En las estadísticas, una región de confianza del es una generalización multidimensional de un intervalo de confianza . Es un sistema de puntos en un n - espacio dimensional, representado a menudo pues un elipsoide alrededor de un punto que sea una solución estimada a un problema, aunque cualquier forma pueda ocurrir.

Se calcula la región de confianza de una manera tal que si un sistema de medidas fuera repetido muchas veces y una región de confianza calculada de la misma manera en cada sistema de medidas, después cierto porcentaje del tiempo, en promedio, (e. el 95%) la región de confianza incluiría el punto que representa el " true" valores del sistema de variables que son estimadas. Sin embargo, hace medio del no, cuando se ha calculado una región de confianza, que hay una probabilidad del 95% que el " true" los valores mienten dentro de la región, puesto que no asumimos ninguna distribución de probabilidad particular del " true" valores y nosotros mayo o mayo no tener otra información sobre donde están probables mentir.

El caso de la independiente, errores idénticamente normal-distribuidos

Suponer que hemos encontrado un $\backslash \; un\; boldsymbol\; \{\backslash \; un\; beta\}$ de la solución al problema overdetermined siguiente: = \ + \ boldsymbol {\ varepsilon} del mathbf {X} del $\backslash \; del\; mathbf\; del\; \{Y\}\; \backslash \; del\; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}$

donde está un el Y n - vector de la columna del dimensaional contener los valores observados, X es un n - por la matriz del p que pueden representar un modelo físico y que se asume para ser sabida exactamente, el $\backslash \; el\; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}$ es un vector de la columna que contiene los parámetros del p que deben ser estimados, y el $\backslash \; el\; boldsymbol\; \{\backslash \; varepsilon\}$ es un n - vector dimensional de la columna de los errores que se asumen para ser el independiente distribuido con las distribuciones normales con cero malo y cada uno que tiene iguales el mismo $desconocido\backslash \; sigma^2$ de la variación.

Según pañero y Smith, (100 - el $\backslash \; alpha$) un % común de la región de confianza para los elementos del $\backslash \; del\; boldsymbol\; \{\backslash \; de\; beta\}$ es representado por el sistema de los valores del b del vector que satisfacen la desigualdad siguiente: ^ del $del$

l (\ - \ mathbf {b} del boldsymbol {\ beta}) \ prima \ ^ del mathbf {X} \ prima \ mathbf {X} (\ boldsymbol {\ beta} - \) \ le ps^2 F (, \ NU, 1 - \ alfa) del mathbf {b} de p

donde el variable b representa cualquier punto en la región de confianza, el p es el número de parámetros, es decir el número de elementos del $\backslash \; del\; boldsymbol\; \{\backslash \; del\; beta\}$, s ² del vector es una estimación unbiassed del $\backslash \; sigma^2$ igual al $\backslash \; al\; frac\; \{\backslash \; varepsilon^\; \backslash \; prima\; \backslash \; varepsilon\}\; \{n\; -\; p\}$, F es la distribución F, $\backslash \; NU\; =\; n\; -\; p$, y el $\backslash \; alpha$ es el nivel estadístico de la significación, y los medios del $X^\; \backslash \; prime$ del símbolo el transportan de $X$.

La desigualdad antedicha define una región elipsoidal en el p - cartesiano dimensional p de R ^{del espacio de parámetro. El centro del elipsoide está en el $\backslash \; el\; boldsymbol\; \backslash \; beta$ de la solución. Según la prensa y otros, es más fácil trazar el elipsoide después de hacer la descomposición del valor singular. Las longitudes de las hachas del elipsoide son proporcionales a los reciprocals de los valores en las diagonales de la matriz diagonal, y las direcciones de estas hachas son dadas por las filas de la 3ro matriz de la descomposición.}

M3inimos cuadr3aticos cargados

Ahora dejarnos consideran el caso más general donde algunos elementos distintos del $\backslash \; del\; boldsymbol\; \{\backslash \; varepsilon\}$ han sabido la covariación diferente a cero (es decir los errores en las observaciones no se distribuyen independiente), y/o las desviaciones estándar de los errores no son todo iguales. Suponen que covariación matriz de $\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; varepsilon\}$ es $\backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \; sigma^2$ de V, donde está un el V n - por la matriz no singular del n que era igual a $\backslash \; mathbf\; \{\}\; \backslash \; sigma^2$ de I en el caso más específico manejado en la sección anterior, (donde está la matriz el I de identidad ,) pero aquí se permite tener elementos apagado-diagonales diferentes a cero el representar de la covariación de pares de observaciones individuales, así como no no necesario tener todos los elementos diagonales iguales.

Según el pañero y Smith (P. 108), es posible encontrar un no singular P de la matriz simétrica tales que $del$

l \ = \ = \ mathbf {V} del mathbf {P} del ^ \ de la prima \ del mathbf del mathbf {P} {P} \ del mathbf {P}

En efecto, el P es una raíz cuadrada del V de la matriz de covariación.

El problema de los m3inimos cuadr3aticos = \ + \ boldsymbol {\ varepsilon} del mathbf {X} del $\backslash \; del\; mathbf\; del$

l {Y} \ del boldsymbol {\ beta}

se puede entonces transformar izquierdo-multiplicando cada término por lo contrario del P, la formación de la nueva formulación del problema = \ + \ mathbf {f} del mathbf {Q} del $\backslash \; del\; mathbf\; del\; \{Z\}\; \backslash \; del\; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}$

donde

$\backslash \; mathbf\; \{Z\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathbf\; \{Y\}$
$\backslash \; mathbf\; \{Q\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathbf\; \{X\}$ y
$\backslash \; mathbf\; \{f\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; varepsilon\}$

Una región de confianza común para los parámetros, es decir para los elementos del $\backslash \; del\; boldsymbol\; \{\backslash \; de\; beta\}$, según el pañero y Smith P. 109 entonces es limitada por el elipsoide dado cerca: ^ del $del$

l (\ - \ boldsymbol del mathbf {b} {\ beta}) \ prima \ ^ \ prima \ mathbf del mathbf {Q} {Q} (\ - \ boldsymbol del mathbf {b} {\ beta}) = {\ frac {p} {n - p}} (\ ^ \ prima \ mathbf del mathbf {Z} {Z} - \ ^ del mathbf {b} \ prima \ ^ \ prima \ mathbf del mathbf {Q} {Z}) F (p, NP, 1 \ alfa)

Problemas no lineares

Las regiones de confianza se pueden definir para cualquier distribución de probabilidad. El experimentador puede elegir el nivel de significación y la forma de la región, y entonces el tamaño de la región es determinado por la distribución de probabilidad. Una opción natural es utilizar como límite un sistema de puntos con el $constante\; \backslash \; chi^2$ (valores del Chi .

Un acercamiento es utilizar una aproximación linear al modelo no linear, que puede ser una aproximación cercana en la vecindad de la solución, y después aplica el análisis para que un problema linear encuentre una región de confianza aproximada. Esto puede ser un acercamiento razonable si la región de confianza no es muy grande y los segundos derivados del modelo no son también muy grandes.

Ver también

.