).
si el M es un dejado finito generado R - módulo con el M de J ( R ) = el M, entonces M = 0 (el lema de Nakayama).
J ( R ) contiene cada nada ideal R . Si se deja el R o el correcto artinian, después J ( R ) es un ideal Nilpotent . Observar sin embargo que en general el Jacobson radical no necesita consistir en solamente los elementos Nilpotent del anillo.
el R del
es un del anillo de Semisimple si y solamente si es Artinian y su radical de Jacobson es cero.
Ver también
Radical de un móduloRadical de un ideal
.
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