Sección cónica - Enciclopedia España

En las matemáticas, una sección cónica (o apenas el cónico) es una curva que puede ser formada intersecando un cono (más exacto, una superficie cónica circular correcto) con un plano . Las secciones cónicas fueron nombradas y estudiaron tan hace tiempo como 200 A., cuando el Apollonius de Perga emprendió un estudio sistemático de sus características.

Tipos de conics

El conics bien conocido dos es el círculo y la elipse . Éstos se presentan cuando la intersección del cono y del plano es una curva cerrada . El círculo es un caso especial de la elipse en la cual el plano es perpendicular al eje del cono. Si el plano es paralelo a una línea del generador del cono, el cónico se llama una parábola . Finalmente, si la intersección es una curva abierta y el plano no es paralelo a las líneas del generador del cono, la figura es una hipérbola . (En este caso el plano intersecará el ambas mitades de del cono, produciendo dos curvas separadas, aunque se no hace caso a menudo una.)

Casos degenerados

Hay un número de casos degenerados, en los cuales el plano pasa a través del ápice del cono. La intersección en estos casos puede ser una línea recta (cuando el plano es tangencial a la superficie del cono); un punto (cuando el ángulo entre el plano y el eje del cono es más grande que esto); o un par de líneas de intersección (cuando el ángulo es más pequeño). Hay también un degenerado donde está un cilindro el cono (la cima está en el infinito) que puede producir dos líneas paralelas.

Excentricidad

Las cuatro condiciones de definición antedichas se pueden combinar en una condición que dependa de un F (el foco del punto fijo del ), de una línea L (la directriz del ) que no contiene el F y un no negativo e (la excentricidad del número verdadero). La sección cónica correspondiente consiste en todos los puntos cuya distancia al F iguale tiempos del e su distancia al L . Para 0 < el e < 1 obtenemos una elipse, para el e = 1 una parábola, y para el e > 1 una hipérbola.

Para una elipse y una hipérbola, dos combinaciones de la foco-directriz se pueden tomar, cada uno que da la misma elipse o hipérbola completa. La distancia del centro a la directriz es $a/e$ , donde está el eje el $a \$ Semi-principal de la elipse, o la distancia del centro a las tapas de la hipérbola. La distancia del centro a un foco es los $ae \$ .

En el caso de un círculo, el e de la excentricidad = 0, y uno puede imaginarse la directriz para ser infinitamente lejano quitado del centro. Sin embargo, la declaración que el círculo consiste en todos los puntos cuya distancia sea tiempos de e la distancia a L no es útil, porque conseguimos infinito de las épocas cero.

La excentricidad de una sección cónica es así una medida de hasta dónde se desvía de ser circular.

Para un $a dado \$ , el $e más cercano \$ está a 1, más pequeño es el eje Semi-de menor importancia .

Coordenadas cartesianos

En el sistema coordinado de cartesiano, el gráfico de una ecuación cuadrático en dos variables es siempre una sección cónica, y todas las secciones cónicas se presentan de esta manera. La ecuación estará del de la forma

Ax^2 + Bxy + Cy^2 +Dx + Ey + F = 0 \;

con el

A \

B \

C \

no el cero. entonces:
si

B^2 - 4AC < 0 \

, la ecuación representa una elipse (a menos que el cónico es degenerado, por ejemplo

x^2 + y^2 + 10 = 0 \

); si el

A = C \

y el

B = 0 \

, la ecuación representa un círculo ;
si

B^2 - 4AC = 0 \

, la ecuación representa una parábola ;
si

B^2 - 4AC > 0 \

, la ecuación representa una hipérbola ; si también tenemos

A + C = 0 \

, la ecuación representa una hipérbola rectangular .

Observar que A y B es apenas coeficientes polinómicos, no las longitudes de eje semi-principal/de menor importancia según lo definido en las secciones anteriores.

A través del cambio de coordenadas estas ecuaciones se pueden pasar en formas estándar:
Círculo: $x^2+y^2=a^2 \,$
Elipse: ${x^2 \ sobre a^2} + {y^2 \ sobre b^2} =1 \$ , ${x^2 \ sobre b^2} + {y^2 \ sobre a^2} =1 \$
Parábola: $y^2=4ax \, \$
Hipérbola: ${x^2 \ sobre a^2} - {y^2 \ sobre b^2} =1 \$ , ${x^2 \ sobre a^2} - {y^2 \ sobre b^2} =-1 \$
Hipérbola rectangular: $xy=c^2 \$

Tales formas serán simétricas sobre el x - eje y para el círculo, la elipse y la hipérbola simétricos sobre el y - axis.
La hipérbola rectangular sin embargo es solamente simétrica sobre las líneas $y = x \$ y $y = - x \$ . Por lo tanto su función inversa es exactamente igual que su función original.

Estas formas estándar se pueden escribir como

paramétrico del

(a \ lechuga romana \ theta, a \ pecado \) \, de la theta

(a \ lechuga romana \ theta, b \ pecado \) \, de la theta

(un t^2,2 una t) \,

(a \ sec \ theta, b \ tan \) \, de la theta

(\ P. a \ garrote u, b \ sinh u) \,

(ct, {c \ sobre t}) \,

Coordenadas homogéneos

En los coordenadas homogéneos una sección cónica se puede representar como:

l $A_1x^2 + A_2y^2 + A_3z^2 + 2B_1xy + 2B_2xz + 2B_3yz = 0.$

O en la notación de la matriz el $del l \ comienza {bmatrix} x y y y z \ extremo {bmatrix}. \ comenzar {bmatrix} A_1 y B_1 y B_2 \ \ B_1 y A_2 y B_3 \ \ B_2&B_3&A_3 \ extremo {bmatrix}. \ comenzar {bmatrix} \ \ z \ extremo {bmatrix} \ \ y de x = 0.$

El $M= de la matriz \ comienza {bmatrix} A_1 y B_1 y B_2 \ \ B_1 y A_2 y B_3 \ \ B_2&B_3&A_3 \ extremo {bmatrix}$ se llama el la matriz de la sección cónica .

El $\ = \ det (M) = \ det \ ido (\ comenzar {bmatrix} \ A_1 y B_1 y B_2 \ \ B_1 y A_2 y B_3 \ B_2&B_3&A_3 \ extremo {bmatrix} \ derecho)$ del delta se llama el determinante de la sección cónica. Si Δ = 0 entonces el que la sección cónica reputa el degenerado, éste significa que la sección cónica es de hecho una unión de dos líneas rectas. Una sección cónica que se interseca es siempre degenerada, no obstante no todas las secciones cónicas degeneradas se intersecan, si no lo hacen son líneas rectas.

Por ejemplo, el $de la sección cónica \ comienza {bmatrix} x y y y z \ extremo {bmatrix}. \ comenzar {bmatrix} 1 y 0 y 0 0 \ \ 0&0&0 \ extremo {bmatrix} \ \ 0 y -1 y. \ comenzar {bmatrix} \ \ z \ extremo {bmatrix} \ \ y de x = que 0$ reduce a la unión de dos líneas:

$\ {x^2 - y^2 = 0 \} = \ {(x+y) =0 (x-y) \} = \ {x+y=0 \} \ taza \ {x-y=0 \}$ .

Semejantemente, una sección cónica reduce a veces a la sola) línea de a (:

$\ {x^2+2xy+y^2 = 0 \} = \ {(x+y)^2=0 \} = \ {x+y=0 \} \ taza \ {x+y=0 \} = \ {x+y=0 \}$ .

= \ det \ (\ comenzar {bmatrix} \ A_1 y B_1 \ B_1 y A_2 \ extremo {bmatrix} \ derecho) dejado del $\ del delta se llama el discriminante de la sección cónica. Si δ = 0 entonces la sección cónica del es una parábola, si δ <0, es una hipérbola y si δ >0, es una elipse . Una sección cónica es un círculo si δ >0 y A$ ₁ = A₂, es una hipérbola rectangular si δ <0 y A₁ = - A₂. Puede ser probado que en el CP² dos descriptivos complejos del plano las secciones cónicas tienen cuatro puntos en campo común (si uno explica la multiplicidad ), tan allí nunca es más de 4 puntos de la intersección y allí son siempre 1 punto de intersección del (posibilidades: 4 puntos de intersección distintos, 2 puntos de intersección singulares y puntos de 1 intersección dobles, 2 puntos de intersección dobles, 1 punto de intersección singular y 1 con la multiplicidad 3, 1 punto de intersección con la multiplicidad 4). Si existe por lo menos un punto de intersección con multiplicidad > 1, después las dos secciones cónicas reputan la tangente . Si hay solamente un punto de intersección, que tiene multiplicidad 4, las dos secciones cónicas reputan osculating. Además cada línea recta interseca cada sección cónica dos veces. Si el punto de intersección es doble, la línea reputa tangente y se llama la línea de tangente . Porque cada línea recta interseca una sección cónica dos veces, cada sección cónica tiene dos puntos en el infinito (los puntos de intersección con el alinean en el infinito ). Si estos puntos son verdaderos, la sección cónica debe ser una hipérbola, si son haber conjugado imaginaria, la sección cónica debe ser una elipse, si la sección cónica tiene un punto en el infinito doble que es una parábola . Si son los puntos en el infinito (1, i, 0) y (1, - i, 0), la sección cónica es un círculo . Si una sección cónica tiene un verdadero y un punto en el infinito imaginario o él tiene dos puntos imaginarios que no se conjuguen le sean ni una parábola ni una elipse ni una hipérbola.

Coordenadas polares

El recto de una sección cónica, generalmente denotado l de Semi-latus, es la distancia del solo foco, o uno de los dos focos, a la sección cónica sí mismo, medido a lo largo de una línea perpendicular al eje principal. En los coordenadas polares, una sección cónica con un foco en el origen y, eventualmente, la otra en el x - el eje, es dado por el

r del de la ecuación = {l \ encima {1 + e \ lechuga romana \ theta}}

. Como arriba, para el e = 0, tenemos un círculo, porque 0 < el e < 1 obtenemos una elipse, para el e = 1 una parábola, y para el e > 1 una hipérbola.

Características

Las secciones cónicas son siempre " smooth". Más exacto, nunca contienen cualquier punto de la inflexión que esto es importante para muchos usos, tales como aerodinámica, donde una superficie lisa se requiere para asegurar a el flujo laminar y para prevenir la turbulencia .

Parámetro focal

El parámetro focal de una sección cónica es la distancia del foco a la directriz . Es el denotado p o el k .

¡Applications

Las secciones cónicas son importantes en la astronomía : el mueve en órbita alrededor de de dos objetos masivos que interactivas según la ley de Newton de la gravitación universal sean las secciones cónicas si su común centro de masa se considera ser en descanso. Si están limitadas juntas, ambas trazarán elipses; si están separando, ambas seguirán parábolas o hipérbolas. Ver el problema del dos-cuerpo.

En la geometría descriptiva, las secciones cónicas en el plano descriptivo son el uno al otro equivalente hasta las transformaciones descriptivas del

Para los usos específicos de cada tipo de sección cónica, ver el de los artículos circundar, la elipse, la parábola, y la hipérbola .

Esferas de Dandelin

Ver las esferas de Dandelin para una demostración elemental corta de la discusión que la caracterización de estas curvas como intersecciones de un plano con un cono es equivalente a la caracterización en términos de focos, o de un foco y de una directriz.

Ver también

Intersección de Conics
El foco (geometría), una descripción de las características de secciones cónicas se relacionó con los focos
Proyección cónica conformal de Lamberto
Representación de matriz de las secciones cónicas
Cuadricas los análogos alto-dimensionales del conics
Función cuadrático
Rotación de las hachas
Esferas de Dandelin

Zenithic

Peter Safran

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