En la teoría de las probabilidades, la regla del de la sucesión es una fórmula introducida en el siglo XVIII por el Pedro-Simon Laplace en el curso de tratar el problema de la salida del sol.

La fórmula todavía se utiliza, para estimar particularmente las probabilidades subyacentes para los acontecimientos que no se han observado para ocurrir en absoluto en datos (finitos) de la muestra. Asignando a tales acontecimientos una probabilidad cero contravendría la regla de Cromwell, y no es justificado por la evidencia.

Declaración de la regla de sucesión

Suponer que el p es el uniformemente distribuido en el intervalo 1. supone el X ₁,…, el n +1 del _{del X es las variables al azar condicional independiente dadas el valor del p, y el condicional en el p es Bernoulli-distribuido con el p del valor previsto, es decir, cada uno tiene p de la probabilidad de ser igual a 1 y al &minus de la probabilidad 1; p de ser igual a 0. Entonces $P\; del$}

l (X_ {n+1} =1 \ mediados de X_1+ \ cdots+X_n=s) = {s+1 \ sobre n+2}.

La probabilidad que se levantará el sol mañana

Dejar el p ser la frecuencia duradera de las salidas del sol, es decir, las subidas del sol en (el p de 100 ×) % de días. El anterior a saber de cualquier salida del sol, una es totalmente ignorante del valor del p . Laplace representó esta ignorancia anterior por medio de una distribución de probabilidad del uniforme en el p . Así la probabilidad que el p está entre el 20% y el 50% es el apenas 30%. Esto no se debe interpretar para significar que en el 30% de todos los casos, el p está entre el 20% y el 50%; ésa sería una filosofía del frequentist de la probabilidad aplicada. Algo, significa que su estado del conocimiento (o de la ignorancia) justifica uno en ser el 30% sure que el sol se levanta entre el 20% del tiempo y el 50% del tiempo -- ésa es una filosofía Bayesian de la probabilidad aplicada. dado ninguna otra información el valor del p, y relevante a la cuestión de si se levantará el sol mañana, la probabilidad que se levantará el sol mañana es el p . Pero somos " del no ; dado el valor del " del p ;. Qué nos dan es los datos observados: el sol tiene diario levantada en expediente. Laplace dedujo el número de días diciendo que el universo fue creado hace aproximadamente 6000 años, basado en una construcción literal de la biblia . Para encontrar la distribución condicional de la probabilidad p dado los datos, uno utiliza el teorema de Bayes, que algo llama la regla de Bayes-Laplace del . Encontrar la distribución de probabilidad condicional del p dado los datos, uno puede entonces calcular la probabilidad condicional, dada los datos, que se levantará el sol mañana. Esa probabilidad condicional es dada por la regla de sucesión. La probabilidad que el sol se levantará mañana los aumentos con el número de días en los cuales el sol se ha levantado hasta ahora y disminuiría pues el número de días en los cuales el sol no ha podido levantarse los aumentos.

Detalles matemáticos

El p de la proporción se trata como variable al azar uniformemente distribuida. (Algunos que llevan un acercamiento Bayesian extremo la probabilidad aplicada insisten que el al azar de la palabra banished en conjunto de la teoría de las probabilidades, sobre la base de ejemplos como éste. Esta proporción es no al azar, sino incierta. Asignamos una distribución de probabilidad al p para expresar nuestra incertidumbre, para no atribuir aleatoriedad al p .)

Dejar el i del _{del X ser el número de " successes" en el ensayo del th del i, con el p de la probabilidad del éxito en cada ensayo. Así cada X es 0 o 1; cada X tiene una distribución de Bernoulli . Suponer que este el X s es la independiente condicional dada el p .}

El teorema de Bayes dice que para conseguir la distribución de probabilidad condicional del p dado el i del _{del X de los datos, el i = 1,…, el n, uno multiplica el " " anterior ; (es decir, la medida) de probabilidad marginal asignó al p por la función de probabilidad $L\; del$}

l (p)=P (X_1=x_1, \ cdots, X_n=x_n \ mediados de p)= \ ^ de los =p^s del ^ del p^ del ^n del prod_ {i=1} {x_i} (1-p) {1-x_i} (1-p) {n-s}

donde está el número el s = el x ₁ +… + el n del _{del x de " successes" y el n es por supuesto el número de ensayos, y entonces el normaliza, para conseguir el " posterior" (es decir, condicional en los datos) distribución de probabilidad del p . (Estamos utilizando el capital X para denotar un x de la variable al azar y de la minúscula o como el simulado en la definición de una función o mientras que los datos observaron realmente.)}

La función de densidad anterior de probabilidad es igual a 1 para 0 < el p < 1 e igual a 0 para el p < 0 o el p > 1. Para conseguir el constante de normalización, encontramos ¡

$\backslash \; int\_0^1\; p^s\; (1-p)\; ^\; \{\}\; \backslash ,\; del\; n-s\; dp=\; \{s!\; ¡(n-s)!\; \backslash \; sobre\; (n+1)!\}$

(véase la función beta para más en integrales de esta forma).

La función de densidad de probabilidad posterior está por lo tanto ¡$f\; del$

l (p)= {(n+1)! ¡\ sobre s! (n-s)!}^ de los p^s (1-p) {n-s}.

Esto es una distribución beta con el valor previsto $del$

l {s+1 \ sobre n+2}.

Desde la probabilidad condicional de la salida del sol de mañana, dada el valor del p, está apenas el p, la ley de la probabilidad total nos dice que la probabilidad de la salida del sol de mañana es apenas el valor previsto del p . Puesto que todo el esto es condicional en el observado i del _{del X de los datos para el i = 1,…, el n, tenemos}

$P\; (X\_\; \{n+1\}\; =1\; \backslash \; mediados\; de\; X\_i=x\_i\; \backslash \; \backslash \; mbox\; \{para\; \backslash \; i=1,\}\; \backslash \; puntea,\; el\; n)=\; \{s+1\; \backslash \; sobre\; n+2\}.$

Así si se ha levantado el sol cada mañana por 4.000 millones de años (1.000 mañanas consecutivas), y no hay otros datos disponibles, Laplace nos tendría concluir que es la probabilidad de la salida del sol de mañana ¡$del$

l {1, \! ¡460, \! ¡000, \! ¡000, \! ¡001 \ sobre 1, \! ¡460, \! ¡000, \! ¡000, \! 002}.

La probabilidad que el sol no se levanta sería mañana levemente menos de dos en tres trillones.

Ver también

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