En las matemáticas, una relación binaria (o un la relación de dos días del lugar de o del 2) es una asociación arbitraria de elementos dentro de un determinado o con los elementos de otro sistema.

Un ejemplo es el " el divide el " de ; relación entre el sistema del P de los números primeros y el sistema del Z de los números enteros, en el cual cada primero p se asocia a cada z del número entero que sea un múltiple del p, solamente de ningún otro. En esta relación, por ejemplo, la prima 2 se asocia a los números que incluyen -4, 0, 6, 10, pero no 1 o 9; y la prima 3 se asocia a los números que incluyen 0, 6, y 9, solamente no 4 o 13.

Las relaciones binarias se utilizan en muchas ramas de las matemáticas para modelar conceptos como " el es mayor que " de ;, " el es igual al " de ;, y " divides" en el aritmético, " el es congruente al " de ; en la geometría, " está adyacente a " en la teoría de gráfico, y mucho más. El concepto importantísimo de la función se define como clase especial de relación binaria. Las relaciones binarias son también muy usadas en el de informática, especialmente dentro del modelo emparentado para las bases de datos

Está un caso una relación binaria especial de los tuples una '' k '' - la relación ary, es decir, un sistema del k - donde el componente del j ^th de cada k - el tuple se toma del j del _{del X del dominio del j ^th de la relación. Un k - la relación ary entre elementos de un solo sistema reputa el homogéneo.}

En algunos sistemas de la teoría determinada axiomática, las relaciones se amplían a las clases, que son generalizaciones de sistemas. Esta extensión es necesaria para, entre otras cosas, modelar los conceptos de " es un of" del elemento; o " es un of" del subconjunto; en la teoría determinada, sin el funcionamiento en inconsistencias lógicas tales como paradoja de Russell.

Definición formal

Un R de la relación binaria se define generalmente como triple pedido ( X, Y, G ) donde están sistemas arbitrarios (o clases) el X y el Y, y el G es un subconjunto Y del × del X del producto de cartesiano . El X de los sistemas y el Y se llaman el dominio del y el Codomain, respectivamente, de la relación, y del G se llama su gráfico .

El R del ∈ de la declaración ( x, y ) es " leído; el del x es el del R de - relacionado con el " del y de ;, y es denotado por el xRy o el R ( x, y ). La 3ultima notación corresponde al R de la visión como la función característica del sistema del G de los pares.

La pedido de los elementos en cada par del G es importante: si el un b, entonces aRb del y sujetador del ≠ de del puede ser verdad o falso, independiente de uno a.

¿Es una relación más que su gráfico?

Según la definición arriba, dos relaciones con el mismo gráfico pueden ser diferentes, si diferencian en el X de los sistemas y el Y . Por ejemplo, si G = {(1.7)}, entonces (el Z, el Z, el G ), (el R, el N, el G ), y (el N, el R, el G ) son tres relaciones distintas.

Algunos matemáticos no consideran el X de los sistemas y el Y ser parte de la relación, y por lo tanto definen una relación binaria como siendo un subconjunto del Y, es decir, apenas el G del × del X del gráfico. Según esta visión, el sistema de pares {(1.7)} es una relación de fijado que contiene {1.2} a fijado eso contiene {2.

Cualquier acercamiento es adecuado para la mayoría de las aplicaciones, a condición de que una atiende a los cambios necesarios en lengua, la notación, y las definiciones de conceptos como la composición de las restricciones, la relación inversa, y así sucesivamente. La opción entre las dos definiciones importa generalmente solamente en contextos muy formales, como la teoría de la categoría.

Ejemplo

¡

Ejemplo: Suponer que hay cuatro objetos: {bola, coche, muñeca, arma} y cuatro personas: {Juan, Maria, así pues, Venus}. Suponer que Juan posee la bola, Maria posee la muñeca, y Venus posee el coche. Nadie posee el arma y así que no posee nada. Entonces el " de la relación binaria; es el by" poseído; se da como R del = ({bola, coche, muñeca, arma}, {Juan, Maria, así pues, Venus}, {(bola, Juan), (muñeca, Maria), (coche, Venus)}).

Así el primer elemento de R es el sistema de objetos, el segundo es el sistema de gente, y el elemento pasado es un sistema de los pares pedidos de la forma (objeto, dueño).

El par (bola, Juan), denotado por el R _John de _ball significa que la bola es poseída por Juan.

Dos diversas relaciones podían tener el mismo gráfico. Por ejemplo: el de la relación ({bola, coche, muñeca, arma}, {Juan, Maria, Venus}, {(bola, Juan), (muñeca, Maria), (coche, Venus)}) es diferente el anterior pues cada uno es un dueño. Pero los gráficos de las dos relaciones son iguales.

Sin embargo, el R se identifica o aún se define generalmente como G ( R ) y " un " pedido de G del ∈ de los pares ( x, y ) ( R ); se denota generalmente como " ( x, y ) " del R del ∈;.

Tipos especiales de relaciones binarias

¡ Algunas clases importantes del R de las relaciones binarias sobre el X y el Y son mencionadas abajo
izquierdo-total del

: para todo el x en el X existe un y en el Y tales que el xRy (esta característica, aunque a veces también designado el total del, es diferente de la definición del total del en la sección siguiente).
surjective o derecho-total: para todo el y en el Y existe un x en el X tales que el xRy.
funcional (también llamado derecho-definido): para todo el x en el X, y el y y el z en el Y sostiene eso si el el xRy y del xRz de y del entonces = el z .
inyectivo : para todo el x y el z en el X y el y en el Y sostiene eso si el el zRy xRy x de y del entonces = el z .
bijective : izquierdo-total, derecho-total, funcional, e inyectivo. Una relación binaria que es funcional se llama una función parcial ; una relación binaria que es izquierdo-total y funcional se llama una función .

Relaciones sobre un sistema

Si el X = el Y entonces nosotros dice simplemente que la relación binaria está sobre el X . O es un endorelation sobre el X .

Algunas clases importantes de relaciones binarias sobre un X del sistema son:
reflexivo : para todo el x en el X lleva a cabo ese xRx del . Por ejemplo, " mayor o igual " es una relación reflexiva pero el " mayor than" no es.
irreflexive : para todo el x en el X lleva a cabo ese xRx no . " Mayor than" es un ejemplo de una relación irreflexive.
coreflexive: para todo el x y el y en el X sostiene eso si el xRy x del entonces = el y .
simétrico : para todo el x y el y en el X sostiene eso si el yRx xRy entonces. " Es un of" del pariente de sangre; es una relación simétrica, porque el x es un pariente de sangre del y si y solamente si el y es un pariente de sangre del x .
antisimétrico : para todo el x y el y en el X sostiene eso si el el xRy x del yRx de y del entonces = el y . " Mayor o igual " es una relación antisimétrica, porque si el x, entonces x del ≥ del y y del y del ≥ del x = el y .
asimétrico : para todo el x y el y en el X sostiene eso si el yRx xRy no del entonces. " Mayor than" es una relación asimétrica, porque si > del x ; > del y del y entonces no; x .
transitivo : para todo el x, el y y el z en el X sostiene eso si el el xRz xRy yRz de y del entonces. " Es un of" del antepasado; es una relación transitiva, porque si el x es un antepasado del y y el y es un antepasado del z, después el x es un antepasado del z .
total del (o linear): para todo el x y el y en el X lleva a cabo ese yRx xRy (o ambos) de o del . " Es mayor o igual el " es un ejemplo de una relación total (esta definición para el total del es diferente de la que está en la sección anterior).
tricótomo: para todo el x y el y en el X exactamente uno del xRy, del yRx del o del x = el y se sostiene. " Es el mayor than" es un ejemplo de una relación tricótoma.
euclidiano : para todo el x, el y y el z en el X sostiene eso si el el xRz xRy, entonces yRz de y del del .
extensible (o serial): para todo el x en el X, existe el y en el X tales que el xRy. " Es el mayor than" es una relación extensible en los números enteros. Pero no es una relación extensible en los números enteros positivos, porque no hay y en los números enteros positivos tales que 1> y .
fijar-como : para cada x en el X, la clase de todo el y tales que el yRx del es un sistema. (Esto tiene sentido solamente si permitimos relaciones en clases apropiadas.) El < que ordena generalmente; en la clase de números ordinales está fijar-como, mientras que su < inverso; ^-1 no es.

Una relación que es reflexiva, simétrica y transitiva se llama una relación de equivalencia . Una relación que es reflexiva, antisimétrica y transitiva se llama una orden parcial . Una orden parcial que es total se llama una orden del total o una orden linear o una cadena. Una orden linear en la cual cada sistema no vacío tiene un menos elemento se llama una Bien-orden .

Una relación que es simétrica, un transitivo, y extensible es también reflexivo.

¡Operaciones en relaciones binarias Preorder -->

Si el R es una relación binaria sobre el X y el Y, después lo que sigue es una relación binaria sobre el Y y el X :
inverso o inverso:   del R ; ^-1, definido como   del R ; ^-1 = {(y, x) | (x, y) R del ∈}. Una relación binaria sobre un sistema es igual a su lo contrario si y solamente si es simétrica. Ver también la dualidad (teoría) de la orden .

Si el R es una relación binaria sobre el X, después cada uno del siguiente es relaciones binarias sobre el X :
Encierro reflexivo :   del R ; ⁼, definido como   del R ; ⁼ = {( x, x ) | R del ∪ del X del ∈ del x } o la relación reflexiva más pequeña sobre el X que contiene el R . Esto se puede ver para ser igual a la intersección de todas las relaciones reflexivas que contienen el R .
Reducción reflexiva :   del R ; $^\; \backslash \; neq$, definido como   del R ; $^\; \backslash \; neq$ = R \ {( x, x ) | X del ∈ del x } o la relación más grande de Irreflexive sobre el X contenido en el R .
encierro transitivo del :   del R ; ⁺, definido como la relación transitiva más pequeña sobre el X que contiene el R . Esto se puede ver para ser igual a la intersección de todas las relaciones transitivas que contienen el R .
reducción transitiva del :   del R ; ^-, definido como la relación más pequeña que tiene el mismo encierro transitivo que el R tiene.
encierro Transitivo-reflexivo :   del R ; ^*, definido como   del R ; ^* = (  del R ;   de ⁺); ⁼.

Si el R, el S es relaciones binarias sobre el X y el Y, después cada uno del siguiente es relaciones binarias:
Unión : Y del × del X del ⊆ del S del ∪ del R, definido como S del ∪ del R = {( x, y ) | ( x, y ) R del ∈ o ( x, y ) S del ∈}.
Intersección : Y del × del X del ⊆ del S del ∩ del R, definido como S del ∩ del R = {( x, y ) | ( x, y ) R del ∈ y ( x, y ) S del ∈}.

Si el R es una relación binaria sobre el X y el Y, y el S es una relación binaria sobre el Y y el Z, después lo que sigue es una relación binaria sobre el X y el Z : (véase la composición principal del artículo de las relaciones )
Composición :   del S ; o  R (  también denotado del R ; o  S ), definido como   del S ; o  R = {( x, z ) | existe el Y, tal del ∈ del y que (el x, el y ) el R del ∈ y (el y, el z ) el S del ∈}. La pedido del R y del S en el   del S de la notación; o  El R, usado aquí conviene con la pedido notational estándar para la composición de las funciones .

Complemento

Si el R es una relación binaria sobre el X y el Y, entonces el siguiente también:
El S del complemento del se define como y del R del x del y iff del S del x no.

El complemento de lo contrario es lo contrario del complemento.

Si el X = el Y el complemento tiene las características siguientes:
Si una relación es simétrica, el complemento está también.
El complemento de una relación reflexiva es irreflexive y viceversa.
El complemento de una orden débil terminante es un total preorder y viceversa.

El complemento de lo contrario tiene estas mismas características.

Restricción

La restricción de una relación binaria en un X del sistema a un S del subconjunto es el sistema de todos los pares ( x, y ) en la relación para la cual el x y el y están en el S .

Si una relación es el reflexivo, irreflexive, simétrico, antisimétrico, asimétrico, transitivo, total, una orden parcial, orden total, orden débil terminante, (orden débil), o una relación de equivalencia, sus restricciones está también.

Sin embargo, el encierro transitivo de una restricción es un subconjunto de la restricción del encierro transitivo, es decir, en el general no igual.

También, los varios conceptos de lo completo (no ser confundido con ser " total") no transportar a las restricciones. Por ejemplo, en el sistema de los números verdaderos una característica del " de la relación; ≤" está eso cada no vacío S del subconjunto del R con un que el límite superior en el R tiene un menos límite superior (también llamado supremum) en el R . Sin embargo, porque un sistema de números racionales este supremum no es necesario racional, así que la misma característica no se sostiene en la restricción del " de la relación; ≤" al sistema de números racionales.

Sistemas contra clases

Cierto " matemático; relations", por ejemplo " to" igual;, " of" del miembro;, y " of" del subconjunto;, no se pueden entender para estar las relaciones binarias según lo definido arriba, porque sus dominios y codomains no se pueden tomar para ser sistemas en los sistemas generalmente de la teoría determinada axiomática .

Por ejemplo, si intentamos modelar el concepto general de " equality" como relación binaria $=$, debemos tomar el dominio y el codomain para ser el " sistema de todo el sets", que no es un sistema en la teoría determinada generalmente. El work-around generalmente a este problema es seleccionar un " enough" grande; fijar el A, eso contiene todos los objetos del interés, y el trabajo con la restricción $=\_A$ en vez de $=$.

Semejantemente, el " of" del subconjunto; el $\backslash \; subseteq$ de la relación necesita ser restringido para tener P ( A ) (la energía del dominio y del codomain fijada de un específico A del sistema): la relación determinada resultante puede ser el $denotado\; \backslash \; subseteq\_A$. También, el " of" del miembro; la relación necesita ser restringida para tener el A del dominio y P ( A ) del codomain para obtener un $\backslash \; in\_A$ de la relación binaria que sea un sistema.

Otra solución a este problema es utilizar una teoría determinada con las clases apropiadas, tales como NBG o teoría determinada de Morse-Kelley, y permite el dominio y el codomain (y así que el gráfico) a ser las clases apropiadas en tal teoría, igualdad, calidad de miembro, y subconjunto es relaciones binarias sin el comentario especial. (La modificación de menor importancia de A necesita ser hecha al concepto del triple pedido ( X, Y, G ), pues normalmente una clase apropiada no puede ser un miembro de un tuple pedido; o por supuesto uno puede identificar la función con su gráfico en este contexto.)

En la mayoría de los contextos matemáticos, las referencias a las relaciones de la igualdad, la calidad de miembro y el subconjunto son inofensivos porque pueden ser entendidas implícito para ser restringido a un cierto sistema en el contexto.

El número de relaciones binarias

El número de relaciones binarias distintas en un n - el sistema de elemento es 2 ^{el n 2}:

Notas:
El número de relaciones irreflexive es igual que el de relaciones reflexivas
El número de (las relaciones transitivas irreflexive) es igual que el de órdenes parciales
El número de órdenes débiles terminantes es igual que el del total preorders
Las órdenes totales son las órdenes parciales que son también totales preorders. El número de preorders que son ni una orden parcial ni un total preorder es por lo tanto el número de preorders menos el número de órdenes parciales menos el número de total preorders más el número de órdenes totales: 0, 0, 0, 3, y 85, respectivamente.
el número de relaciones de equivalencia es el número de las particiones que es el número de Bell .

Las relaciones binarias se pueden agrupar en los pares (relación,), salvo que para el n = 0 la relación es su propio complemento. Los dismétricos se pueden agrupar en cuadruplican (relación, complemento, complemento inverso).

Ejemplos de relaciones binarias comunes

relaciones de orden incluyendo las órdenes terminantes mayor que
Mayor o igual
menos que
Inferior o igual
El divide (uniformemente)
es un subconjunto de
relaciones de equivalencia Igualdad
está el paralelo a (para el afinar los espacios
está en el Bijection con
isomorphy
relación, una relación simétrica, reflexiva de la dependencia .
Relación, una relación simétrica, irreflexive de la independencia.

Ver también

style=" del
Relación
Álgebra de la relación
Construcción de la relación Composición de la relación
Reducción de la relación
Correspondencia
Relación de equivalencia
Función
Diagrama de Hasse
Estructura de la incidencia
Lógica de los parientes
Teoría de la orden
Orden parcial
Relación reflexiva
Orden total
Relación triádica
Bien-orden