En la teoría del anillo, una rama de las matemáticas, el radical del de un ideal es una clase de terminación ideal. Hay varios radicales especiales asociados al anillo entero - tal como el nilradical y el Jacobson radical, que aíslan cierto " bad" características del anillo. Un ideal radical es un ideal que es su propio radical (esto se puede expresar como siendo un punto fijo de una operación en los ideales llamados “radicalización ").

Definición

El radical de un ideal I en un R del anillo comutativo, denotado por Rad ( I ) o √ I, se define como el $del\; \backslash \; hbox\; \{Rad\}\; (I)=\; \backslash \; \{r\; \backslash \; en\; R|r^n\; \backslash \; adentro\; I\; \backslash \; \backslash \; hbox\; \{para\; algún\}\; positivo\; \backslash \; n\; del\; número\; entero\; \backslash \}.$

Intuitivo, uno puede pensar en el radical del I según lo obtenido tomando todas las raíces posibles de elementos del I . El Rad ( I ) resulta ser un ideal sí mismo, conteniendo el I .

Ejemplos

Considerar el Z del anillo de los números enteros

el radical del Z del ideal 4 del múltiplo de números enteros de 4 es 2 el Z .

Esto dice que en cada de la expresión un n del ^{del b del i} del ^{de + &minus del m ; 1 − el i} , o el exponente del un será bastante grande hacer esta energía del un está en el I, o el exponente del b será bastante grande hacer que esta energía del b está en el I . Puesto que el producto de un elemento en el I con un elemento en el R está en el I (pues el I es un ideal), esta expresión del producto estará en el I, y entonces ( + el b ) el n del ^{+ &minus del m ; 1} está en el I, por lo tanto el + el b está en el radical del I .

Para acabar de comprobar que el radical es un ideal, tomamos a del elemento un en el radical, con el un n del ^{de en el I y un &isin arbitrario del r del elemento; R . Entonces, (el ra del ) el n del = del n} del ^{del r un n} del ^{de está en el I, así que el ra del está en el radical. Así el radical es un ideal.}

El nilradical de un anillo

Considerar el sistema de todos los elementos Nilpotent del R, que serán llamados el nilradical del R (y será denotado por el N (R) ). Como puede ser visto fácilmente, el nilradical del R es apenas el radical del ideal cero (0). Esto trae alrededor de una definición alternativa para el radical (del general) de un ideal I en el R . Definir Rad ( I ) como el preimage del N (R/I), el nilradical del R / I, bajo &rarr del R del mapa de la proyección; R/I .

Para ver que las dos definiciones para el radical del I son equivalentes, nota primero que si el r está en el preimage de √ (R/I), entonces para un cierto n, rⁿ está ponen a cero adentro el R/I, y por lo tanto el rⁿ está en el I . En segundo lugar, si el rⁿ está en el I para un cierto n, después la imagen del rⁿ en el R/I es cero, y por lo tanto el rⁿ está en el preimage de √ (R/I). Esta definición alternativa puede ser muy útil, pues veremos a la derecha abajo. Ver los #Properties abajo para otra caracterización del nilradical.

Radicales de Jacobson de

considera también:

radical de Jacobson

Dejar el R ser cualquier anillo, no no necesario comutativo. El radical de Jacobson del del R del de es la intersección de los annihilators de todo el correcto simple R - módulos .

Hay varias caracterizaciones equivalentes del radical de Jacobson, por ejemplo:

J ( R ) es la intersección de los ideales correctos (o izquierdos) máximos regulares del R .
J ( R ) es la intersección de todos los ideales primitivos correctos (o izquierdos) del R .
J ( R ) es el ideal (respectivamente izquierdo) correcto cuasi-regular correcto (o izquierdo) máximo del R .

Como con el nilradical, podemos ampliar esta definición al bilateral arbitrario I de los ideales definiendo J ( I ) para ser el preimage de J ( R/I ) bajo &rarr del R del mapa de la proyección; R/I .

Si el R es comutativo, el radical de Jacobson contiene siempre el nilradical. Si el R del anillo es un finito generado Z - la álgebra, después el nilradical es iguales al radical de Jacobson, y más generalmente: el radical de cualquier ideal I será siempre igual a la intersección de todos los ideales máximos del R que contienen el I . Esto dice que el R es un anillo de Jacobson.

Características

si el P es una prima ideal, después el R/P es un dominio integral, así que no puede tener divisores cero y particularmente no puede tener nilpotents diferentes a cero. Por lo tanto, el nilradical del R/P es {0}, y su preimage, siendo el P, es un ideal radical.

usando la localización, podemos ver que ese Rad ( I ) es la intersección de todos los ideales primeros del R que contienen el I : Cada ideal primero es radical, así que el J de la intersección de los ideales primeros que contienen el I contiene Rad ( I ). Si el r es un elemento del R que no está en Rad ( I ), después dejamos el S ser el sistema { rⁿ | el n es un número entero no negativo}. El S es multiplicatively cerrado, así que podemos formar el S^-1R de la localización. Formar el S^-1R/S^-1I del cociente. Por el lema de Zorn podemos elegir un ideal máximo P en este anillo. El preimage del P bajo &rarr del R de los mapas; S^-1R → El S^-1R/S^-1I es un ideal primero que contiene el I y no resuelve el S ; particularmente, no resuelve el r, así que el r no está en el J .

particularmente, el nilradical es igual a la intersección de todos los ideales primeros que contienen los 0 ideales, pero todos los ideales deben contener 0 así que el nilradical se puede definir alternativo como la intersección de los ideales primeros.

Usos

La motivación primaria en estudiar los radicales del es el Nullstellensatz Hilbert celebrado en la álgebra comutativa . Un fácil entender la versión de este teorema indica que para un algebraico cerró el k del campo, y para cualquier ideal polinómico finito generado J de él, uno tiene = del $I\; del\; (\backslash \; hbox\; \{V\}\; (j))\; \backslash \; hbox\; \{Rad\}\; (j)\; \backslash ,$ donde = \ {del $\backslash \; del\; hbox\; del\; \{V\}\; (j)\; x\; \backslash \; en\; k^n\; |\; f\; (x)=0\; \backslash \; mbox\; \{para\; todos\}\; f\; \backslash \; en\; J\; \backslash \}$ y = \ {del $del\; I\; f\; \backslash \; en\; x\_n\; de\; k\; |\; f\; (x)=0\; \backslash \; mbox\; \{para\; todos\}\; x\; \backslash \; en\; S\; \backslash \}.$

Otra manera de ponerla: El IV es una clase del operador del encierro, y con la identificación como el radical nosotros la ha identificado, y de tal modo establecido también que es el idempotente .