En las matemáticas, una serie de Dirichlet del es cualquier serie de la forma

$\ sum_ {n=1} ^ {\} infty \ frac {a_n} {n^s},$

donde están los números el s y el un n , n del _{de = 1, 2, 3,… complejos}

Las series de Dirichlet desempeñan una variedad de papeles importantes en la teoría de número analítico . La definición lo más generalmente posible considerada de la función de zeta de Riemann es una serie de Dirichlet, al igual que las L-funciones de Dirichlet que se conjetura que la clase de Selberg de series obedece la hipótesis generalizada de Riemann. La serie se nombra en honor Juan Peter Gustavo Lejeune Dirichlet .

Ejemplos

El más famoso de las series de Dirichlet es

$\ zeta= \ sum_ {n=1} ^ {\} infty \ frac {1} {n^s},$

cuál es la función de zeta de Riemann . Otro es:

$\ frac {1} {\ zetas} = \ sum_ {n=1} ^ {\} infty \ frac {\ MU (n)} {n^s}$

donde está la función el μ ( n ) de Möbius. El y muchos de la serie siguiente pueden ser obtenidos aplicando la inversión de Möbius y la serie sabida de la circunvolución de Dirichlet. Por ejemplo, dado un carácter de Dirichlet el $\ el scriptstyle \ la ji de (n)$ uno tiene $del l \ frac {1} {L (\ ji, s)}= \ sum_ {n=1} ^ {\} infty \ frac {\ MU (n) \ ji (n)} {n^s}$

donde está una L-función el $L (\ ji, s)$ de Dirichlet.

Otras identidades incluyen $\ frac del l {\ zeta (S1)}{\ zetas} = \ ^ del sum_ {n=1} {\ infty} \ frac {\ varphi (n)} {n^s}$

donde está la función el φ ( n ) de Totient, y

$\ zeta \ zeta (s-a) = \ sum_ {n=1} ^ {\} infty \ frac {\ sigma_ {a} (n)} {n^s}$

$\ frac {\ zeta \ zeta (s-a) \ zeta () \ zeta (s-a-b) del s-b}{\ zeta (2s-a-b)}$

\ sum_ {n1} ^ {\} infty \ frac {\ sigma_a (n) \ sigma_b (n)} {n^s}

donde está la función el del σ_un ( n ) del divisor. Otras identidades que implican el =&sigma del d de la función del divisor; ₀ son $\ frac del l {\ zeta^3} {\ zeta (2s)}= \ sum_ {n=1} ^ {\} infty \ frac {d (n^2)} {n^s}$ $\ frac del l {\ zeta^4} {\ zeta (2s)}= \ sum_ {n=1} ^ {\} infty \ frac {d (n)^2} {n^s}.$

El logaritmo de la función de zeta se da cerca $del l \ registro \ ^ del zeta= \ del sum_ {n=2} \ infty \ frac, \ frac {1} {n^s}$ {\ lambda (n)} {\ registro (n)} \

para el re ( s ) > 1. Aquí, $\ scriptstyle \ lambda (n)$ es la función de Von Mangoldt. El derivado logarítmico entonces está $\ frac del l {\ zeta^ \ prima} {\ zetas} = - \ ^ del sum_ {n=1} \ infty \ frac {\ lambda (n)} {n^s}.$

Estos dos pasados son casos especiales de una relación más general para los derivados de las series de Dirichlet, dados abajo.

Dado el $\ el scriptstyle \ lambda de la función de Liouville (n)$ , uno tiene $\ frac del l {\ zeta (2s)}{\ zetas} = \ ^ del sum_ {n=1} \ infty \ frac {\ lambda (n)} {n^s}.$

Otro más ejemplo implica la suma de Ramanujan: $\ frac del l {\ sigma_ {1-s} (m)} {\ zetas} = \ ^ del sum_ {n=1} \ infty \ frac {c_n (m)} {n^s}.$

Características analíticas de las series de Dirichlet: la abscisa de la convergencia

Dado un N del ∈ del n del _{de la secuencia { un n} del _{de } de números complejos que intentamos considerar el valor de $del l f = \ ^ del sum_ {n=1} \ infty \ frac {a_n} {n^s}$ en función del variable complejo s . Para que esto tenga sentido, necesitamos considerar las características de la convergencia de la serie infinita antedicha:
Si { un n del _{de } el N} del ∈ del n del _{es una secuencia limitada de números complejos, después el correspondiente f de la serie de Dirichlet converge el absolutamente en el mitad-plano abierto del s tales que con referencia (el s ) a > 1. generalmente si el un n del _de = O ( k del ^{del n ), la serie converge absolutamente en el medio plano con referencia (el s ) a > del k ; + 1.}}
Si el sistema de de las sumas un n del _de + un n del _{de + 1} +… + un n del _{de + el k} se limita para el n y el ≥ 0 del k, después la serie infinita antedicha converge en el mitad-plano abierto del s tales que con referencia (el s ) a > 0.
En el f de ambos casos es una función analítica en el medio plano abierto correspondiente.
En general la abscisa del de la convergencia de una serie de Dirichlet es la intercepción en el eje verdadero de la línea vertical en el plano complejo, tal que hay convergencia a la derecha de ella, y divergencia a la izquierda. Éste es el análogo para la serie de Dirichlet del radio de la convergencia para las series de energía . El caso de la serie de Dirichlet es más complicado, aunque: La convergencia absoluta y la convergencia uniforme pueden ocurrir en mitad-planos distintos.
En muchos casos, la función analítica asociada a una serie de Dirichlet tiene una extensión analítica a un dominio más grande.

Derivados
Dado l
para un &fnof de la función totalmente multiplicativa ; ( n ), y si se asume que la serie converge para el re (el s ) > σ ₀, entonces uno tiene eso $del l \ frac {F^ \ prima} {F} = - \ ^ del sum_ {n=1} \ infty \ frac {f (n) \ lambda (n)} {n^s}$
converge para el re (el s ) > σ ₀. Aquí, $\ scriptstyle \ lambda (n)$ es la función de Von Mangoldt.

Productos
Suponer $F= del l \ n^ del ^ del sum_ {n=1} {\ infty} f (n) {- s}$
y $G= del l \ n^ de g del ^ del sum_ {n=1} {\ infty} (n) {- s}.$
Si el F ( s ) y el G ( s ) son absolutamente convergentes para el s > un y el s > el b entonces tenemos

${como} T \ sim del a-b \ infty.$
Si = b y ƒ ( n ) = g ( n ) que tenemos $del l \ frac {1} {2T} \ despegue del ^ del int_ {- T} {T}|F (a+it)|^ {2} dt= \ sum_ {n=1} ^ {\ infty} ^ {2} n^ {- 2a} \ texto {como} T \ sim \ infty.$

Integral transforma
El Mellin transforma de una serie de Dirichlet es dado por la fórmula de Perron.
Ver también
Regularización de la función de zeta .
Zenithic
Fiction SceneRandom links: Terragen | Prima de Supersingular | Centro del gobierno (estación de MBTA) | Shadowland (álbum) | V.M. Vive el provecho de los presentes…}

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