En las matemáticas, y particularmente teoría de la representación de grupo, el la representación inducida es una de las operaciones del general importante para pasar de una representación de un subgrupo H a una representación del grupo (entero) G sí mismo. Fue definido inicialmente como construcción por el Frobenius, porque las representaciones lineares de los grupos finitos incluye como casos especiales la acción de G en los cosets G/H por la permutación, que es el caso de la representación inducida que comienza con la representación unidimensional trivial del H. Si H = {e} esto se convierte en la representación regular del G. Las representaciones por lo tanto inducidas son objetos ricos, en el sentido que incluyen o detectan muchas representaciones interesantes. La idea se limita de ninguna manera al caso de grupos finitos - pero la teoría en ese caso es particularmente well-behaved.

Formulaciones alternas

El teorema central en el caso finito del grupo es el teorema de la reciprocidad de Frobenius del . Se indica en términos de otra construcción de representaciones, el mapa (que de la restricción del es un Functor ): cualquier representación linear de G, como módulo de la k donde está el anillo K de grupo de G sobre un campo K, es también un K-módulo. El teorema indica que, dado el ρ de las representaciones de G y el σ de H, el espacio de los mapas de entrelazamiento del G- del ρ a Ind (σ) tiene la misma dimensión que la de los mapas de H-entrelazamiento de Res (ρ) al σ. (Aquí el Res representa la representación restringida Ind, y para la representación inducida.) Es útil (en la caja típica de representaciones non-modular, de todas formas - decir con K = el C ) para computar la descomposición de la representación inducida: podemos hacer cálculos sobre el lado de H, que es el “pequeño” grupo.

De hecho, anacrónico, podemos reconocer que este teorema demuestra que los Res y el Ind son los functors de Adjoint que el contenido de esa declaración es más que las dimensiones: requiere que el isomorfismo de los espacios de vector de mapas de entrelazamiento sea el natural, en el sentido de la teoría de la categoría. Sugiere realmente que la representación inducida se pueda en este caso definir por medio de la adjunción. Ésa no es la única manera de hacerla - y quizás no la única manera provechosa - pero significa que la teoría no será el ad hoc del en su comienzo.

Uno puede por lo tanto hacer el teorema de la reciprocidad la manera de definir la representación inducida. Hay otra manera, sugerida por los ejemplos de la permutación del párrafo introductorio. La representación inducida Ind (σ) se debe observar como espacio de funciones en el G que transforma bajo H según el σ de la representación. Por lo tanto si el σ actúa en el V del espacio de vector, debemos mirar el V - funciones valoradas en el G en el cual el H actúa vía σ de (esto se debe decir cuidadosamente con explícito habla a la izquierda y las derecho-acciones). Este acercamiento permite que la representación inducida sea una clase de construcción del módulo libremente.

Los dos acercamientos contorneados arriba se pueden reconciliar en el caso de grupos finitos, usando el producto de tensor con K como K-módulo. Hay un tercer y clásico acercamiento, simplemente de anotar el carácter (rastro) de la representación inducida, en términos de conjugación en el G del g de los elementos en el H .

En términos más generales, el teorema de la reciprocidad no está disponible en la generalidad para las representaciones de los grupos topológicos y las fórmulas del carácter están también conforme a algunos problemas analíticos. La segunda definición, por una parte, es un tema importante en el análisis armónico, en generalidad. Se adapta a la teoría de los paquetes del vector por ejemplo.

Construcción

Algebraico

Dejar G ser un grupo y un H finitos cualquier subgrupo de G. Además dejar (el π, V) sea una representación del H. El $Ind\_H^G\; inducido\; \backslash \; pi$ de la representación se puede pensar en como actuando en el espacio siguiente:

$W=\; \backslash \; bigoplus\_\; \{x\; \backslash \; en\; G/H\}\; xv$ Aquí cada xv es una copia isomorfa del espacio de vector V. vía los actos inducidos de G de la representación en W como sigue: $g\; del\; \backslash \; v\_x=\; del\; cdot\; \backslash \; del\; sum\_\; \{x\; \backslash \; en\; G/H\}\; x\; \backslash \; v\_x\; del\; gx\; del\; sum\_\; \{x\; \backslash \; en\; G/H\}$ donde v_x del $\backslash \; en\; V$ para cada $x$.

Según lo mencionado anterior esta construcción es equivalente a definir el $Ind\_H^G\; \backslash \; pi\; \backslash \; cong\; V\; \backslash \; otimes\_\; \{K\}\; K$

Analítico

Si G es un localmente condensar el grupo topológico del (posiblemente infinito) y H es un subgrupo cerrado que entonces allí es una construcción analítica común de la representación inducida. Dejado (el π, V) sea una representación continua de H en un espacio de Hilbert V. Podemos entonces dejamos:

$Ind\_H^G\; \backslash \; pi=\; \backslash \; \{f:\; G\; \backslash \; rightarrow\; V|=\; \backslash \; pi\; (h)\; f\; de\; f\; (hectogramo)\; (g)\; \backslash texto\{y\}\; f\; \backslash \; en\; L^2\; (G)\; \backslash \}$ Aquí L²(G) se toma con respecto a una medida de Haar. El G actúa en el espacio inducido por la traducción correcta, IE de la representación. $(g\; \backslash \; cdot\; f)\; (x)=f\; (xg)$

Esta construcción se modifica a menudo de varias maneras de caber los usos necesarios. Una versión común se llama la inducción normalizada y utiliza generalmente la misma notación. La definición del espacio de la representación es como sigue:

$Ind\_H^G\; \backslash \; pi=\; \backslash \; \{f:\; G\; \backslash \; rightarrow\; V|=\; de\; f\; (hectogramo)\; \backslash \; Delta\_G^\; \{-\; el\; 1/2\}\; (h)\; \backslash \; Delta\_H^\; \{el\; 1/2\}\; (h)\; \backslash \; pi\; (h)\; f\; (g)\; \backslash \; texto\; \{y\}\; f\; \backslash \; en\; L^2\; (G)\; \backslash \}$ Aquí el $\backslash \; Delta\_G$ y el $\backslash \; Delta\_H$ son las funciones modulares de G y de H respectivamente. Con la adición del que normaliza factores de este Functor de la inducción lleva a las representaciones unitarias las representaciones unitarias.

Una otra variación en la inducción se llama la inducción del acuerdo del . Ésta es apenas inducción estándar restringida a las funciones con la ayuda del acuerdo. Es denotada formalmente por el ind y definida como:

$ind\_H^G\; \backslash \; pi=\; \backslash \; \{f:\; G\; \backslash \; rightarrow\; V|f\; (hectogramo)\; =\; \backslash \; pi\; (h)\; f\; (g)\; \backslash \; texto\; \{y\; f\; tiene\}\; compacto\; \backslash \}\; de\; la\; MOD\; H\; dela\; ayuda$ Observar que si G/H es entonces Ind compacto y el ind es el mismo functor.

Geométrico

Suponer que G es un grupo topológico y H es un subgrupo cerrado del de G. También, suponer que el σ es una realización de H sobre el espacio V. El producto V×G es una realización de G como sigue: g'= del

l (x, gg'< sup>-1)

donde están elementos g y el g de G y de x es un elemento del V.

Definir la relación de equivalencia

l (x, g)~ (h, hectogramo).

Observar que esta relación de equivalencia es invariante bajo acción de G. es decir V×G/~ es una realización del G.

g^-1hg= (x, h^-1g)~ (h del, g)

Es decir V×G/~ es un paquete de fibra sobre el espacio de cociente G/H con H como el grupo y V de la estructura como la fibra.

Ahora suponer que el σ es una representación y V es un espacio de vector. La construcción anterior define un paquete del vector sobre G/H. El espacio de secciones de este paquete del vector es la representación inducida.

En el caso de las representaciones unitarias de grupos localmente compactos, la construcción de la inducción se puede formular en términos de sistemas del imprimitivity .

Ejemplos

Para cualquier grupo, la representación inducida de la representación trivial del subgrupo trivial es la representación regular correcto. La representación inducida de la representación trivial de cualquier subgrupo es más generalmente la representación de la permutación en los cosets de ese subgrupo.

Ver la clasificación de Wigner para el ejemplo del grupo de Poincaré. Esto no es un grupo finito, tan allí es más complicaciones. para los viajantes masivos, G es la cubierta doble del grupo de Poincaré y H es el $\backslash \; rtimes$ del R ⁴ (el grupo de la traducción) la cubierta doble ortogonal especial del grupo TAN (3) . para los viajantes sin masa, H es el $\backslash \; rtimes$ del R ⁴ (el grupo de la traducción otra vez) la cubierta doble (la cubierta no universal!) del SE euclidiano especial del grupo (2) . (El producto semidirecto)

Ver también la representación restringida .

Zenithic

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