En la teoría de de Einstein de la relatividad general, la solución de Schwarzschild del (o el vacío de Schwarzschild del ) describe el campo gravitacional fuera de una masa esférica, no-giratoria tal como estrella de a (no-rotación), de un planeta, o de un calabozo . Es también una buena aproximación al campo gravitacional de un cuerpo lentamente giratorio como la tierra o el Sun . Según el teorema de Birkhoff, la solución de Schwarzschild es el más general esférico simétrico, solución del vacío de las ecuaciones de campo de Einstein . Un calabozo de Schwarzschild del o el calabozo estático es un calabozo que no tiene ninguna carga o ímpetu angular . Un calabozo de Schwarzschild tiene un Schwarzschild métrico, y no puede ser distinguido de ningún otro calabozo de Schwarzschild excepto por su Massachusetts.

La solución de Schwarzschild se nombra en honor de su Karl Schwarzschild, que del descubridor encontró la solución en el 1915, solamente alrededor de un mes después de la publicación de la teoría de Einstein de la relatividad general. Era la solución exacta del primer de las ecuaciones de campo de Einstein con excepción de la solución plana del espacio trivial. Schwarzschild tenía poco tiempo para pensar de su solución. Él murió poco después de que su papel fue publicado, como resultado de una enfermedad que él contrató mientras que servía en el ejército alemán durante la Primera Guerra Mundial .

El calabozo de Schwarzschild es caracterizado por una superficie esférica circundante, llamada el horizonte de acontecimiento, el cual se sitúa en el radio de Schwarzschild, llamado a menudo el radio de un calabozo. Cualquier masa no-giratoria y no-cargada que sea más pequeña que el radio de Schwarzschild forma un calabozo. La solución de las ecuaciones de campo de Einstein es válida para cualquier total M, tan en principio (según teoría de la relatividad general ) un Schwarzschild que el calabozo de cualquier masa podría existir si la naturaleza es bastante buena formar uno.

El Schwarzschild métrico

considera también: que deriva el

la solución de Schwarzschild

En Schwarzschild coordina, el Schwarzschild que métrico tiene la forma:

$\{d\; \backslash \; tau\}\; ^\; c^2\; \{2\}\; =\; \backslash \; 2\}\; dt^\; dejado\; (1\; -\; \backslash \; frac\; \{r\_\; \{s\}\}\; \{r\}\; \backslash \; correcto)\; del\; c^\; \{\{2\}\; -\; \backslash \; frac\; \{dr^\}\; \{1\; -\; \backslash \; frac\; \{r\_\; \{s\}\}\; \{r\}\}\; -\; r^\; \{2\}\; \{2\}\; d\; \backslash \; theta^\; \{2\}\; -\; r^\; \{2\}\; \backslash \; sin^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; varphi^\; \{2\}$

donde &tau del del ; es el tiempo apropiado (tiempo medido por un reloj que se mueve con la partícula) en los segundos, c del
es la velocidad de la luz en metros por el segundo, t del
es el coordenada del tiempo (medido por un reloj inmóvil en el infinito) en los segundos, r del
es el coordenada radial (la circunferencia de un círculo se centró en la estrella dividida por 2π) en metros, el θ
es el Colatitude (ángulo del norte) en radianes, el φ
es la longitud en radianes, y el r_s del
es el radio de Schwarzschild (en metros) del cuerpo masivo, que es relacionado con su total M por

$=\; \backslash \; frac\; \{2GM\}\; \{c^\; \{2\}\; del\; r\_\; \{s\}\}\; de$ donde está el constante el G gravitacional .

La teoría neutoniana clásica de la gravedad se recupera en el límite como el r del s /del _{del r del cociente va a cero. En ese límite, las vueltas métricas al Minkowski métrico de la relatividad especial, que tiene ninguna curvatura}

$c^\; \{2\}\; d\; \backslash \; tau^\; \{2\}\; =\; c^\; \{2\}\; dt^\; \{2\}\; -\; dr^\; \{2\}\; -\; r^\; \{2\}\; d\; \backslash \; theta^\; \{2\}\; -\; r^\; \{2\}\; \backslash \; sin^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; d\; \backslash \; phi^\; \{2\}$

En la práctica, el r del s /del _{del r del cociente es casi siempre extremadamente pequeño. Por ejemplo, el s} del _{del r del radio de Schwarzschild de la tierra es áspero 9  milímetro (³ ⁄8  Pulgada ), mientras que un satélite en una órbita geosincrónica tiene un r del radio que sea áspero cuatro mil millones veces más grande, en 42,164  kilómetro (26,200  Millas . Incluso en la superficie de la tierra, las correcciones a la gravedad neutoniana son solamente una porción en mil millones. El cociente llega a ser solamente grande cerca de los calabozos y de otros objetos ultra-densos tales como estrellas de neutrón}

El Schwarzschild métrico es una solución de las ecuaciones de campo de Einstein en espacio vacío, significando que es solamente válido fuera de el cuerpo de gravitación. Es decir, para un cuerpo esférico del radio $R$ la solución es válida para el $r\; >\; R$. Para describir el campo gravitacional tanto en el interior como en el exterior el cuerpo de gravitación la solución de Schwarzschild se debe emparejar con una cierta solución interior conveniente en el $r\; =\; R$.

Singularidades y calabozos

La solución de Schwarzschild aparece tener singularidades en el $r\; =\; 0$ y $r=r\_s$; algunos de los componentes métricos hacen saltar en estos radios. Puesto que se espera que el Schwarzschild métrico solamente sea válido para los radios más grandes que el radio $R$ del cuerpo de gravitación, no hay problema mientras $R\; >\; r\_s$. Para las estrellas y los planetas ordinarios ésta es siempre la caja. Por ejemplo, el radio Sun es aproximadamente 700.000 kilómetros, mientras que su radio de Schwarzschild es solamente 3 kilómetros.

Uno pudo preguntarse naturalmente qué sucede cuando se convierte el radio $R$ inferior o igual el radio $r\_s$ de Schwarzschild. Resulta que la solución de Schwarzschild todavía tiene sentido en este caso, aunque tenga algunas características algo impares. La singularidad evidente en el $r\; =\; r\_s$ es una ilusión; es un ejemplo de qué se llama una singularidad del coordenada. Mientras que el nombre implica, la singularidad se presenta de una mala opción de coordenadas. Eligiendo otro sistema de coordenadas convenientes uno puede demostrar que el métrico está bien definido en el radio de Schwarzschild. Ver, por ejemplo, los coordenadas de Lemaitre, los coordenadas de Eddington-Finkelstein, los coordenadas de Kruskal-Szekeres o los coordenadas de Novikov.

El $r\; del\; caso\; =\; el\; 0$ es diferentes, sin embargo. Si uno pregunta que la solución sea válida para todo el $r$ uno funciona en una singularidad física verdadera, o la singularidad gravitacional, en el origen. Para ver que es éste una singularidad verdadera una debe mirar las cantidades que son independiente de la opción de coordenadas. Una tal cantidad importante es el Kretschmann invariante, que se da cerca = \ frac {12 r_s^2} {r^6} de R_ del

$R^\; del$

l {abcd} {abcd}.

En $r=0$ la curvatura hace saltar (llega a ser infinito) la indicación de la presencia de una singularidad. A este punto el métrico, y el espacio-tiempo sí mismo, está no más bien definidos. Fue pensado durante mucho tiempo que tal solución era non-physical. Sin embargo, una mayor comprensión de la relatividad general llevó a la realización que tales singularidades eran una característica genérica de la teoría y no apenas un caso especial exótico. Tales soluciones ahora se creen para existir y se llaman los calabozos '.

La solución de Schwarzschild, tomada para ser válida para todo el $r\; >\; 0$, se llama un calabozo de Schwarzschild del . Es una solución perfectamente válida de las ecuaciones de campo de Einstein, aunque tenga algunas características algo extrañas. Para el el coordenada de la parte radial de Schwarzschild $r$ se convierte en timelike y el coordenada $t$ del tiempo se convierte en spacelike. Una curva en $r$ constante es no más un posible Worldline de una partícula o de un observador, no incluso si una fuerza se ejerce para intentar guardarla allí; esto ocurre porque el espacio-tiempo se ha curvado tanto que la dirección de la causa-efecto (el cono futuro de la luz de la partícula) señala en la singularidad. El $r\; =\; el\; r\_s$ superficiales demarca qué se llama el del horizonte de acontecimiento de del calabozo. Representa el pasado del punto que la luz puede no más escapar el campo gravitacional. Cualquier objeto físico cuyo se convierta del radio R inferior o igual el radio de Schwarzschild experimentará el derrumbamiento gravitacional y se convertirá en un calabozo.

Paraboloide de Flamm

La curvatura espacial de la solución de Schwarzschild para $r>r\_s$ se puede visualizar como sigue. Considerar un rato constante rebanada ecuatorial a través de la solución de Schwarzschild (θ del = el π /2 del, el t = constante) y dejar la posición de una partícula que se mueve en este plano para ser descrito con los coordenadas restantes de Schwarzschild ( r, φ del ). Imaginarse ahora que hay un euclidiano adicional w de la dimensión, que no tiene ninguna realidad física (no es parte de espacio-tiempo). Entonces substituir (el r, el φ del ) el plano por una superficie formada hoyuelos en la dirección del w según la ecuación (paraboloide de Flamm del )

$w\; =\; 2\; \backslash raíz\; cuadrada\{r\_\; \{\}\; \backslash \; dejado\; de\; s\; (r\; -\; r\_\; \{s\}\; \backslash \; derecho)\}.$

Esta superficie tiene la característica que las distancias midieron dentro de ella distancias del fósforo en el Schwarzschild métrico, porque con la definición del w arriba,

$dw^2\; +\; dr^2\; +\; r^2d\; \backslash \; varphi^2\; =\; -\; c^2d\; \backslash \; tau^2\; =\; \backslash \; frac\; \{dr^2\}\; \{1\; -\; \backslash \; frac\; \{r\_s\}\; \{r\}\}\; +\; r^2d\; \backslash \; varphi^2$

Así, el paraboloide de Flamm es útil para visualizar la curvatura espacial del Schwarzschild métrico. No debe, sin embargo, ser confundido con un pozo de la gravedad. Ninguna partícula (masiva o sin masa) ordinaria puede tener un worldline el mentir en el paraboloide, puesto que todas las distancias en él son Spacelike . Incluso un Tachyon no se movería a lo largo de la trayectoria que uno pudo esperar ingenuo de un " sheet" de goma; analogía: particularmente, si el hoyuelo es el señalar dibujado hacia arriba algo que hacia abajo, la trayectoria de los tachyon todavía curva hacia la masa central, no lejos. Ver el artículo del pozo de la gravedad para más información.

El paraboloide de Flamm se puede derivar como sigue. El métrico euclidiano en los coordenadas cilíndricos ( r, φ del, w ) se escribe

$\backslash \; mathrm\; \{d\}\; s^2\; =\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; w^2\; +\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; r^2\; +\; r^2\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; \backslash \; phi^2.\; de\; d\; \backslash ,$ Dejar el superficial sea descrita por el $w=\; w\; de\; la\; función\; (r)$, el métrico euclidiano se puede escribir como

$\backslash \; mathrm\; \{d\}\; s^2\; =\; \backslash \; se\; fueron\; 1\; +\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; w\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; r\}\; \backslash \; derecho)\; ^2\; \backslash \; derecho\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; r^2\; +\; r^2\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; \backslash \; phi^2\; de\; d,$

Comparando esto con el Schwarzschild métrico en el plano ecuatorial (θ del = π/2) a la vez fija (despegue del = constante)

$\backslash \; mathrm\; \{d\}\; s^2\; =\; \backslash \; ido\; (1\; \backslash \; frac\; \{r\_\; \{s\}\}\; \{r\}\; \backslash \; derecho)\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; r^2\; +\; r^2\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; \backslash \; phi^2\; de\; d,$

rinde una expresión integral para el w ( r ):

$w\; (r)\; =\; \backslash \; internacional\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; r\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{r\_\; \{s\}\}\; -\; 1\}\}\; =\; 2\; r\_\; \{\}\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; de\; s\; \{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{r\_\; \{s\}\}\; -\; 1\}\; +\; \backslash \; mbox\; \{constante\}$

de quién solución es paraboloide de Flamm.

Movimiento orbital

considera también: Problema de Kepler en

la relatividad general

Una partícula que se mueve en órbita alrededor en el Schwarzschild métrico puede tener una órbita circular estable con el $r\; >\; 3r\_s$. Las órbitas circulares con $r$ entre $3r\_s/2$ y $3r\_s$ son inestables, y ningunas órbitas circulares existen para . La órbita circular del radio mínimo $3r\_s/2$ corresponde a una velocidad orbital que se acerca a la velocidad de la luz. Es posible que una partícula tenga un valor constante de $r$ entre $r\_s$ y $3r\_s/2$, pero solamente si una cierta fuerza actúa para guardarlo allí.

Órbitas Noncircular, tales como Mercury, detención más de largo en los pequeños radios que ser esperado clásico. Esto se puede ver como versión menos extrema del caso más dramático en el cual una partícula pasa a través del horizonte y de las detenciones de acontecimiento adentro él por siempre. El intermedio entre la caja de Mercury y el caso de un objeto que cae más allá del horizonte de acontecimiento, allí es posibilidades exóticas tales como " cuchillo-edge" las órbitas, en las cuales el satélite se puede hacer para ejecutar un número arbitrariamente grande de órbitas casi circulares, después de lo cual él vuela detrás hacia fuera.

Cotizaciones

" del del

; Angenehm del immer de los ist del Es, zu verfügen." de la forma del einfacher de Lösungen del strenge del über; (Es siempre agradable tener soluciones exactas en forma simple en su disposición.) &ndash de ; Karl Schwarzschild, 1916.

Ver también

que deriva la solución de Schwarzschild
Reissner-Nordström métrico (solución cargada, no-giratoria)
Kerr solución métrica de (uncharged, rotación)
Kerr-Newman métrico (solución cargada, giratoria)
Singularidad (solución interior) BKL
Calabozo, una revisión general
El Schwarzschild coordina
El Kruskal-Szekeres coordina
El Eddington-Finkelstein coordina

.

Zenithic

Sonnet 82

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