En las matemáticas, la representación de matriz del de las secciones cónicas es una forma de estudiar una sección cónica, su eje, las cimas, los focos, las tangentes y la posición relativa de un punto dado. Podemos también estudiar las secciones cónicas cuyas hachas no son paralelas a nuestro sistema coordinado .

Las secciones cónicas tienen la forma de un de segundo grado polinómico:

$Q\; \backslash \; \backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\; \backslash \; Ax^2+By^2+Cx+Dy+Exy+F=0\; \backslash ,$

Eso se puede escribir como:

$\backslash \; ^T\; A\_Q\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; =0\; del\; mathbf\; \{x\}$

Donde está el vector el $\backslash \; el\; mathbf\; \{x\}$ :

$\backslash \; comenzar\; \{pmatrix\}\; 1\; \backslash \; \backslash \; y\; \backslash \; extremo\; \{el\; pmatrix\}\; \backslash \; \backslash \; x$

Y $A\_Q$ una matriz :

$A\_Q\; =\; \backslash \; comenzar\; \{el\; pmatrix\}\; F\; y\; C/2\; y\; D/2\; \backslash \; \backslash \; C/2\; y\; A\; y\; E/2\; \backslash \; \backslash \; D/2\; y\; E/2\; y\; B\; \backslash \; extremo\; \{pmatrix\}$

Clasificación

Las secciones cónicas regulares y degeneradas pueden ser distinguidas basadas en el determinante de A_Q.

Si $|A\_Q|\; =\; 0\; \backslash ,$, el cónico es degenerado.

Si Q no es degenerado, podemos ver qué tipo de sección cónica es computando resultar subdeterminant de quitar la primera fila y la primera columna de A_Q (IE el de menor importancia A₁₁).

A_ {11} =

\ comenzar {el pmatrix}

A y E/2 \ \

E/2 y B

\ extremo {pmatrix}

si y solamente si , es una hipérbola .
Si y solamente si $|A\_\; \{11\}|\; =\; 0$, es una parábola .
Si y solamente si $|A\_\; \{11\}|\; >\; 0$, es una elipse .

En el caso de una elipse, podemos hacer otra distinción entre una elipse y un círculo comparando los dos elementos diagonales pasados que corresponden a x² y a y².

si el $a\_\; \{11\}\; =\; el\; a\_\; \{22\}$, él es un círculo.

Si la sección cónica es degenerada ($|A\_Q|\; =\; 0$), $|A\_\; \{11\}|$ todavía permite que distingamos su forma:

si y solamente si , es dos líneas de intersección.
Si y solamente si $|A\_\; \{11\}|\; =\; 0$, es dos (posiblemente líneas rectas) del paralelo coincidente.
Si y solamente si $|A\_\; \{11\}|\; >\; 0$, es vacío.

Centro

Podemos calcular el centro tomando las dos filas pasadas del asociado la matriz, las fijó iguales a 0 y soluciona el sistema.

$\backslash \; \backslash \; Stackrel\; de\; S\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\; \backslash \; \backslash \; ido\; \backslash \; \{\backslash \; comenzar\; \{matriz\}\; a\_\; \{21\}\; +\; a\_\; \{22\}\; x\; +\; a\_\; \{23\}\; y\; y\; =\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; a\_\; \{31\}\; +\; a\_\; \{32\}\; x\; +\; a\_\; \{33\}\; y\; y\; =\; y\; 0\; \backslash \; extremo\; \{matriz\}\; \backslash \; derecho.\; \backslash \; \backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\; \backslash \; \backslash \; ido\; \backslash \; \{\backslash \; comenzar\; \{matriz\}\; C/2\; +\; hacha\; +\; (E/2)\; y\; y\; =\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; D/2\; +\; (E/2)\; x\; +\; cerca\; y\; =\; y\; 0\; \backslash \; extremo\; \{matriz\}\; \backslash \; derecho.$

Hachas

Las hachas principales y de menor importancia son dos líneas determinadas por el centro del cónico como un punto y vectores propios de la matriz asociada como vectores de la dirección.

$1.2\}\; \backslash \; \backslash \; stackrel\; del\; a\_\; \{\{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\; \backslash \; \backslash \; ido\; \backslash \; \{\backslash \; comenzar\; \{matriz\}\; Y\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mbox\; de\; S\; (x\_0,\; y\_0)\; \{(centro\; del\; cónico)\}\backslash \; \backslash \; \backslash \; y\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mbox\; del\; vec\; u\; (u\_x,\; u\_y)\; \{(vector\; propio\; de\; A)\}\; \backslash \; extremo\; \{matriz\}\; \backslash \; derecho.$

Podemos escribir tan una ecuación canónica:

$a\_\; \{1.2\}\; \backslash \; \backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\; \backslash \; \backslash \; =\; \backslash \; frac\; \{y-y\_0\}\; del\; frac\; \{x-x\_0\}\; \{u\_x\}\; \{u\_y\}$

Porque una matriz 2x2 tiene 2 vectores propios, obtenemos 2 hachas.

Cimas

Para un cónico general podemos determinar sus cimas calculando la intersección del su de las hachas &mdash cónico y; es decir solucionando el sistema:

$V\; \backslash \; \backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\; \backslash \; \backslash \; ido\; \backslash \; \{\backslash \; comenzar\; \{matriz\}\; y\; y\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mbox\; de\; e\; \{(eje)\}\; \backslash \; \backslash \; Y\; y\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mbox\; de\; Q\; \{(la\; ecuación\; general\; del\; cónico)\}\; \backslash \; extremo\; \{matriz\}\; \backslash \; derecho.$

Tangentes

A través de un punto dado, el P, allí es generalmente dos líneas tangente a un cónico. Expresando el P como vector de la columna, p, los dos puntos de la tangencia son las intersecciones del cónico con la línea cuya es ecuación

$\backslash \; ^T\; A\_Q\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; =0\; del\; mathbf\; \{p\}$

Cuando el P está en el cónico, la línea es la tangente allí. Cuando el P está dentro de una elipse, la línea es el sistema de todos los puntos cuyo poseer la línea asociada pase a través del P . Esta línea se llama el polar del P del poste del con respecto al cónico.

Apenas mientras que el P determina únicamente su línea polar (con respecto a un cónico dado), así que cada línea determina un único P . Ésta es así una expresión de la dualidad geométrica entre los puntos y las líneas en el plano.

Como casos especiales, el centro de un cónico es el poste de la línea en el infinito, y cada asíntota de una hipérbola es una polar (una tangente) a uno de sus puntos en el infinito.

Usar la teoría de postes y de polars, el problema de encontrar las cuatro tangentes mutuas del conics dos reduce a encontrar la intersección dos del conics .

Ecuación reducida

La ecuación reducida de una sección cónica es la ecuación de una sección cónica traducida y giró de modo que sus mentiras del centro en el centro del sistema coordinado y sus hachas sean paralelas a las hachas coordinadas. Esto es equivalente a decir que los coordenadas están movidos para satisfacer estas características.

Si el $\backslash \; lambda\_1$ y el $\backslash \; lambda\_2$ son los valores propios de la matriz A₁₁, la ecuación reducida se puede escribir como:

$\backslash \; lambda\_1\; x\text{'}^2\; +\; \backslash \; lambda\_2\; y\text{'}^2\; +\; \backslash \; frac.$