En las matemáticas y sus usos, la secuencia de Thue-Morse del, o la secuencia de Prouhet-Thue-Morse del, es una secuencia binaria de cierto cuyos segmentos iniciales alternan (en cierto sentido).

La secuencia de Thue-Morse comienza:

0  1  10  1001  10010110  1001011001101001…

Sin embargo, otros símbolos se utilizan a veces además de 0 y 1, tal como 1 y 2, o 1 y 0 (en la orden opuesta), o a la izquierda e a la derecha, hacia arriba y hacia abajo, etc. Así uno puede hablar del de la secuencia de Thue-Morse en a los pares pedidos dados .

Definición

Hay varias maneras equivalentes de definir la secuencia de Thue-Morse.

Definición directa

Para computar el elemento $t\_n$ de $n$th, escribir el número $n$ en binario. Si el número de unos en esta extensión binaria es entonces $t\_n=1$ impar, si incluso entonces $t\_n=0$. Para los números de esta de la razón llamada de Juan H. Conway y otros $n$ que satisfacen números ious del od del de $t\_n=1$ y los números para los cuales el ev IL del de $t\_n=0$ numera.

Relación de repetición

La secuencia de Thue-Morse es la secuencia $t\_n$ que satisface $t\_0\; =\; 0$ y $t\_\; del$

l {2n} = $t\_\; del$
de t_n {2n+1} = 1 t_n

para todo el positivo n de los números enteros.

L-sistema

La secuencia de Thue-Morse es la salida del sistema siguiente de Lindenmayer: variables 0 1 del constantes ningunos comienzo 0 del el gobierna (0 → 01), (1 → 10)

Caracterización usar bitwise la negación

La secuencia de Thue-Morse en la forma dada arriba, como secuencia de los pedacitos puede ser el definido recurrentemente usar la operación de la negación Bitwise. Así pues, el primer elemento es 0. Entonces una vez que se han especificado los primeros 2 ^{elementos del n} , la formación de un s de la secuencia, después 2 ^{de los elementos siguientes del n} debe formar bitwise la negación del s . Ahora hemos definido los primeros 2 ^{elementos del n +1}, y nosotros recurse.

Explicando los primeros camina detalladamente:
Comenzamos con 0.
La negación de 0 es bitwise 1.
Combinando éstos, los primeros 2 elementos son 01.
La negación de 01 es bitwise 10.
Combinando éstos, los primeros 4 elementos son 0110.
La negación de 0110 es bitwise 1001.
Combinando éstos, los primeros 8 elementos son 01101001.
Y así sucesivamente.

Producto infinito

La secuencia se puede también definir cerca: ¡

$\backslash \; prod\_\; \{i=0\}\; ^\; \{\}\; ^\; (de\; 1\; -\; x^\; \{2^\; \{i\}\})\; =\; \backslash \; ^\; del\; sum\_\; \{j=0\}\; \{\backslash \; infty\}\; (-\; 1)\; \{t\_j\}\; x^\; \{j\}\; \backslash \; mbox\; \{,\}\; \backslash !$ donde está el elemento el j del _{del t del th del j si comenzamos en el j = 0.}

Algunas características

Porque cada nuevo bloque en la secuencia de Thue-Morse es definido formando bitwise la negación del principio, y esto se repite al principio del bloque siguiente, la secuencia de Thue-Morse se llena de los cuadrados del : secuencias consecutivas se repiten que. Es decir, hay muchos casos del XX, donde está alguna secuencia el X . Sin embargo, no hay cubos del : casos del XXX . No hay tampoco cuadrados traslapados del : casos de 0 X X 1. del X 1 de 0 o 1 del X 0.

La declaración sobre ésa la secuencia de Thue-Morse es " llenado del squares" puede ser hecho exacto: Es una secuencia recurrente, significando que dado cualquier finito X de la secuencia en la secuencia, hay un cierto X del _{del n de la longitud (a menudo mucho más de largo que la longitud del X ) tales que el X aparece en cada bloque de del n de la longitud. La manera más fácil de hacer una secuencia recurrente es formar una secuencia periódica, uno donde las repeticiones de la secuencia enteramente después de un m del número dado de pasos. Entonces el X} del _{del n se puede fijar a cualquier múltiplo del m que es más grande de dos veces la longitud del X . Pero la secuencia de Morse es recurrente sin que es periódico, ni incluso eventual periódico (significado periódico después de un cierto segmento inicial aperiódico).}

Uno puede definir un f de la función determinado de secuencias binarias a sí mismo substituyendo cada 0 en una secuencia por 01 y cada 1 por 10. Entonces si el T es la secuencia de Thue-Morse, después el f ( T ) está el T otra vez; es decir, el T es un punto fijo f . De hecho, el T es esencialmente el punto fijo del solamente del f ; el único el otro punto fijo es bitwise la negación del T, que es simplemente la secuencia de Thue-Morse encendido (1.0) en vez de encendido (0. Esta característica se puede generar al concepto de una secuencia automática .

En la teoría del juego combinatoria

El sistema del mal del numera formas de (números $n$ con $t\_n=0$) un subespacio de los números enteros no negativos bajo Nim-adición (del exclusiva Bitwise o ). Para el juego Kayles, los números malvados forman el espacio escaso - el subespacio de los Nim-valores que ocurren para pocos (finito las posiciones muchos) en los juego-y números odiosos es el coset común .

El problema de Prouhet-Tarry-Escott

El problema de Prouhet-Tarry-Escott se puede definir como: repartir el sistema de todos los números enteros a partir de la 0 a N en dos subconjuntos disjuntos S₀ y S₁, tal que

n^k del $\backslash \; del\; sum\_\; \{n\; \backslash \; en\; S0\}\; =\; \backslash \; n^k$ del sum_ {n \ en el S1} Esta ecuación es verdad si
N es una energía de 2,
y S₀ contiene toda la n (el n=0, S₁ del _{del t contenga toda la n (n=1.
y k=0… ld (N+1)}

Gráficos de los fractales y de tortuga

Los gráficos de una tortuga son la curva se genera que si un autómata se programa con una secuencia. Si utilizan a los miembros de la secuencia de Thue-Morse para seleccionar el programa indica:

si t (n) = 0, se mueve a continuación por una unidad,
Si t (n) = 1, gira a la izquierda por un ángulo de π/3, la curva resultante converge al copo de nieve, una curva de Koch del fractal de longitud infinita que contiene un área finita. Esto ilustra la naturaleza del fractal de la secuencia de Thue-Morse.

Historia

La secuencia de Thue-Morse primero fue estudiada por el P. Prouhet en el 1851, que lo aplicó a la teoría de número . Sin embargo, Prouhet no mencionó la secuencia explícitamente; esto fue dejada al Axel Thue en el 1906, que lo utilizó para encontrar el estudio de la combinatoria en palabras. La secuencia fue traída solamente a la atención mundial con el trabajo Marston Morse en el 1921, cuando él lo aplicó a la geometría diferenciada . La secuencia ha sido descubierta independiente muchas veces, no siempre por los matemáticos profesionales de la investigación; por ejemplo, Euwe máximo, un grandmaster del ajedrez y profesor de las matemáticas, descubierto le en el 1929 en un uso al ajedrez : usando su característica cubo-libre (véase arriba), él demostró cómo evitar una regla dirigida previniendo juegos infinitamente prolongados declarando la repetición de movimientos un drenaje.

Ver también

Prouhet-Thue-Morse constante

.

Zenithic

Ben Okri

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