En las matemáticas, las relaciones de Green son cinco relaciones de equivalencia que caracterizan los elementos de un semigrupo en términos de ideales principales que generan. Las relaciones se nombran para el James Alexander verde, que las introdujo en un papel de 1951. Juan Mackintosh Howie, un teórico prominente del semigrupo, describieron este trabajo como " ¿todo-está impregnando tan eso, al encontrar un nuevo semigrupo, casi la primera pregunta una pide es 'como qué las relaciones verdes? '" (Howie 2002). Las relaciones son útiles para entender la naturaleza de la divisibilidad en un semigrupo; son también válidas para los grupos, pero en este caso no nos dicen nada útil, porque los grupos tienen siempre divisibilidad. (De la misma manera, los ideales de un campo son un ambiente mucho menos rico para el estudio que los ideales de un anillo .)

En vez del trabajo directo con un S del semigrupo, definimos relaciones de Green sobre el S ¹ del monoide . (el S ¹ es " El S con una identidad colindó en caso de necesidad el " ; si el S no es ya un monoide, un nuevo elemento se colinda y se define para ser una identidad.) Esto se asegura de que los ideales principales generados por un cierto elemento del semigrupo contengan de hecho ese elemento. Para un del elemento un del S, los ideales relevantes está:
El ideal izquierdo principal del generó por el un : a = $S^1\; \backslash \; \{sa\; \backslash \; mediados\; de\; s\; \backslash \; en\; S^1\; \backslash \}$. Esto es igual que $\backslash \; \{sa\; \backslash \; mediados\; de\; s\; \backslash \; en\; S\; \backslash \}\; \backslash \; taza\; \backslash \; \{a\; \backslash \}$, que es $Sa\; \backslash \; taza\; \backslash \; \{a\; \backslash \}$.
El ideal correcto principal del generó por el un : = \ {del $a\; S^1\; como\; \backslash \; mediados\; de\; s\; \backslash \; en\; S^1\; \backslash \}$, o equivalente $aS\; \backslash \; taza\; \backslash \; \{a\; \backslash \}$.
El ideal bilateral principal del generó por el un : $S^1\; un\; S^1$, o como \ taza Sa \ taza \ {del $SaS\; \backslash \; de\; la\; taza\; a\; \backslash \}$.

Las relaciones de L, de R, y de J

Para el de los elementos un y el b del S, del de Green L de las relaciones, del R y del J es definido por el
un L de del b de si y solamente si del S ¹ de = b del S ¹.
un b del R de si y solamente si un S de ¹ = S ¹ del b .
un b del J de si y solamente si del S ¹ un S de ¹ = S ¹ del b del S ¹. Es decir, el un y el b son el L - relacionado si generan el mismo ideal izquierdo; R - relacionado si generan el mismo ideal correcto; y J - relacionado si generan el mismo ideal bilateral. Éstos son relaciones de equivalencia en el S, así que cada uno de ellos las producciones una partición del S en clases de equivalencia. El L - la clase de un es el denotado L del _{de al} (y semejantemente para las otras relaciones).

El verde utilizó el $\backslash \; el\; mathfrak\; minúsculos\; \{l\}$ de Blackletter, el $\backslash \; el\; mathfrak\; \{r\}$ y $\backslash \; el\; mathfrak\; \{f\}$ para estas relaciones, y escribió el $a\; \backslash \; b\; equivalente\; (\backslash \; mathfrak\; \{l\})$ para el un L b de de (y además para el R y el J ). Los matemáticos tienden hoy a utilizar letras de la escritura tales como $\backslash \; \{R\}$ mathcal en lugar de otro, y substituyen la aritmética modular - notación de Green del estilo con el estilo del infijo usado aquí. Las letras ordinarias se utilizan para las clases de equivalencia.

Las relaciones del L y del R son de izquierda a derecha duales a una otra; los teoremas referentes a uno se pueden traducir a declaraciones similares sobre el otro. Por ejemplo, el L es el derecho-compatible: si el un L b de y c de es otro elemento del S, entonces el L a. Dual, el R es el izquierdo-compatible: si un b, entonces Cb del R de R del Ca .

Si el S es comutativo, después el L, el R y el J coinciden.

Las relaciones de H y de D

Las relaciones restantes se derivan del L y del R . Su intersección es el H : del un b del H de si y solamente si un L b de y de un b del R de . Esto es también una relación de equivalencia en el S . Un teorema importante indica que el de equivalencia e del _{del H de la clase, donde está un idempotente el e, es un subgrupo del S (su identidad es el e, y todos los elementos tienen lo contrario), y es de hecho el subgrupo más grande del S que contiene el e . Por ejemplo, en el semigrupo de la transformación en elementos del n, n} , el H del _{del T - la clase del mapa de la identidad es el simétrico n} del _{del S del grupo .}

El del _{del H de la clase un} es la intersección del L del _{de al} y del _{del R un} . Más generalmente, la intersección de cualquier L - clase con cualquie R - clase es un H - clasificar o el sistema vacío.

Finalmente, el D es definido por el del un b del D de si y solamente si existe un c en el S tales que un L el b del R del c de y del c de . En la lengua de los enrejados, el D es el ensamblar del L y del R . (El ensamblar para las relaciones de equivalencia es normalmente más difícil definir, sino ser simplificado en este caso por el hecho de que un L el b del R del c de y del c de para un cierto c si y solamente si un L b del d del R de y del d de para un cierto d .)

Pues el D es la relación de equivalencia más pequeña que contiene el L y el R, sabemos que el un b del D de implica el un &mdash del b del J de ; el J contiene tan el D . En un semigrupo finito, el D y el J están igual.

Hay también una formulación del D en términos de clases de equivalencia, derivada directo de la definición antedicha: del un b del D de si y solamente si la intersección del del _{del R un} y del L b del _{de no es vacía. Por lo tanto, el D - clases de un semigrupo puede ser visto como uniones del L - clases, como uniones del R - clases, o como uniones del H - clases. Clifford y Preston (1961) sugieren el pensar en esta situación en términos de huevo-caja:}

Cada fila de huevos representa un R - clase, y cada columna un L - clase; los huevos ellos mismos son el H - clases. Para un grupo, hay solamente un huevo, porque coinciden los cinco de relaciones de Green, y hace todos los elementos del grupo equivalentes. El caso opuesto, encontrado por ejemplo en el semigrupo bicíclico, es donde está cada elemento en un H - clase de su propio. La huevo-caja para este semigrupo contendría infinitamente muchos huevos, pero todos los huevos están en la misma caja porque hay solamente un D - clase. (Semigrupo sea de A para los cuales todos los elementos D - relacionado se llama el bisimple del .)

Puede ser demostrado que dentro de un D - clasificar, todo el H - las clases son los mismos tamaños. Por ejemplo, el T ₄ del semigrupo de la transformación contiene cuatro el D - las clases, dentro de las cuales el H - las clases tiene 1, 2, 6, y 24 elementos respectivamente.

Los avances recientes en la combinatoria de semigrupos han utilizado relaciones de Green para ayudar a enumerar semigrupos con ciertas características. Un resultado típico (Satoh, Yama, y Tokizawa 1994) demuestra que hay exactamente 1.128 los semigrupos desiguales de de la orden 8, incluyendo 221.805 cuál es comutativo; su trabajo se basa en una exploración sistemática del posible D - clases. (Por el contrario, hay solamente cinco grupos de la orden 8 .)

Ejemplo

El completo T ₃ del semigrupo de la transformación consiste en todas las funciones del sistema {1, 2, 3} a sí mismo; hay 27 de éstos. Escribir ( un c del b de ) para la función que envía 1 al un, 2 al b, y 3 al c . Puesto que el T ₃ contiene el mapa de la identidad, (1 2 3), allí no es ninguna necesidad de colindar una identidad.

El diagrama de la huevo-caja para el T ₃ tiene tres D - clases. Son también el J - clases, porque estas relaciones coinciden para un semigrupo finito.

Generalizaciones

Hay esencialmente dos maneras de generalizar una teoría algebraica. Uno es cambiar sus definiciones de modo que cubran más o diversos objetos; la otra, una manera más sutil, es encontrar un cierto resultado deseable de la teoría y considerar maneras alternativas de alcanzar esa conclusión.

Después de la primera ruta, las versiones análogas de relaciones de Green se han definido para el Semirings (Grillet 1970) y los anillos (Petro 2002). Algunas, pero no todas las, características asociadas a las relaciones en semigrupos transportan a estos casos. Permaneciendo dentro del mundo de semigrupos, las relaciones de Green se pueden ampliar a los ideales relativos de la cubierta que son los subconjuntos que son solamente ideales con respecto a un subsemigroup (Wallace 1963).

Para la segunda clase de generalización, los investigadores han concentrado en características Bijections entre el L - y el R - las clases. Si el y, entonces él del R del x es siempre posible encontrar bijections entre el L x del _{de y L y} del _{de que sean el R - clase-preservando. (Es decir, si dos elementos de un L - clase estar en el mismo R - clasifican, después sus imágenes debajo de un bijection todavía estarán en el mismo R - clase.) La declaración dual para el L y del x de también se sostiene. Estos bijections son traducciones correctas e izquierdas, restringidas a las clases de equivalencia apropiadas. La pregunta que se presenta es: ¿cómo podía haber tales bijections?}

Suponer ese Λ y Ρ son los semigrupos de transformaciones parciales de un cierto S del semigrupo. Bajo ciertas condiciones, puede ser demostrado que si &Rho del x ; = &Rho del y ;, con &rho del x ; ₁ = &rho del y y del y ; ₂ = x, entonces el &rho del de las restricciones; ₁: Λ &rarr del x ; Λ &rho y ; ₂: Λ &rarr del y ; Λ x son los bijections mutuamente inversos. (Convencionalmente, las discusiones se escriben a la derecha para el Λ, y en la izquierda para el Ρ.) Entonces las relaciones del L y del R se pueden definir por el L y del x del de si y solamente si Λ x = Λ y del R del x y si y solamente si &Rho del x ; = &Rho del y ; y el D y el H siguen como normal. La generalización del J no es parte de este sistema, como ella no hace ninguna parte en la característica deseada.

Llamamos (Λ, Ρ) un par de Green del . Hay varias opciones del semigrupo parcial de la transformación que rinden las relaciones originales. Un ejemplo sería tomar Λ para ser el semigrupo de todas las traducciones izquierdas en el S ¹, restringido al S, y Ρ el semigrupo correspondiente de traducciones correctas restrictas.

Estas definiciones son debido a Clark y a Carruth (el an o 80). Incluyen el trabajo de Wallace, así como las otras definiciones generalizadas propuestas en los mediados de los años setenta. Los axiomas completos son bastante muy largos indicar; informal, los requisitos más importantes son que ambo Λ y Ρ deben contener la transformación de la identidad, y ésa los elementos del Λ debe conmutar con los elementos del Ρ.