En las matemáticas, y particularmente la teoría de las representaciones de grupo la representación regular de un G del grupo es la representación linear producida por la acción de grupo del G en sí mismo.

Significación de la representación regular de un grupo

Para decir que los actos de G del en sí mismo por la multiplicación son tautológicos. Si consideramos esta acción mientras que una representación de la permutación él se caracteriza como teniendo una sola órbita y estabilizador el subgrupo de la identidad { e } del G . La representación regular del G, para un dado K del campo, es la representación linear hecha tomando la representación de la permutación pues un sistema de la base vectors de un espacio de vector sobre el K . La significación es que mientras que la representación de la permutación no se descompone - es el transitivo - la representación regular en general se rompe para arriba en representaciones más pequeñas. Por ejemplo si el G es un grupo finito y el K es el campo del número complejo, la representación regular es una suma directa de las representaciones irreducibles en gran número por lo menos el número de las clases de Conjugacy G .

El artículo sobre las álgebra del grupo articula la representación regular para los grupos finitos así como demostrar cómo la representación regular se puede tomar para ser un módulo .

Punto de vista de la teoría del módulo

Para poner la construcción más abstracto, el K del anillo de grupo se considera como módulo sobre sí mismo. (Hay una opción aquí de la izquierdo-acción o de la derecho-acción, pero ése no es de importancia a excepción de notación.) Si el G es finito y el característico de K no divide | G |, esto es un anillo de Semisimple y estamos mirando sus ideales (correctos) izquierdos del anillo que esta teoría se ha estudiado con gran profundidad. Se sabe particularmente que la descomposición de la suma directa de la representación regular contiene un representante de cada clase del isomorfismo de representaciones lineares irreducibles del G sobre el K . Usted puede decir que la representación regular es el comprensivo para la teoría de la representación, en este caso. El caso modular, cuando la característica del K divide | G |, es más duro principalmente porque con el semisimple del K no una representación puede no poder ser irreducible sin partir como suma directa.

Estructura para los grupos cíclicos finitos

Para un cíclico C del grupo generado por el g del n de la orden, la forma de la matriz de un elemento del K que actúa en el K por la multiplicación toma una forma distintiva conocida como matriz de Circulant, en la cual cada fila es un cambio a la derecha de el arriba (en la orden cíclica, es decir con el elemento de derecha que aparece a la izquierda), cuando está referido la base natural

1, g, g ² del ,…, &minus del n del ^{de g del ; 1}.

Cuando el K del campo contiene una raíz del primitivo n-th de la unidad, uno puede Diagonalise la representación del C anotando los vectores propios simultáneos independientes n linear para todos los × del n ; circulants del n . De hecho si ζ es cualquier n - raíz del th de la unidad, el elemento

1 del + ζ g + ζ g de ^{2 2} +… + ζ &minus del n del ^{; &minus del n del de g del 1; 1}

está un vector propio para la acción del g por la multiplicación, con valor propio

ζ^{− 1}

y tan también un vector propio de todas las energías del g, y sus combinaciones lineares.

Ésta es la forma explícita en este caso del resultado abstracto que sobre un algebraico cerró el K del campo (tal como los números complejos la representación regular del G es el totalmente reducible, a condición de que la característica del K (si es un p del número primero) no divide la pedido del G . Eso se llama el teorema de Maschke. En este caso la condición en la característica es implicada por la existencia de un primitivo n - la raíz del del th de la unidad, que no puede suceder en el caso del característico primero p que divide el n .

Los determinantes de Circulant primero fueron encontrados en matemáticas del siglo XIX, y la consecuencia de su diagonalisation dibujado. A saber, el determinante de un circulant es el producto de los valores propios del n para los vectores propios del n descritos arriba. El trabajo básico Frobenius en las representaciones de grupo comenzó con la motivación de encontrar las facturizaciones análogas de los determinantes del grupo del para cualquier finito G ; es decir, los determinantes de las matrices arbitrarias que representan elementos del K que actúa por la multiplicación en los elementos de la base dados por el g en el G . A menos que el G sea el abeliano, la facturización debe contener los factores no lineares que corresponden a las representaciones irreducibles G del grado > 1.

Caso topológico del grupo

Para el G al grupo topológico, la representación regular en el sentido antedicho se debe substituir por un espacio conveniente de funciones en el G, con el G actuando por la traducción. Ver el teorema de Peter-Weyl para la caja del acuerdo . Si el G es un grupo de mentira pero no el acuerdo ni el abeliano, ésta es una cuestión difícil del análisis armónico . El localmente condensa el caso abeliano de es parte de la teoría de la dualidad de Pontryagin.

Bases normales en la teoría de Galois

En la teoría de Galois se demuestra que para un L del campo, y un finito G del grupo de los automorfismos L, el K del campo fijo del G tiene = | G |. De hecho podemos decir más: L visto como K - el módulo es la representación regular. Éste es el contenido del teorema normal, una base normal de la base del que es un x del elemento del L tales que el g ( x ) para el g en el G es una base del espacio de vector para el L sobre el K . Tal x existe, y cada uno da un K - isomorfismo del L a el K . Desde el punto de vista de la teoría del número algébrico es de interés de estudiar las bases normales del integral del, donde intentamos substituir el L y el K por los anillos de los números enteros algebraicos ellas contiene. Uno puede ver ya en el caso de los números enteros gausianos que tales bases pueden no existir: + BI del y un &minus de ; el BI del puede nunca formar un Z - base del módulo del Z porque 1 no puede ser una combinación del número entero. Las razones son profundizadas estudiado en teoría del módulo de Galois.

Álgebra más generales

La representación regular de un anillo de grupo es tal que las representaciones regulares izquierdas y derechas dan los módulos isomorfos (y nos no necesitar a menudo distinguir los casos). Dado una álgebra sobre un A, del campo no tiene inmediatamente sentido de preguntar por la relación entre el A como izquierdo-módulo sobre sí mismo, y como derecho-módulo. En el caso del grupo, el trazado en el g de los elementos de la base del K definido tomando el elemento inverso da un isomorfismo del K a su enfrente del anillo de . General del A, tal estructura se pide una álgebra de Frobenius. Pues el nombre implica, éstos fueron introducidos por el Frobenius en el siglo XIX. Se han demostrado para ser relacionados con la teoría de campo topológica de quántum en las dimensiones 1 + 1.