En las matemáticas, una relación de equivalencia es una relación binaria entre dos elementos de un determinado que los agrupe juntos como siendo " equivalent" de cierta manera. Dejar el un, b, y el c sea elementos arbitrarios de un cierto X del sistema. Entonces " un " del b del ~ de ; o " un &equiv de ; " del b ; denota que el un es equivalente al b .

Un " de la relación de equivalencia; ~" es el reflexivo, el simétrico, y el transitivo. Es decir el asimiento siguiente de la necesidad para el " ~" para ser una relación de equivalencia en el X :

Reflexivity : un del ~ de un
Simetría : si un del ~ del b del b del ~ de entonces un
Transitividad : si un del c del ~ del b y del b del ~ de entonces un c del ~ de .

El de equivalencia de la clase un bajo " ~", denotado, es el subconjunto de X cuyo b de los elementos sean tal que un b del ~ de . X junto con " ~" se llama un Setoid .

Ejemplos de relaciones de equivalencia

Una relación de equivalencia ubicua es la igualdad (" =") relación entre los elementos de fijado. Otros ejemplos incluyen:
" Tiene el mismo as" del cumpleaños; en el sistema de toda la gente, dado la teoría determinada ingenua .
" Es el to" similar; o " to" congruente; en el sistema de todos los triángulos
" Es congruente al " del n del modulo ; en los números enteros .
" Tiene la misma imagen bajo " de la función ; en los elementos del dominio de la función .
Equivalencia lógica de las oraciones lógicas .
" Es el to" isomorfo ; en modela de un sistema de las oraciones .
La semejanza en el sistema de Well-orderings que la equivalencia resultante clasifica es los números ordinales
En algunas teorías determinadas axiomáticas con excepción canónico ZFC (e., nuevas fundaciones y teorías relacionadas), Equinumerosity en el universo de: Los sistemas finitos dan lugar a las clases de equivalencia que son los números naturales
Los sistemas infinitos dan lugar a las clases de equivalencia que son los números cardinales Transfinite.
Dejar el un, b, c, el d sea los números naturales y dejar (el a, b ) y (el c, d ) sea los pares pedidos de tales números. Entonces la equivalencia clasifica bajo ~ de la relación ( a, b ) ( c, d ) es: Números enteros si + d = b + c ;
Números racionales si anuncio del = a.
Dejado (r_n del ) y (el s_n del ) ser cualquier dos secuencias de Cauchy de números racionales. Los números verdaderos son las clases de equivalencia del ~ de la relación (r_n del ) (s_n del ), si la secuencia (&minus del r_n del ; el s_n del ) tiene límite 0.
Las relaciones de Green son cinco relaciones de equivalencia en los elementos de un semigrupo .
" Es el to" paralelo ; en el sistema de subespacios de un afinan el espacio .

Ejemplos de las relaciones que no son equivalencias

El " de la relación; ≥" entre los números verdaderos es reflexivo y transitivo, pero no simétrico. Por ejemplo, 7 el ≥ 5 no implica ese 5 ≥ 7. Es, sin embargo, una orden parcial .
El " de la relación; tiene un factor común mayor de 1 with" entre los números naturales mayor de 1, es reflexivo y simétrico, pero no transitivo. (Los números naturales 2 y 6 tienen un factor común mayor de 1, y 6 y 3 tienen un factor común mayor de 1, pero 2 y 3 no tienen un factor común mayor de 1).
El vacío R de la relación en un determinado no vacío X (es decir el aRb del nunca es verdad) es el vacuo simétrico y transitivo, pero no reflexivo. (Si el X es también vacío entonces del R es reflexivo de .)
El " de la relación; es el to" aproximadamente igual; entre los números verdaderos u otras cosas, incluso si está definida más exacto, no es una relación de equivalencia, porque aunque sea reflexivo y simétrico, no sea transitiva, puesto que los pequeños cambios múltiples pueden acumular para convertirse en un cambio grande.
El " de la relación; es un of" del hermano; en el sistema de todos los seres humanos no está una relación de equivalencia. Aunque el siblinghood sea simétrico (si el A es un hermano del B, después el B es un hermano del A ) él sea ni reflexivo (nadie es un hermano de se), ni transitivo (desde entonces si el A es un hermano del B, después del B es un hermano del A, pero el A no es un hermano del A ). En vez de ser transitivo, el siblinghood es " casi transitive", significando eso si &ne del C, y del A del ~ del B, y del B del ~ del A ; C, entonces C del ~ del A .
El concepto de paralelismo en pidió la geometría no es simétrico y es, por lo tanto, no una relación de equivalencia.

Conexión a otras relaciones

Una relación de la congruencia es una relación de equivalencia cuyo X del dominio es también el sistema el ser la base para una estructura algebraica, y que respeta la estructura adicional. Las relaciones de la congruencia desempeñan generalmente el papel de los núcleos de homomorphisms, y el cociente de una estructura por una relación de la congruencia puede ser formado. En muchos casos importantes las relaciones de la congruencia tienen una representación alternativa pues las subestructuras de la estructura en la cual se definen. las relaciones de la congruencia en grupos corresponden a los subgrupos normales

La orden y las relaciones de equivalencia son amba el transitivo, pero solamente las relaciones de equivalencia son simétricas también. Si la simetría se debilita al antisymmetry, el resultado es una orden parcial .

Una relación de equivalencia parcial es transitiva y simétrica, pero no reflexivo.
Transitivo y simétrico implicar el reflexivo Iff para todo el un, &isin del b ; El X, un b del ~ de es siempre defined.
Una relación de la dependencia es reflexiva y simétrica, pero no transitive.
Un Preorder es reflexivo y transitivo, pero ni simétrico ni antisymmetric.
Una orden parcial terminante es sola transitivo.

Las relaciones de equivalencia se pueden considerar así como la culminación de una jerarquía de las relaciones de orden.

Clase de equivalencia, sistema del cociente, partición

Dejar el X ser un sistema no vacío con el típico de los elementos al y el b . Algunas definiciones:
El sistema de todo el un y del b para qué lleva a cabo un b del ~ de compone una clase de equivalencia del del X por el ~. Dejado =: {&isin del x ; X : el del ~ del x un } denota la clase de equivalencia a qué pertenece un . Entonces todos los elementos del equivalente del X son el uno al otro también elementos de la misma clase de equivalencia: ∀ un, &isin del b ; X ( un &harr del b del ~ de ; =).
El sistema de todas las clases de equivalencia posibles del X por el ~, denotado X /~ =: {: &isin del x ; El X }, es el cociente determinado del del X al lado de ~. Si el X es un espacio topológico, hay una manera natural de transformar el X /~ en un espacio topológico; ver el espacio de cociente para los detalles.
La proyección del del ~ es el &pi de la función; : &rarr del X ; X /~, definido por el π ( x ) =, trazando elementos del X en sus clases de equivalencia respectivas por el ~.
teorema del

l en las proyecciones (Birkhoff y 1999:35 del carril del mac, Th. 19): Dejar el f de la función: &rarr del X ; El B sea tal que un &rarr del b del ~ de ; f ( un ) = f ( b ). Entonces hay un único g de la función: X/~ → B, tal que f = &pi de g del ;. Si el f es un Surjection y un &harr del b del ~ de ; el f ( un ) = el f ( b ), entonces g es un Bijection .

el núcleo de equivalencia de un f de la función es la relación de equivalencia, denotado Ef, tal que &harr xEfy del ; f ( x ) = f ( y ). El núcleo de equivalencia de una inyección es la relación de identidad .
Una partición del del X es un P del sistema de subconjuntos del X, tal que cada elemento del X es un elemento de un solo elemento del P . Cada elemento del P es una célula de la partición. Por otra parte, los elementos del P son en parejas desunen y su unión es el X .

Teorema (" del ; Teorema fundamental de Relations" de equivalencia;: 1998:31 de Wallace, Th. 8; 2004:3 de Dummit y de Foote, apoyo. 2):
Un del ~ de la relación de equivalencia reparte el X de .
Inversamente, la correspondencia a cualquier partición X, allí existe un ~ de la relación de equivalencia en el X . En ambos casos, las células de la partición del X son las clases de equivalencia del X al lado de ~. Puesto que cada elemento del X pertenece a una célula única de cualquier partición del X, y puesto que cada célula de la partición es idéntica a una clase de equivalencia X por el ~, cada elemento del X pertenece a una clase de equivalencia única del X por el ~. Así hay un natural Bijection del sistema de todas las relaciones de equivalencia posibles en el X y del sistema de todas las particiones del X .

que cuenta las particiones posibles . Dejar el X ser un sistema finito con los elementos del n . Puesto que cada relación de equivalencia sobre el X corresponde a una partición del X, y viceversa, el número de relaciones de equivalencia posibles en el X iguala el número de particiones distintas del X, que es el B_n del número de Bell nth : $B\_n\; del\; =\; \backslash \; ^\; del\; sum\_\; \{k=0\}\; \backslash \; infty\; \backslash \; frac\; \{k^n\}\; \{ek!\}.$

Generación de relaciones de equivalencia

dado cualquie X del sistema, hay una relación de equivalencia sobre el sistema de todo el &rarr posible del X de las funciones; X . Dos tales funciones se juzgan equivalentes cuando sus sistemas respectivos de Fixpoints tienen la misma cardinalidad, correspondiendo a los ciclos de la longitud una en una permutación . Funciona la forma del equivalente de este modo una clase de equivalencia en el X ², y el de equivalencia X ² de la partición de estas clases.

un ~ de la relación de equivalencia en el X es el núcleo de equivalencia de su π Surjective de la proyección : &rarr del X ; X /~. (Birkhoff y Th del 1999:33 del carril del mac. Inversamente, cualquier Surjection entre los sistemas determina una partición en su dominio, el sistema de Preimages de los Singletons en el Codomain . Así una relación de equivalencia sobre el X, una partición del X, y una proyección cuyo dominio sea el X, es tres maneras equivalentes de especificar la misma cosa.

la intersección de cuaesquiera dos relaciones de equivalencia sobre el X (visto como subconjunto de × del X ; El X ) es también una relación de equivalencia. Esto rinde una manera conveniente de generar una relación de equivalencia: dado cualquier R de la relación binaria en el X, el de la relación de equivalencia generado por R es la relación de equivalencia más pequeña que contiene el R . Concreto, el R genera el que existe un Iff del b del ~ de allí de los elementos x ₁, x ₂,…, n de la relación de equivalencia del _{del x en el X tales que = el x 1, b = el n} del _{del x, y (el i del del i , del x del del x + 1) ∈ R o ( i} del _{del i +1}, del x del _{del x ) ∈ R, i = 1,…, n -1. la nota del}

l que la relación de equivalencia generó de este modo puede ser trivial. Por ejemplo, el ~ de la relación de equivalencia generado cerca: el ≤ del de la relación binaria del *The del
tiene exactamente una clase de equivalencia, X sí mismo, porque el y del ~ del x para todo el x y el y ; la relación antisimétrica del *An del
tiene clases de equivalencia que sean los Singletons X .

jó el r ser cualquier clase de relación en el X . Entonces &cup del r ; ^{&minus del r ; 1} es una relación simétrica . El transitivo s del encierro del &cup del r ; ^{&minus del r ; 1} asegura que el s es transitivo y reflexivo. Por otra parte, el s es el " smallest" la relación de equivalencia que contiene el r, y el r /del s pide parcialmente el X / s de .
Las relaciones de equivalencia del

pueden construir nuevos espacios por el " pegado de las cosas together." Dejar el X ser los × cartesianos del cuadrado de la unidad;, y dejar el ~ sea la relación de equivalencia en el X definida por el ∀ un, &isin del b ; (( un, 0) ~ ( un, 1) ∧ (0, b ) ~ (1, b )). Entonces el X /~ del espacio de cociente se puede identificar naturalmente con un toro : tomar un trozo de papel cuadrado, doblar y pegar junto el borde superior y más bajo para formar un cilindro, después doblar el cilindro resultante para pegar juntos sus dos extremos abiertos, dando por resultado un toro .

Estructura algebraica

Enrejados modulares

Las relaciones de equivalencia posibles en cualquier X del sistema, cuando son ordenadas por la inclusión determinada, forman un enrejado modular, llamado el X de la estafa por la convención. El ker canónico del mapa : &and del X ; &rarr del X ; El X de la estafa, relaciona el X del ^ del X del monoide de todas las funciones en el X y el X de la estafa . el ker es el Surjective pero no el inyectivo. Menos formalmente, el ker de la relación de equivalencia en el X, toma a cada uno el f de la función: &rarr del X ; X a su f del ker del núcleo . Asimismo, el ker del (ker) es una relación de equivalencia en el X del ^ del X .

Teoría de grupo

Se sabe muy bien que la teoría del enrejado captura la estructura matemática de las relaciones de orden que se sabe menos que la transformación agrupa (algunos autores prefieren los grupos de la permutación y sus órbitas vierten la luz en la estructura matemática de relaciones de equivalencia. Apenas mientras que las relaciones de orden se ponen a tierra en los sistemas pedidos de los sistemas cerrados bajo en parejas el Supremum y Infimum, las relaciones de equivalencia se ponen a tierra en los sistemas repartidos, sistemas cerrados bajo Bijections que preserva la estructura de partición. Desde todos tales bijections trazar una clase de equivalencia sobre sí mismo, tales bijections también se conocen como permutaciones

El “~ dejado” denota una relación de equivalencia sobre un cierto no vacío A del sistema, llamado el universo o el sistema que es la base del . Dejar el G denotar el sistema de las funciones bijective sobre el A que preservan la estructura de partición del A : ∀ &isin del x ; &forall del A ; &isin de g del ; G (&isin de g ( x ) del ; ). Entonces los tres siguientes conectaron el asimiento de los teoremas (Van Fraassen 1989: §10.3):
el del ~ reparte el A de en clases de equivalencia. (Éste es el teorema fundamental del de las relaciones de equivalencia, mencionado anteriormente);
Se da una partición A, G un grupo de la transformación bajo composición, cuyas órbitas las células del ‡ de la partición;
Dado un grupo de la transformación el G de sobre el A, existe un ~ de la relación de equivalencia sobre el A, cuyas clases de equivalencia son las órbitas G . (1998:202 de Wallace, Th. 6; 2004:114 de Dummit y de Foote, apoyo. En la suma, dada un ~ de la relación de equivalencia sobre el A, existe un G del grupo de la transformación sobre el A cuyas órbitas están las clases de equivalencia del A bajo ~.

Esta caracterización del grupo de la transformación de relaciones de equivalencia diferencia fundamental de los enrejados de la manera que caracterizan las relaciones de orden las discusiones de la reunión de las operaciones de la teoría del enrejado y el ensambla es elementos de un cierto A del universo. Mientras tanto, las discusiones de la transformación agrupan la composición de las operaciones y el inverso es elementos de un sistema de Bijections, &rarr del A ; A .

La mudanza a los grupos dejó generalmente el H ser un subgrupo de un cierto G del grupo . Dejar el ~ ser una relación de equivalencia en el G, tal que un &harr del b del ~ de ; (^{&minus del ab del ; &isin 1}; H ). Las clases de equivalencia de ~— también llamó las órbitas de la acción H en &mdash de G del ; es el correcto de Cosets del del de H en de G. Intercambiando un y el de b rinde los cosets izquierdos.

Para más en teoría de grupo y relaciones de equivalencia, ver a Lucas (1973: §31).

de la prueba del ‡ (adaptado del 1989:246 de Van Fraassen). Dejar el funcionar la composición interpretan la multiplicación del grupo, y la función inverso interpreta lo contrario del grupo. Entonces el de G es un grupo bajo composición, significando ese ∀ &isin del de x; &forall del de A; &isin del de g; de G (=), porque el de G satisface las cuatro condiciones siguientes:
G es cerrado bajo de la composición . La composición de cualquier dos elementos del de G existe, porque el dominio y el Codomain de cualquier elemento del de G es de A. Por otra parte, la composición de bijections es el Bijective (1998:22 de Wallace, Th. 6);
Existencia de elemento de identidad . La función de identidad, de I ( de x) = de x, es un elemento obvio del de G;
Existencia de del de la función inversa . Cada de la función Bijective g tiene un ^{&minus inverso del g; 1}, tal que ^{&minus del del gg de ; de 1} = de I;
el de la composición de asocia el de . de f ( de gh) = ( del fg de ) de h. Esto se sostiene para todas las funciones sobre todos los dominios (1998:24 de Wallace, Th. Dejar el de f y el de g ser cualquier dos elementos del de G. En virtud de la definición del de G, = y =, de modo que =. Por lo tanto el de G es también un grupo de la transformación (y un grupo del automorfismo) porque la composición de la función preserva la división del de A. $\backslash \; square$

Teoría de la categoría

La composición de la central de Morphisms a la teoría de la categoría, denotada aquí por el encadenamiento, generaliza la composición de la central de las funciones a los grupos de la transformación. Los axiomas de la teoría de la categoría afirman que la composición Morphisms se asocia, y que existen los morphisms izquierdos y derechos de la identidad. Si todos los morphisms en una categoría eran tener " lo contrario, " la categoría se asemejaría a un grupo de la transformación, cuya estrecha relación a las relaciones de equivalencia acaba de explicarse. Un f del morphism se puede decir para tener lo contrario cuando el f es un automorfismo, es decir, el dominio y el Codomain del f son idénticos, y existe un g del morphism tales que fg del = gf del = morphism de la identidad. Por lo tanto el concepto categoría-teórico lo más cerca posible a una relación de equivalencia es una categoría cuyos morphisms son todos los automorfismos.

Relaciones de equivalencia y lógica matemática

Las relaciones de equivalencia son una fuente lista de ejemplos o contraejemplos. Por ejemplo, una relación de equivalencia con exactamente dos clases de equivalencia infinitas es un ejemplo fácil de una teoría que sea el categórico del ω-, pero no categórica para cualquier número cardinal de un más grande.

Una implicación de la teoría modelo es que las características que definen una relación pueden ser independiente probada de uno a (y por lo tanto partes necesarias de la definición) si y solamente si, para cada característica, los ejemplos se pueden encontrar de las relaciones que no satisfacen la característica dada mientras que satisfacen el resto de características. Por lo tanto las tres características de definición de relaciones de equivalencia pueden ser mutuamente probada independiente por los tres ejemplos siguientes:
reflexivo y transitivo del : El &le de la relación; en el N . O cualquier Preorder ;
simétrico y transitivo del : El R de la relación en el N, definido como &harr del aRb del ; &ne del ab del ; 0. O cualquie relación de equivalencia parcial ;
reflexivo y simétrico del : El R de la relación en el Z, definido como &harr del aRb del ; " un &minus de ; el b es divisible por por lo menos uno de 2 o de 3." O cualquie relación de la dependencia.

Características definibles en la lógica de primer orden que una relación de equivalencia los mayo o mayo no poseer incluye:
El número de las clases de la equivalencia es finito o infinito;
El número de clases de equivalencia iguala el (finito) n del número natural;
Todas las clases de equivalencia tienen cardinalidad infinita ;
El número de elementos en cada clase de equivalencia es el n del número natural.

Euclid anticipó equivalencia

de s de Euclid el 'los elementos incluye el " siguiente; Noción común 1": las cosas del

l que igualan la misma cosa también igualan uno otro.

Hoy en día, la característica descrita por la noción común 1 se llama el euclidiano (que substituye el " equal" por el " estar en with" de la relación;). El teorema siguiente conecta las relaciones euclidianas y las relaciones de equivalencia:

Teorema . Si una relación es euclidiana y el reflexivo, es también simétrica y transitiva.

Prueba del :
(&and del arco del ; &rarr del bRc del ); aRb del = (&and del aRa del ; &rarr del sujetador del ); &and del ''' del ''' T del erase del aRb del ; = &rarr del sujetador del ; aRb del . Por lo tanto el R es el simétrico.
(&and del arco del ; &rarr del bRc del ); aRb del = (&and del arco del ; &rarr del cRb del ); aRb del . Por lo tanto el R es el transitivo. $\backslash \; square$ Por lo tanto una relación de equivalencia es una relación que es el euclidiano y el reflexivo. El los elementos menciona ni simetría ni reflexivity, y Euclid probablemente habría juzgado el reflexivity de la igualdad demasiado obvio para autorizar la mención explícita. Si esto (y tomando el " equality" como relación abstracta de uso múltiple) se concede, una lectura caritativa de la noción común 1 acreditaría Euclid con ser la primera a concebir de relaciones de equivalencia y de su importancia en sistemas deductivos.

Ver también

Relación de la congruencia
El dirigió determinado
Equivalencia
Clase de equivalencia
Relación de equivalencia parcial
Orden total
hasta

.

Zenithic

Scanning gate microscopy

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