En el cálculo, la regla de cadena es una fórmula para el derivado compuesto de dos funciones .

En términos intuitivos, si un variable, y, depende de una segunda variable, el u, que alternadamente depende de una tercera variable, el x, después el índice del cambio y con respecto al x puede ser computado como el índice de cambio del y con respecto al u multiplicado por el índice de cambio del u con respecto al x .

Discusión informal

La regla de cadena indica que, bajo condiciones apropiadas, $del$

l (f \ circ g) “(x) = f”, \, del g'((de g (x)) x)

cuál en forma corta se escribe como $(f\; \backslash \; circ\; g)\; “=”\; \backslash \; circ\; g\; de\; f\; \backslash \; g\text{'}$ del cdot.

Alternativo, en la notación de Leibniz, la regla de cadena es

$\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\; =\; \backslash \; frac\; \{dy\}\; \{\}\; \backslash \; frac\; \{du\}\; \{dx\}\; del\; du.$

En la integración, las contrapartes a la regla de cadena son la regla de la substitución.

Teorema

La regla de cadena en una variable se puede indicar más totalmente como sigue. Dejar el f ser una función con valores reales en ( un, el b ) que es diferenciable en el &isin del c ; ( un, b ); y g una función con valores reales definida en un I del intervalo que contiene la gama del f y del f ( c ) como punto interior . Si el g es diferenciable en el f ( c ), entonces
$(f\; \backslash \; circ\; g)\; (x)$ es diferenciable en el x = el c, y
$(f\; \backslash \; circ\; g)\; “(c)\; =\; f”\; g\text{'}(c).$ (de g (c))

Ejemplos

Ejemplo 1

Suponer, uno está subiendo una montaña a un índice de 0.5 kilómetros por la hora . La temperatura es más baja en elevaciones más altas; suponer que la tarifa por la cual disminuye es el °C 6 por kilómetro. Si uno multiplica el °C 6 por kilómetro por 0.5 kilómetros por hora, una obtiene el °C 3 por hora. Este cálculo es un uso típico de la regla de cadena.

Ejemplo II

Considerar el $f\; (x)\; =\; (x^2\; +\; 1)^3$. Tenemos $f\; (x)=h\; (g\; (x))$ donde $g\; (x)\; =\; x^2\; +\; 1$ y $h\; (x)\; =\; x^3.$ así,

Ejemplo III

Distinguir el $\backslash \; arctan\; \backslash ,\; \backslash \; pecado\; \backslash ,\; x$, etc. $del$

l \ frac {d} {dx} \ arctan \, x \, = \, \ frac {1} {1+x^2} $del$

l \ frac {d} {dx} \ arctan \, f (x) \, = \, \ frac {f'(x)} {1+f^2 (x)} $del$

l \ frac {d} {dx} \ arctan \, \ pecado \, x \, = \, \ frac {\ lechuga romana \, x} {1+ \ sin^2 \, x}

Regla de cadena para varias variables

La regla de cadena trabaja para las funciones más que una variable. Considerar el $z\; =\; la\; f\; (x,\; y)$ de la función donde $x\; =\; g\; (t)$ y $y\; =\; h\; (t)$, y $g\; (t)$ y el $h\; (t)$ son diferenciables con respecto a $t$, entonces $del\; \{\backslash \; DZ\; \backslash \; sobre\; despegue\}\; =\; \{\backslash \; z\; parcial\; \backslash \; sobre\; \backslash \; x\; parcial\}\; \{dx\; \backslash \; sobre\; despegue\}\; +\; \{\backslash \; z\; parcial\; \backslash \; sobre\; \backslash \; y\; parcial\}\; \{dy\; \backslash \; sobre\; despegue\}.$

Suponer que cada discusión del $z\; =\; de\; f\; (u,\; v)$ es una función dos-variable tales que $u\; =\; h\; (x,\; y)$ y $v\; =\; g\; (x,\; y)$, y que estas funciones son todas diferenciables. Entonces la regla de cadena miraría gusto: $del\; \{\backslash \; z\; parcial\; \backslash \; sobre\; \backslash \; x\; parcial\}\; =\; \{\backslash \; z\; parcial\; \backslash \; sobre\; \backslash \; u\; parcial\}\; \{\backslash \; u\; parcial\; \backslash \; sobre\; \backslash \; x\; parcial\}\; +\; \{\backslash \; z\; parcial\; \backslash \; sobre\; \backslash \; v\; parcial\}\; \{\backslash \; v\; parcial\; \backslash \; sobre\; \backslash \; x\; parcial\}$ $del$

l {\ z parcial \ sobre \ y parcial} = {\ z parcial \ sobre \ u parcial} {\ u parcial \ sobre \ y parcial} + {\ z parcial \ sobre \ v parcial} {\ v parcial \ sobre \ y parcial}.

Si considerábamos el $\backslash \; el\; vec\; r\; =\; (u,\; v)$ arriba como función de vector, podemos utilizar la notación del vector para escribir el antedicho equivalente como el producto de punto del gradiente de f y de un derivado del $\backslash \; del\; vec\; r$: del
del $\backslash \; del\; frac\; \{\backslash \; f\; parcial\}\; del$
= \ vec \ nabla f \ cdot \ frac {\ parcial \ vec r} {\ x parcial} {\ x parcial}.

Más generalmente, para las funciones de vectores a los vectores, la regla de cadena dice que la matriz de Jacobian de una función compuesta es el producto de las matrices de Jacobian de las dos funciones: $\backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; del\; (z\_1,\; \backslash \; ldots,\; z\_m)\}\{\backslash \; parcial\; (x\_1,\; \backslash \; ldots,\; x\_p)\}\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; (z\_1,\; \backslash \; ldots,\; z\_m)\}\{\backslash \; parcial\; (y\_1,\; \backslash \; ldots,\; y\_n)\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; (y\_1,\; \backslash \; ldots,\; y\_n)\}\{\backslash \; parcial\; (x\_1,\; \backslash \; ldots,\; x\_p)\}.$

Prueba de la regla de cadena

Dejar el f y el g ser funciones y dejar el x ser un número tales que el f es diferenciable en el g (x) y el g es diferenciables en el x . Entonces por la definición del differentiability,

$g\; (x+\; \backslash \; delta)\; -\; g\; (x)=\; \backslash \; delta\; g\text{'}(x)\; +\; \backslash \; épsilon\; (\backslash \; delta)\; \backslash \; delta\; \backslash ,$ donde $\backslash \; épsilon\; (\backslash )\; \backslash \; del\; delta\; a\; 0\; \backslash ,$ como $\backslash \; delta\; \backslash \; a\; 0.$

Semejantemente,

$f\; (g\; (x)+\; \backslash \; alfa)\; -\; f\; (g\; (x))\; =\; \backslash \; alfa\; f\text{'}(g\; (x))\; +\; \backslash \; eta\; (\backslash \; alfa)\; \backslash \; alfa\; \backslash ,$ donde $\backslash \; eta\; (\backslash )\; \backslash \; de\; la\; alfa\; a\; 0\; \backslash ,$ como $\backslash \; alfa\; \backslash \; a\; 0.\; \backslash ,$

Ahora

La regla de cadena fundamental

La regla de cadena es una característica fundamental de todas las definiciones del derivado y es por lo tanto válida en contextos mucho más generales. Por ejemplo, si el E, el F y el G es los espacios de Banach (que incluye el espacio euclidiano ) y f : &rarr del E ; F y g : &rarr del F ; El G es funciones, y si el x es un elemento del E tales que el f es diferenciable en el x y el g es diferenciable en el f ( x ), después el derivado (el derivado de Fréchet) del f de g o del de la composición en el x del punto se da cerca $del$

l \ _x del mbox {D} \ ido (g \ circ f \ derecho) = \ _ del mbox {D} {f \ se fue (x \ derechos)}\ se fue (g \) derecho \ el _x del circ \ del mbox {D} \ se fue (f \ derecho).

Observar que los derivados aquí son los mapas lineares y no números. Si los mapas lineares se representan como matrices (a saber el Jacobians, la composición en el lado derecho da vuelta en una multiplicación de la matriz.

Una formulación particularmente clara de la regla de cadena se puede alcanzar en el ajuste más general: dejar el M, el N y el P sean los múltiples k del ^{del C (o aún Banach-múltiples) y dejan f del}

l : &rarr del M ; N y g : &rarr del N ; P

ser mapas diferenciables. El derivado del f, denotado por el f de d, es entonces un mapa del paquete de la tangente M al paquete de la tangente del N, y podemos escribir el $del$

l \ el mbox {d} \ salieron (g \ el circ f \ derecho) de = \ mbox {d} g \ circ \ mbox {d} f.

De esta manera, la formación de derivados y los paquetes de la tangente se considera como Functor en la categoría de ^{&infin del C ; múltiples de} con el ^{&infin del C ; mapas de} como morphisms.

Tensores y la regla de cadena

Ver el campo de tensor para una explicación avanzada del papel fundamental los juegos de la regla de cadena en la naturaleza geométrica de los tensores

Derivados más altos

La fórmula de Faà di Bruno generaliza la regla de cadena a derivados más altos. Los primeros derivados son $\backslash \; frac\; del\; \{=\; \backslash \; el$ frac\; \{df\}\; \{dg\}\; de\; d\; (f\; \backslash \; circ\; g)\}\; \{dx\}\; \backslash \; del\; frac\; \{dg\}\; \{dx\}$\backslash \; frac\; \{d^2\; (f\; \backslash \; circ\; g)\}\; \{d\; x^2\}\; =\; \backslash \; frac\; \{d^2\; f\}\; \{d\; g^2\}\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{dg\}\; \{dx\}\; \backslash \; derecho)\; ^2\; dejado\; +\; \backslash \; frac\; \{df\}\; \{\}\; \backslash \; frac\; \{d^2\; g\}\; \{dx^2\}\; del\; dg$

$\backslash \; frac\; \{d^3\; (f\; \backslash \; circ\; g)\}\; \{d\; x^3\}\; =\; \backslash \; frac\; \{d^3\; f\}\; \{d\; g^3\}\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{dg\}\; \{dx\}\; \backslash \; derecho)\; ^3\; dejado\; +\; 3\; \backslash \; frac\; \{d^2\; f\}\; \{d\; g^2\}\; \backslash \; frac\; \{dg\}\; \{\}\; \backslash \; frac\; \{d^2\; g\}\; \{d\; x^2\}\; del\; dx\; +\; \backslash \; frac\; \{df\}\; \{\}\; \backslash \; frac\; \{d^3\; g\}\; \{d\; x^3\}\; del\; dg$

$\backslash \; frac\; \{d^4\; (f\; \backslash \; circ\; g)\}\; \{d\; x^4\}\; =\; \backslash \; frac\; \{d^4\; f\}\; \{dg^4\}\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{dg\}\; \{dx\}\; \backslash \; derecho)\; ^4\; dejado\; +\; 6\; \backslash \; frac\; \{d^3\; f\}\; \{d\; g^3\}\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{dg\}\; \{dx\}\; \backslash \; derecho)\; ^2\; dejado\; \backslash \; frac\; \{d^2\; g\}\; \{d\; x^2\}\; +\; \backslash \; frac\; \{\}\; \backslash \; dejado\; \backslash \; \{4\; \backslash \; frac\; \{\}\; \backslash \; frac\; \{d^3\; g\}\; \{dx^3\}\; +\; 3\; \backslash \; dejados\; del\; dg\}\; \{dx\; (\backslash \; frac\; \{d^2\; g\}\; \{dx^2\}\; \backslash \; derecho)\; ^2\; \backslash \; derecho\; de\; d^2\; f\}\; \{d\; g^2\; \backslash \}\; +\; \backslash \; frac\; \{df\}\; \{\}\; \backslash \; frac\; \{d^4\; g\}\; \{dx^4\}\; del\; dg$

Ver también

Regla de cadena inversa
Regla del producto triple
Derivado

.

Zenithic

Perimeter Highway (Winnipeg)

Random links:

Presa blanda | Sintaxis tipográfico | Iglesia de Bonifacio del santo, nueva Viena | Hacha del salón | Valle de la bifurcación del rugido