En las matemáticas recreacionales, un repunit es un número como el 11, el 111, o 1111 que contenga solamente el dígito 1. El término representa la unidad eated del representante del y fue acuñado en 1966 por A. Una prima del repunit del es un repunit que es también un número primero .

Definición

Repunits son definido matemáticamente como

} 10^n-1 \ over9 \ qquad \ mbox del $R\_n=\; \{\{para\}\; n\; \backslash \; ge1.$ Así, el n del _{del R del número consiste en las copias del n del dígito 1. La secuencia de repunits comienza el 1,   11,   111,   1111,… ( A002275 de la secuencia en el OEIS ).}

Repunit prepara

Históricamente, la definición de repunits fue motivada por los matemáticos recreacionales que buscaban los factores primeros de tales números.

Es fácil demostrar que si el n es divisible por el al, después el n del _{del R es divisible por el del del R un :}

$R\_n=\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{9\}\; \backslash \; prod\_\; \{d|\}\; de\; n\; \backslash \; Phi\_d\; (10)$

donde está el polinomio ciclotómico del $d^\; \backslash \; del\; mathrm\; \{th\}$ y gamas el $\backslash \; Phi\_d$ del d sobre los divisores del n . Para la prima del p, $\backslash \; Phi\_p\; (^\; del\; x)=\; \backslash \; del\; sum\_\; \{i=0\}\; \{p-1\}\; x^i$, que tiene la forma prevista de un repunit cuando el x se substituye para con 10.

Por ejemplo, 9 es divisibles por 3, y el R ₉ es de hecho divisible por el R ₃— de hecho, 111111111  =  111  ·   1001001. El $ciclotómico\; correspondiente\; \backslash \; Phi\_3\; de\; los\; polynomals\; (x)$ y $\backslash \; Phi\_9\; (x)$ son $x^2+x+1$ y $x^6+x^3+1$ respectivamente. Así, porque el n del _{del R ser el primero n debe necesario ser primero. Pero no es suficiente que el n sea primero; por ejemplo, R 3  =  111  =  3  ·   37 no es primeros. A excepción de este caso del R 3, p puede dividir solamente el n} del _{del R para el primero n si el p = 2kn + 1 para un cierto k .}

El n del _{del R es primero para el   del n ; =  2,   19,   23, 317, 1031,… ( A004023 de la secuencia en el OEIS ). El R 49081 y el R 86453 son el probablemente primero. En el el Harvey Dubner (quién 2007 del 3 de abril también encontró el R 49081) anunció que el R 109297 es una prima probable. Él anunció más adelante que no hay otros del R 86453 a el R 200000. En el el 2007 Maksym del 15 de julio Voznyy anunció el R 270343 para ser probablemente primero, junto con su intento a buscar a 400000.}

Se ha conjeturado que hay mucho repunit prepara infinitamente, y parecen ocurrir áspero tan a menudo como el teorema del número primero prediría: el exponente de la prima del repunit del th del N está generalmente alrededor de un múltiplo fijo del exponente (el N -1) del th.

Los repunits primeros son un subconjunto trivial permutable preparan es decir, preparan que sigan siendo primeros después de cualquier permutación de sus dígitos.

Generalizaciones

Matemáticos profesionales usados para considerar repunits un concepto arbitrario, puesto que dependen del uso de los números decimales . Pero el carácter arbitrario puede ser quitado generalizando la idea a los repunits del b de la base del :

$R\_n^\; \{(b)\}\; =\; \{b^n-1\; \backslash \; sobre\; b-1\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mbox\; \{para\}\; n\; \backslash \; ge1.$ De hecho, los repunits base-2 son el well-respected n   del _{del M de los números de Mersenne; =  2 ⁿ   −   1. El proyecto de Cunningham se esfuerza para documentar las facturizaciones del número entero (entre otros números) de los repunits para basar 2,   3,   5, 6, 7, 10, 11,   y 12.}

Ejemplo 1) que el primer repunit base-3 prepara es 13, 1093, 797161, 3754733257489862401973357979128773, 6957596529882152968992225251835887181478451547013 ( A076481 de la secuencia en el OEIS ), correspondiendo a $n$ de 3, 7, 13, 71, 103 ( A028491 de la secuencia en el OEIS ).

El ejemplo 2) la única prima del repunit base-4 es 5 ($11\_4$), porque $4^n-1=\; \backslash \; se\; fue\; (2^n+1\; \backslash )derecho\backslash \; a\; la\; izquierda\; (2^n-1\; \backslash \; derecho)$, y 3 divisorias una de éstos, dejando la otra como factor del repunit.

Es fácil probar ese dado n, tal que el n no es exactamente divisible por 2 o el p, allí existe un repunit en el p de la base 2 que es un múltiplo del n .

Ver también

Repdigit
Decimal que se repite
el un polinómico - otra generalización

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