En la geometría, las 2.as rotaciones del coordenada del y el de las reflexiones son dos clases de plano euclidiano de los isometries de que se relacionen con uno otro.

Una rotación en el plano puede ser formada componiendo un par de reflexiones. Primero reflejar un del punto P a su imagen P′ en el otro lado de la línea de L₁. Entonces reflejar P′ a su imagen P′ ′ en el otro lado de la línea de L₂. Si las líneas de L₁ y de L₂ hacen un &theta del ángulo ; el el uno con el otro, entonces señala el y P&prime de P; ′ el hará un ángulo 2θ alrededor del del punto O, la intersección del de L₁ y del de L₂. Es decir ángulo POP′ ′ el medirá 2θ .

Un par de casi igual del punto O de las rotaciones será equivalente a otra rotación sobre del punto O. Por una parte, la composición de una reflexión y de una rotación, o de una rotación y de una reflexión (la composición no es el comutativo), será equivalente a una reflexión.

Las declaraciones antedichas se pueden expresar más matemáticamente. Dejar una rotación sobre el del origen O por un &theta del ángulo ; el se denote como putrefacción (&theta de ; ). Dejar una reflexión sobre una línea L con el origen que hace un &theta del ángulo ; con el de x - el eje se denote como referencia (&theta de ; ). Dejar este rotación y reflexión funcionar encendido todo el punto en plano, y dejar este punto estar representado por posición vector entonces rotación puede estar representado como matriz,

$\backslash \; mathrm\; \{putrefacción\}\; (\backslash \; theta)\; =\; \backslash \; comienzan\; \{\}\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; theta\; y\; -\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; del\; pecado\; del\; bmatrix\; \backslash \; de\; la\; theta\; \backslash \; y\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; theta\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\},$ del pecado \ de la theta y además para reflexión,

$\backslash \; mathrm\; \{referencia\}\; (\backslash \; theta)\; =\; \backslash \; comienzan\; \{\}\; \backslash \; lechuga\; romana\; 2\; \backslash \; theta\; del\; bmatrix\; y\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; del\; pecado\; 2\; \backslash \; theta\; \backslash \; pecado\; 2\; \backslash \; theta\; y\; -\; \backslash \; lechuga\; romana\; 2\; \backslash \; theta\; \backslash \; extremo\; \{bmatrix\}.$

Con estas definiciones de la rotación y de la reflexión coordinadas, las cuatro ecuaciones siguientes son verdades:

$\backslash \; mathrm\; \{referencia\}\; (\backslash )\; \backslash ,\; de\; la\; theta\; \backslash \; =\; \backslash \; mathrm\; \{putrefacción\}\; (2\; (\backslash \; -\; \backslash \; phi\; del\; mathrm\; \{referencia\}\; (\backslash \; phi)\; de\; la\; theta)),\; \backslash$
$\backslash \; mathrm\; \{putrefacción\}\; (\backslash \; theta)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{putrefacción\}\; (\backslash \; phi)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{putrefacción\}\; (\backslash \; +\; \backslash \; phi\; de\; la\; theta),\; \backslash$
$\backslash \; mathrm\; \{putrefacción\}\; (\backslash \; theta)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{referencia\}\; (\backslash \; phi)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{referencia\}\; (\backslash \; +\; de\; la\; phi\; \backslash \; theta/2),\; \backslash$
$\backslash \; mathrm\; \{referencia\}\; (\backslash )\; \backslash ,\; de\; la\; phi\; \backslash \; =\; \backslash \; mathrm\; \{referencia\}\; del\; mathrm\; \{putrefacción\}\; (\backslash \; theta)\; (\backslash \; -\; de\; la\; phi\; \backslash \; theta/2).\; \backslash$ Estas ecuaciones se pueden probar con la multiplicación directa de la matriz y el uso de las identidades trigonométricas .

El sistema de todas las reflexiones en líneas con el origen y de las rotaciones sobre el origen, junto con la operación de la composición de reflexiones y de rotaciones, forma un grupo . El grupo tiene una identidad: Putrefacción (0). Cada putrefacción de la rotación (&phi de ; el ) tiene una putrefacción de lo contrario (&phi del − ; ). Cada referencia de la reflexión (&theta de ; el ) es su propio lo contrario. La composición tiene encierro y es asociativa, puesto que la multiplicación de la matriz es asociativa.

Notar que ambo referencia (&theta de ; ) y putrefacción (&theta de ; el ) se ha representado con las matrices ortogonales . Estas matrices todas tienen un determinante cuyo valor absoluto sea la unidad. Las matrices de la rotación tienen un determinante de +1, y las matrices de la reflexión tienen un determinante de −1.

El sistema de todas las matrices de dos dimensiones ortogonales junto con forma de la multiplicación de la matriz el grupo ortogonal : de O (2).

Ver también

Grupo Dihedral

.