l del mapsto \ del operatorname {Tr} (T) \ en \ operatorname {L} (V)

Se define como sigue: dejado

$e\_1,\; \backslash \; ldots,\; e\_m$ del

y

$f\_1,\; \backslash \; ldots,\; f\_n$ del

ser bases para el V y el W respectivamente; entonces T tiene una representación de matriz

$\backslash \; \{a\_\; \{k\; \backslash \; ana,\}\; \backslash \}\; \backslash \; patio\; 1\; \backslash \; leq\; k,\; \backslash \; patio\; 1\; \backslash \; leq\; \backslash \; ana,\; j\; \backslash \; leq\; n$ de i j de i \ del leq m

concerniente a la base e_k del $del$

l \ f_ de los otimes \ ana

de $V\; \backslash \; otimes\; W$ del

l .

Ahora para el k, i de los índices en la gama 1,…, el m, considera el b_ del $del\; de\; la\; suma\; \{k,\; i\}\; =\; \backslash \; el\; a\_\; del\; ^n\; del\; sum\_\; \{j=1\}\; \{k\; j,\; i\; j\}.$

Esto da un k, i del _{del b de la matriz. El operador linear asociado en el V es independiente de la opción de bases y es por definición el rastro parcial .}

Definición invariante

l \ _V del operatorname {Tr} (1_ {V \ otimes W}) = \ W dévil \ 1_ {V} $del$

l \ _V del operatorname {Tr} (T (1_V \ otimes S)) = \ _V del operatorname {Tr} ((1_V \ otimes S) T) \ patio \ forall S \ en \ operatorname {L} (w) \ patio \ forall T \ en \ operatorname {L} (V \ otimes W).

Rastro parcial para los operadores en los espacios de Hilbert

El rastro parcial generaliza a los operadores en los espacios de Hilbert dimensionales infinitos. Suponer el V, W son los espacios de Hilbert, y dejar $del$

l \ {f_i \} _ {i \ adentro I}

ser una base ortonormal para el W . Ahora hay un isomorfismo isométrico

$\backslash \; bigoplus\_\; \{\backslash \; ana\; \backslash \; adentro\; I\}\; (V\; \backslash \; otimes\; \backslash )\; \backslash \; rightarrow\; V\; \backslash \; otimes\; W$ del f_ \ de la ana del mathbb {C}

Bajo esta descomposición, cualquie $T\; \backslash \; en\; \backslash \; operatorname\; \{L\}\; del\; operador\; (V\; \backslash \; los\; otimes\; W)$ se pueden mirar como matriz infinita de operadores en el V el $del$

l \ comienza {bmatrix} T_ {11} y T_ {12} y \ los ldots y T_ {1 j} y \ \ \ de los ldots T_ {21} y T_ {22} y \ ldots y T_ {2 j} y \ de los ldots \ \ \ vdots y \ vdots y y \ de los vdots \ \ T_ {k1} y T_ {k2} y \ ldots y T_ {k j} y \ de los ldots \ \ \ vdots y \ vdots y y \ vdots \ extremo {bmatrix}

Primero suponer que el T es operador no negativo. En este caso, todas las entradas diagonales de la matriz antedicha son operadores no negativos en el V . Si la suma $del$

l \ sum_ {\ ana} T_ {\ ana \ ana}

converge en la topología fuerte de L ( V ), él del operador es la independiente de la base elegida del W . El parcial V ( T ) de Tr _{del rastro se define para ser este operador. El rastro parcial de un operador del uno mismo-adjoint se define si y solamente si los rastros parciales de las piezas positivas y negativas se definen.}

Computación del rastro parcial

Suponer que el W tiene una base ortonormal, que denotamos por la notación del vector del ket como el $\backslash$

Rastro parcial e integración invariante

En el caso de los espacios de Hilbert dimensionales finitos, hay una manera útil de mirar el rastro parcial que implica la integración con respecto a un &mu convenientemente normalizado de la medida de Haar; sobre el grupo unitario U ( W ) del W . Convenientemente normalizado significa ese μ se toma para ser una medida con la masa total dévil (el W ). Suponer el V, W son los espacios de Hilbert dimensionales finitos. Entonces $del$

l \ int_ {\ operatorname {U} (w)} (1_V \ otimes U^*) T (1_V \ otimes U) \ d \ MU (U)

conmuta con todos los operadores del $1\_V\; \backslash \; otimes\; S$ de la forma y por lo tanto está únicamente del $R\; \backslash \; otimes\; 1\_W$ de la forma. El R del operador es el rastro parcial del T .

Rastro parcial como operación del quántum

El rastro parcial se puede ver como operación de Quantum. Considerar un sistema mecánico del quántum cuyo espacio de estado sea el $H\_A\; delproducto\; de\; tensor\backslash \; los\; otimes\; H\_B$ de los espacios de Hilbert. Un estado mezclado es descrito por un &rho de la matriz de densidad ;, eso es un operador no negativo de la remontar-clase del rastro 1 en el $H\_A\; \backslash \; otimes\; H\_B\; del\; producto\; de\; tensor.$ El rastro parcial de ρ con respecto al B del sistema, denotado por el $\backslash \; el\; rho\; ^A$, se llama el estado reducido del ρ en el A del sistema. En símbolos, $del$

l \ rho^A = \ _B \ rho. del operatorname {Tr}

Para demostrar que esto es de hecho una manera sensible de asignar un estado en el subsistema del A al ρ, ofrecemos la justificación siguiente. Dejar el M ser un observable en el A del subsistema, después el observable correspondiente en el sistema compuesto es $M\; \backslash \; los\; otimes\; I$. No obstante uno elige definir un $reducido\; \backslash \; rho^A$ del estado, debe haber consistencia de las estadísticas de la medida. El valor de expectativa del M después del A del subsistema se prepara en el $\backslash \; rho\; ^A$ y el del $M\; \backslash \; de\; los\; otimes\; que\; I$ cuando el sistema compuesto se prepara en ρ debe ser igual, es decir la igualdad siguiente debe sostenerse: $del$

l \ operatorname {Tr} (M \ = \ operatorname {Tr} (M \ otimes del cdot \ del rho^A) I \ cdot \ rho).

Vemos que esto es satisfied si el $\backslash \; rho\; ^A$ está según lo definido arriba vía el rastro parcial. Además es el único tal operación.

Dejar el T (H) sea el espacio de Banach de los operadores de la remontar-clase en el H del espacio de Hilbert. Puede ser comprobado fácilmente que el rastro parcial, visto como _B del $\backslash \; del\; operatorname\; del\; del\; mapa\; \{Tr\}:\; T\; ()\; \backslash \; rightarrow\; T\; (H\_A)$ de H_A \ de los otimes H_B es totalmente positivos y el remontar-preservar.

El mapa de rastro parcial según lo dado arriba es induce un _B dual ^* del $\backslash \; del\; operatorname\; del\; mapa\; \{Tr\}\; entre\; el\; C*-algebras\; de\; operadores\; limitados\; en$ \backslash ;\; H\_A$y$ H\_A\; \backslash \; otimes\; H\_B$dados\; cerca$ del$$

l \ ^* del _B del operatorname {Tr} (a) = A \ otimes I.

el _B ^* del $\backslash \; del\; operatorname\; \{Tr\}\; traza\; observables\; a\; los\; observables\; y\; es\; la\; representación\; delcuadro\; de\; Heisenbergdel$ \backslash \; del\; operatorname\; \{Tr\}\; \_B$.$

Comparación con el caso clásico

Suponer en vez de los sistemas mecánicos del quántum, del A de dos sistemas y del B son clásico. El espacio de los observables para cada sistema es entonces C*-algebras abeliano. Éstos están del C ( X ) de la forma y del C ( Y ) respectivamente para el X, Y de los espacios del acuerdo. El espacio de estado del sistema compuesto está simplemente $C\; del$

l (X) \ otimes C (Y) = C (X \ épocas Y).

Un estado en el sistema compuesto es un &rho del elemento positivo; del dual de C (× del X ; Y ), que por el teorema Riesz-De Markov corresponde a una medida regular de Borel en × del X ; Y . El estado reducido correspondiente es obtenido proyectando el ρ de la medida al X . Así el rastro parcial es el equivalente mecánico del quántum de esta operación.