¡ En las matemáticas, la serie de Fourier Del es una de las formas específicas del análisis de Fourier . Particularmente, permite que las funciones periódicas sean representados como suma cargada de funciones componentes sinusoidales de un mucho más simple designadas a veces los modos normales de Fourier del, o simplemente los modos para el cortocircuito. Los pesos, o los coeficientes del, de los componentes, arreglaron en orden de la frecuencia cada vez mayor, forman una serie de Fourier Llamada del de la secuencia (o función) . Por lo tanto el análisis de Fourier se dice a menudo para transformar la función original en otra, que se llama la representación del dominio de frecuencia de la función original (que es a menudo una función en el Tiempo-dominio ). Y el trazado entre las dos funciones es el uno por, así que la transformación es reversible.

Las series de Fourier Responden a muchos propósitos útiles, pues la manipulación y la conceptualización de los coeficientes modales son a menudo más fáciles que con la función original. Las áreas del uso incluyen la ingeniería eléctrica, el análisis de la vibración, la acústica, la óptica, la señal y el tratamiento de la imagen, y la compresión de datos . Usar las herramientas y las técnicas de la espectroscopia, por ejemplo, los astrónomos pueden deducir la composición química de una estrella analizando los componentes de la frecuencia, o el espectro, de la luz emitida de la estrella. Semejantemente, los ingenieros pueden optimizar el diseño de un sistema de telecomunicaciones usar la información sobre los componentes espectrales de la señal de datos que el sistema llevará (véase también el analizador de espectro ).

La serie de Fourier Se nombra después francés José Fourier, que del científico y del matemático la utilizó en su trabajo influyente sobre la conducción de calor, Théorie Analytique de la Chaleur ( la teoría del calor analítica ), publicado en 1822. Las generalizaciones incluyen las series de Fourier Generalizadas y otras extensiones sobre las bases ortonormales .

Definición

Forma general

Una forma (llamada el exponencial complejo) de la serie de Fourier Para el complejo-valoró la función de, s (t), \, es el del sequence: = \ frac {1} {T} \} \, del c_n del

l del ^ del int_ {t_0} {t_0 + T} s (t) \ e^ del cdot {- i \ ido (n \ frac {2 \ pi} {T} \ derecho) t   de dt;   para todos los valores de número entero del n de,

del where: l s (t) es periódico, con el período T
t_0 es un caso arbitrario de la discusión verdadera t
s (t) es por trozos liso y continuo
^ del \ del int_ {t_0} {t_0+T} |s (t)|^2 \, dt<+ \ infty

Dos fórmulas para reconstruir los s (t) del del are de los coeficientes (también conocidos como lo contrario de transformar el y el expansion de la serie de Fourier de ):

\ comenzar {alinear} } \ patio \ patio de s (t) c_n del ^ del &= \ del sum_ {n=- \ infty} {+ \ infty} \ e^ del cdot {i \ ido (n \ frac {2 \ pi} {T} \ derecho) t (1) \ \ &= c_0 + \ sum_ {n=1} ^ {\ infty} \ ido \ lechuga romano \ ido (n \ frac {2 \ pi} {T} t \ derecho) + i (del c_n-c_ {- n}) \ cdot \ pecado \ \ dejado (n \ frac {2 \ pi} {T} t \ derecho) \ derecho \ el &= \ el frac {a_0} {2} + \ ^ del sum_ {n=1} {\ infty} \ se fueron \ lechuga romana \ se fueron (n \ Omega t \ derecho) + b_n \ cdot \ pecado \ se fueron (n \ Omega t \ derecho) \, derecho \ patio \ patio (2) \ extremo {alinear}

donde :

* \ Omega \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ frac {} \, de 2 \ pi} {T *a_n del
de = c_n + = \ frac {2} {T} \ = \ frac {2} {T} \ ^ del int_ {t_0} {t_0+T} s del c_ {- n} del ^ del int_ {t_0} {t_0+T} s (t) \ cdot \ lechuga romana (n \ Omega t) \, *b_n del
de dt = i (c_n - c_ {- n}) (t) \ cdot \ pecado (n \ Omega t) \, despegue. \,

Sigue eso para cualquier no negativo n: c_n del

l = \) \, = \ frac {1} {2} (a_n+ib_n) del a_n-ib_n del frac {1} {2} (del c_ del
de {- n}. \,

Término Serie de Fourier puede también referirse secuencia de (a_n,) \, del b_n pares de . Esa forma es a menudo preferred cuando los s (t) \, es un verdadero - función valorada, del in which case:

c_ {- n} = \ overline {} \, del c_n   de ;     (complejo conjugación)
a_n = 2 \ cdot \ operatorname {con referencia a} \ {c_n \} \,
b_n = i^2 \ cdot 2 \ cdot \ operatorname {Im} \ {c_n \} = -2 \ cdot \ operatorname {Im} \ {c_n \}. \,

Forma canónica

Las fórmulas antedichas se pueden simplificar para producir una versión tiempo-escalada del f (t), \,   de quién período es el constante, 2π  :

g (t) \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ f \ ido (\ frac {T} {2 \ pi} t \ derecho) = \ frac {1} {2} a_0 + \ sum_ {n=1} ^ {\} infty \ lechuga romana (NT) + b_n \ pecado (NT).

Las fórmulas del coeficiente, en términos de g (t), \, se simplifica semejantemente. Y podemos también del choose:   del ; t_1 = 0, \ t_2 = T \,   :

\ comenzar {alinear} &= del a_n \ frac {2} {T} \ ^ del int_ {0} {T} f (t) \ lechuga romana (\ omega_n t) \, de despegue \ \ &= \ frac {2} {T} \ int_ {0} ^ {T} f (t) \ lechuga romana \ ido (n \ frac {2 \ pi} {T} t \) derecho \, de despegue \ \ &= \ frac {1} {\ pi} \ int_ {0} ^ {2 \ pi} f \ ido (\ frac {T} {2 \ pi} x \ derecho) \ lechuga romano (nx) \, dx, \ \ \ mathrm {donde} \ \ x \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ del frac {2 \ pi t} {T} \ \ &= \ frac {1} {\ pi} \ int_ {0} ^ {2 \ pi} g (x) \ lechuga romano () \, del nx dx \ extremo {alinear}

b_n = \ frac {1} {\ pi} \ int_ {0} ^ {2 \ pi} g (x) \ pecado () \, del nx dx. \,

La forma general (unscaled) se utiliza en la mayoría de los casos prácticos porque es directo aplicable. Para el trabajo teórico, la forma canónica puede ser más conveniente.

Ejemplos

Serie de Fourier Simple

Considerar un de la función del diente de sierra (según lo representado en la figura):

f (x) = x, \ patio \ mathrm {para} \ patio - \ pi < x < \ pi \,
f (x + 2 \ pi) = f (x), \ patio \ mathrm {para} \ patio - \ infty < x < \ infty \,

En este caso, los coeficientes de Fourier son los más fáciles de evaluar usar el intervalo en medio - π y π, donde está continua la función. el del

l \ comienza {alinear} a_n y {} = \ frac {1} {\ pi} \ int_ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) \ lechuga romano () \, del nx del dx \ \ y {} = \ frac {1} {\ pi} \ int_ {- \ pi} ^ {\ pi} x \ lechuga romano () \, del nx del dx \ \ y {} = 0. \ extremo {alinear}

¡ el del

l \ comienza {alinear} b_n y {} = \ frac {1} {\ pi} \ int_ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) \ pecado () \, del nx del dx \ \ y {} = \ frac {1} {\ pi} \ int_ {- \ pi} ^ {\ pi} x \ pecado () \, del nx del dx \ \ y {} = \ frac {2} {\ pi} \ int_ {0} ^ {\ pi} x \ pecado () \, del nx del dx \ \ y {} = \ frac {2} {\ pi} \ + \ left_0^ (\ left_0^ {\ pi} {\ pi} \ derecho) \ dejado \ y {} = 2 \ frac {(- ^ de 1) {n+1}} {n}. \ extremo {alinear}

Y del therefore:

\ comenzar {alinear} f (x) el &= \ el frac {a_0} {2} + \ ^ del sum_ {n=1} {\ infty} \ salieron de \ \ &=2 \ sum_ {n=1} ^ {\ infty} \ frac {(- ^ de 1) {n+1}} {n} \ pecado (nx), \ patio \ mathrm {para} \ patio - \ infty < x < \ infty. \ extremo {alinear}

La ecuación de onda

La ecuación de onda gobierna el movimiento de una secuencia vibrante, que se puede sujetar abajo en sus puntos finales. La solución de este problema requiere la extensión trigonométrica de un general f de la función que desaparezca en las puntos finales de un x =0 del intervalo y del x = el L . La serie de Fourier Para tal función toma la forma f del

l (x) = \ b_n \ pecado del ^ del sum_ {n=1} {\ infty} \ ido (\ frac {n2 \ pi} {L} x \ derecho)

donde

b_n = \ frac {2} {L} \ int_0^L f (x) \ pecado \ ido (\ frac {n2 \ pi} {L} x \) derecho \, dx.

Las vibraciones del aire en una pipa que esté abierta en un extremo y se cierre en el otro también son descritas por la ecuación de onda. Su solución requiere la extensión de una función que desaparezca en el x = 0 y cuyo derivado desaparezca en el x = el L . La serie de Fourier Para tal función toma la forma f del

l (x) = \ b_n \ pecado del ^ del sum_ {n=1} {\ infty} \ ido (\ frac {(2n +1) \ pi} {L} x \ derecho)

donde

b_n = \ frac {2} {L} \ int_0^L f (x) \ pecado \ ido (\ frac {(2n+1) \ pi} {L} x \) derecho \, dx.

Interpretación: descomposición de un movimiento en rotaciones

Las series de Fourier Tienen una interpretación cinemática . De hecho, el t de la función \ el mapsto f (t) se puede ver como el movimiento de un objeto en un plano (el t entonces representaría tiempo). Puesto que el f es complejo-valorado, podemos escribir f del

l (t)=u (t)+i v (t). \,

para el con valores reales funciona el u y el v . En esta forma, podemos interpretar el f como suma de traducciones horizontales y verticales.

A partir de la hora t de medir el tiempo de t+dt, donde está un período despegue del incremental muy pequeño, el objeto se mueve desde el A= \ left del punto al B= \ left del punto, que corresponde a una traducción infinitesimal en espacio por el del vector \ = \ left del overrightarrow {AB}. Consecuentemente, podemos escribir el f como: f del (t)= \ left+ \ left+ \ cdots+ \ left



= \ int_0^t \ frac {1} {} \ dejado del dx \, dx.

Ahora en vez de ver el f como suma de traducciones infinitesimales, podemos verla como suma infinita de rotaciones de diversos radios. Esta interpretación es conveniente, particularmente cuando el movimiento es periódico.

Dejar el \ el chi_n=e^ {inx} sea el n - dar vuelta por la segunda rotación (del radio 1) (a veces llamado el carácter ). Queremos escribir el f como f (el c_n \ chi_n del x)= \ de la suma. Podemos probar que (véase la derivación matemática abajo) que los radios de las rotaciones (los coeficientes c_n) son exactamente los dimos en el párrafo anterior.

Por ejemplo, el diagrama del f de la función: t \ mapsto 2 \ lechuga romana \ (\ frac {t} {2} \ derecho) el e^ dejado {\ frac {3} {2} él} es cerrado, que significa que la función es periódica. El lazo en la curva sugiere que sea la suma de dos funciones periódicas, uno que tiene un período más corto que el otro. De hecho, puede ser escrito: f (= \ chi_1 (t)+ \ chi_2 (t) del t)=e^ {él} +e^ {2it}. Todos sus coeficientes de Fourier son cero excepto c_1=1 y c_2=1. La interpretación gráfica de una rotación es mucho más dura de hacer que la de las traducciones porque en vez visualmente de ver el movimiento a partir de un punto a otro tenemos que agregar el movimiento entero para que la descomposición tenga sentido (estamos razonando en frecuencias de la rotación algo que a tiempo).

Matemáticamente, la adopción de este punto de vista es ver la serie de Fourier Como herramienta para entender a los operadores lineares que conmutan con traducciones. El \ chi_n de las funciones es exacto los carácteres multiplicativos del \ del mathbb {R} /2 \ pi \ mathbb {Z} del grupo.

Desarrollo histórico

Las series de Fourier Se nombran en honor José Fourier (1768-1830), que hizo contribuciones importantes al estudio de la serie trigonométrica, después de investigaciones preliminares por el Madhava, el Nilakantha Somayaji, el Jyesthadeva, el Leonhard Euler, el d'Alembert de Jean le Rond, y el Daniel Bernoulli . Él aplicó esta técnica para encontrar la solución de la ecuación del calor, publicando sus resultados de la inicial en 1807 y 1811, y publicando su Théorie analytique de la chaleur en 1822.

Desde un punto de vista moderno, los resultados de Fourier son algo informales, debido a la carencia de una noción exacta de la función y integral del en el siglo XIX temprano (por ejemplo, uno preguntado si una función definida en dos intervalos con dos diversas fórmulas seguía siendo una función). Más adelante, el Dirichlet y el Riemann expresaron los resultados de Fourier con la mayores precisión y formalidad.

Un artículo revolucionario

En el trabajo de Fourier '' los solides dados derecho del cuerpo de los les de los dans de la propagation de la chaleur del sur de Mémoire '', en las páginas 218 y 219, podemos leer el siguiente:

style=" del del del
\ varphi (y)=a \ \ cos5 de lechuga romana \ del frac {\ pi y} {2} +a'\ lechuga romana 3 \ frac {\ pi y} {2} +a \ + \ cdots. del frac {\ pi y} {2}

l que multiplica ambos lados por el \ lechuga romana (2i+1) \ frac {\ pi y} {2} , y después integración de y=-1 a las producciones de y=+1:


a_i= \ int_ {- 1} ^1 \ varphi (y) \ lechuga romano (2i+1) \ frac {\ pi y} {2} \, dy.

En estas pocas líneas, que están asombrosamente cerca del formalismo moderno utilizó en la serie de Fourier, Fourier revolucionó involuntario matemáticas y la física. Aunque las series trigonométricas similares fueran utilizadas previamente por Euler, d'Alembert, Daniel Bernoulli y el gauss, Fourier era el primer para reconocer que tal serie trigonométrica podría representar funciones arbitrarias del de, incluso ésos con discontinuidades. Ha requerido muchos años para aclarar esta penetración, y ha llevado a las teorías importantes de la convergencia, del espacio de función, y del análisis armónico .

La originalidad de este trabajo era tal que cuando Fourier sometió su papel en 1807, el comité (integrado por ningunos pocos matemáticos que el Lagrange, el Laplace, el Malus y el Legendre, entre otros) concluyó: … que la manera en la cual el autor llega estas ecuaciones no es exenta de dificultades y ésa su análisis integrarlas todavía deja algo ser deseado en la cuenta de la generalidad e incluso del del rigor.

El nacimiento del análisis armónico

Desde el tiempo de Fourier, muchos diversos acercamientos a definir y a entender el concepto de serie de Fourier Se han descubierto, que son matemáticamente el equivalente (y corregir), pero que acentúa diversos aspectos del asunto. Algunos de los acercamientos más de gran alcance y más elegantes se basan en ideas matemáticas y las herramientas que no estaban disponibles en ese entonces Fourier terminaron su trabajo original. Fourier definió original la serie de Fourier Para las funciones con valores reales de discusiones verdaderas, y de usar las funciones del seno y de coseno como la base determinado para la descomposición.

Mucho el otro Fourier-relacionado transforma se ha definido desde entonces, ampliando a otros usos la idea inicial de representar cualquier función periódica como superposición de armónicos. Esta área general de la investigación ahora a veces se llama el el análisis armónico .

Derivación moderna de los coeficientes de Fourier

El método usado por Fourier para derivar los coeficientes de la serie está muy práctico y bien adaptado al problema que él trataba de (propagación del calor). Sin embargo, este método se ha generalizado desde entonces a una clase mucho más ancha de problemas: escritura de una función como una suma de funciones periódicas.

Más exacto, si f : &rarr del R ; El C es una función, nosotros quisiera escribir esta función como suma de funciones trigonométricas, es decir f (^ del c_n. del x)= \ de la suma {inx} . Tomaremos el f de las funciones: &rarr del R ; C en el sistema de por trozos continuo, 2π funciones periódicas con el ^ \ pi del \ del int_ {- \ pi} |f (x)|^2 \, dx<+ \ infty. Técnicamente hablando, de hecho estamos tomando funciones del L 2 (el &mu del espacio del Lp;), donde μ es la medida normalizada del intervalo (es decir tal de Lebesgue que \ el int_ {} f \, d \ mu= \ el frac {1} {2 \ pi} \ el ^ \ pi f del int_ {- \ pi} (x) \, dx.

Podemos hacer el L 2 (el μ) en un espacio de Hilbert, que está bien adaptado para las proyecciones ortogonales definiendo el producto interno :

\ langle f, g \ rangle = \ int_ {} f \ overline {g} \, d \ mu= \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {- \ pi} ^ \ pi f (x) \ overline {g (x)} \, dx,

donde \ overline {g (x)} denota la conjugación g ( x ). Denotaremos por el \| \ cdot \| la norma asociada .

el E= \ {t \ mapsto el e^ {i n t}, n \ en \ mathbb {} \} de Z es una base ortonormal L 2 (el μ), que los medios nosotros pueden escribir el f del

l (x)= \ sum_ {n \ en \ mathbb {Z}} \ se fue \ el langle f, e^ {i n x} \ e^ correcto \ del rangle {i n x}

c_n \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ se fue \ langle f, e^ {i n x} \ derecho \ rangle = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) e^ {-} \, de i n x dx \,

Características

Si el f es una función impar, después a_n=0 para todo el n porque el f (x) \ lechuga romana \ ido (n \ el frac {2 \ pi} {T} x \ derecho) es entonces también impar, así que su integral en el T/2 es cero. Si el f es una función uniforme, entonces b_n=0 por una razón similar.

si el f es por trozos continuo, \ c_n del lim_ {n \ rightarrow + \ infty} (f)=0, c_ del \ del lim_ {n \ rightarrow + \ infty} {- n} (f)=0, a_n del \ del lim_ {n \ rightarrow + \ infty} (f)=0 y b_n del \ del lim_ {n \ rightarrow + \ infty} (f)=0.

si el f es el k - continuamente diferenciable, después nosotros de las épocas por trozos puede computar fácilmente los coeficientes de Fourier del f^ {(k)} dado los del f : c_n del

l del
\ ido (f^ {(k)} \ derecho) = (adentro) c_n del ^k (f),

donde el f^ {(k)} denota el derivado del th del k del f .

para cualquie positivo k del número entero, si el f es   de C '' k ''; −  1 y por trozos k , entonces
de C del
del
de \ lim_ {n \ rightarrow + \ infty}|n^kc_n (f)|=0 porque n^kc_n (c_n del f)=i^ {- k} \ ido (f^ {(k)} \) derecho \ rightarrow 0.

Esto significa que el c_n de la secuencia (f) es que disminuye rápido .

Caso general

¿Las series de Fourier Se aprovechan de la periodicidad de un f de la función pero qué si el f es periódico en más que uno variable, o para esa materia, qué si el f no es periódico? Estos matemáticos llevados problemas y físicos teóricos a intentar definir la serie de Fourier En cualquie G del grupo. La ventaja de esto es que permite que, por ejemplo, definamos la serie de Fourier Para las funciones de varias variables. La serie de Fourier Y el Fourier transforma usado generalmente en casos especiales entonces convertidos del tratamiento de señales de esta teoría y es más fáciles de interpretar.

Si el G es un grupo abeliano localmente compacto y el T es el círculo de unidad, podemos definir el dual del G por = \ {\ ji del \ del widehat {G}: G \ rightarrow \ mathbb {T} \ mbox {} \} del homomorfismo . Éste es el sistema de rotaciones en el círculo de unidad y sus elementos se llaman los carácteres. Podemos definir un del producto escalar \, \ cdot \ rangle del langle \ del cdot en el C cerca: \ langle \ chi_1, \ chi_2 \ rangle= \ int_ {G} \ chi_1 (g) \ overline {\ chi_2 (g)} \, dg. el \ el widehat {G} es entonces una base ortonormal del C con respecto a este producto escalar. Dejar el f : &rarr de G del ; C . Los coeficientes de Fourier del f se definen cerca: \ widehat {f} (\ ji) = \ langle f, \ ji \ rangle y nosotros tienen f (g) = \ int_ {\ widehat {G}} \ widehat {f} (\) \ ji de la ji (g) \, d \ chi. Si el grupo es discreto, después el integral reduce a una suma ordinaria.

Por ejemplo, el Fourier de este artículo es obtenido tomando el G = &pi del R /2; Z . Conseguimos = \ {\ chi_n del \ del widehat del

l {G}: t \ mapsto e^ {i n t}, n \ en \ mathbb {} \} de Z

y

c_n (f) = \ widehat {f} (\ chi_n) = \ int_G f (g) \ overline {\ ji (g)} \, dg = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) e^ {-} \, del NT de i dt.

Las funciones periódicas en dimensiones del n se pueden definir en un n - toro dimensional (la función que toma un valor en cada punto en el toro). Tal toro es definido por el n del del T = el n /(2&pi del del R ; n del del Z ). Para el n = 1 conseguimos un círculo, para el n = 2 el producto de cartesiano de dos círculos, es decir un toro en el sentido generalmente. Eligiendo el G = el n del del T da la serie de Fourier Correspondiente.

Aproximación y convergencia de la serie de Fourier

Definición de una serie de Fourier

Dejar el \ el chi_n (x)=e^ {in2 \ pi \ frac {x} {T}} . Llamamos las series de Fourier Del del f de la función el c_n \ chi_n del \ de la suma de la serie. Cualquier positivo N del número entero, pedimos el f_N (^Nc_n del x)= \ del sum_ {n=-N} \ el chi_n (x) la suma parcial N-th de la serie de Fourier De esta función.

Aproximación con las sumas parciales

Decir que queremos encontrar la mejor aproximación del f usar solamente el \ chi_n de las funciones para el n de -N al N . Dejar el \ el _N= mathcal {T} \ se fue \ {x_n \ chi_n del ^N del p= \ del sum_ {n=-N}, x_n \ en \ mathbb {C} \ derecho \} . Estamos intentando encontrar el de los coeficientes (, \ puntea, x_ {N} del x_ {- N}) tales que el \|punto de congelación \| es mínimo (donde el \| \ cdot \| denota la norma ).

Tenemos \|punto de congelación \|^2= \|f \|^2-2 \ mbox {con referencia a} \ langle f, p \ rangle+ \|p \|^2, con referencia a donde (el z ) denota la parte real del z . del

l \ langle f, p \ rangle= \, \ chi_n \ rangle. del ^N \ del overline {x_n} \ del langle f del sum_ {n=-N}

El teorema (que de Parseval se puede derivar independiente de la serie de Fourier) Nos da

\|p \|^2= \ ^N del sum_ {n=-N}|x_n|^2.

Por definición, \ chi_n \ rangle del c_n= \ del langle f; por lo tanto

\|punto de congelación \|^2= \|f \|^2+ \ ^N \ left. del sum_ {n=-N}

Está claro que esta expresión es mínima para x_n=c_n y para este valor solamente.

Esto significa que hay un y solamente un f_N \ en \ {T} _N mathcal tales que

\|f-f_N \|= \ min_ {p \ en \ el _N mathcal {T}} \ se fue \ {\|punto de congelación \|, p \ en \ _N {T} \ derecho mathcal \},

se da cerca f_N del

l (c_n del ^N del x)= \ del sum_ {n=-N} \ chi_n (x),

donde c_n= del

l \ frac {1} {T} \ ^ del int_ {- T/2} {T/2} f (t) \ chi_ {- n} (t) \, dt.

Esto significa que la mejor aproximación del f que podemos hacer usar solamente el \ el chi_n (x)=e^ {in2 \ pi \ frac {x} {T} de las funciones} para el n de -N al N es exacto la suma parcial del th del N de la serie de Fourier. Una ilustración de esto se da en el diagrama animated del ejemplo 1.

Convergencia

considera también: Convergencia la serie de Fourier

Mientras que el de los coeficientes de Fourier del un n del del n y del b del de se puede definir formalmente para cualquier función para la cual los integrales tengan sentido, si la serie así que definido converge realmente al f ( x ) depende de las características del f .

La respuesta más simple es ésa si el f entonces es el Cuadrado-integrable el del

l \ el lim_ {N \ rightarrow \ infty} \ el ^ \ pi del int_ {- \ pi} \ se fueron|f (x) - \ ^ del sum_ {n=-N} {N} c_n \, \ chi_n (x) \ derecho|^2 \, dx=0.

Ésta es convergencia en la norma del espacio '' L '' 2 . La prueba de este resultado es simple, desemejante resultado mucho más fuerte de s de Carleson Lennart de un 'que converge la serie realmente casi por todas partes.

Hay muchas pruebas sabidas que se aseguran de que la serie converja en un dado x del punto, por ejemplo, si la función es el diferenciable en el x . Incluso una discontinuidad del salto no plantea un problema: si la función tiene derivados izquierdos y derechos en el x, después la serie de Fourier Convergerá al promedio de los límites izquierdos y derechos (sino ver el fenómeno de Gibbs). Sin embargo, un hecho de que muchos encuentren asombrosamente, es que las series de Fourier De una función continua no necesitan converger pointwise.

Esta situación desagradable es contrapesada por un teorema por Dirichlet que indique que si el f es función continuamente diferenciable de T-periodic y por trozos, después converge su de la serie de Fourier El pointwise y c_n del \ del sum_ {n \ en \ mathbb {Z}} \ chi_n (x)= \ frac {f (x^+) +f (el x^-)}{2} , donde = \ lim_ {t \ rightarrow x, t>x} f del f (x^+) (x) y = \ lim_ {t \ rightarrow x, t del f (x^-). Si el f es continuo así como por trozos continuamente diferenciable, después la serie de Fourier Converge uniformemente.

En 1922, el Andrey Kolmogorov publicó un artículo titulado el partout del presque del divergente de Fourier-Lebesgue del série de Une en el cual él dio un ejemplo de una función Lebesgue-integrable cuya diverge serie de Fourier Casi por todas partes. Esta función no está en L^2 (\ MU) .

Teoremas de Plancherel y de Parseval

Otra característica importante de la serie de Fourier Es el teorema de Plancherel. Dejar el f, g \ en L^2 (\ MU) y c_n (f), c_n (g) sea los coeficientes complejos correspondientes de Fourier. Entonces

\ sum_ {n \ en \ mathbb {Z}} c_n (f) \ overline {c_n (g)} = \ frac {1} {T} \ int_ {-} ^ T/2 {T/2} f (x) \ overline {g (x)} \, dx

donde el \ el overline {z} denota la conjugación z .

El teorema, un caso especial de Parseval del teorema de Plancherel, indica eso: del

l \ sum_ {n \ en \ mathbb {Z}} |c_n (f)|^2 = \ frac {1} {T} \ ^ del int_ {- T/2} {T/2} |f (x)|^2 \, dx

cuál se puede también exponer en forma modificada en términos de coeficientes de Fourier del coseno/del seno: + \ frac {1} {2} \ ^ del sum_ {n=1} \ (a_n^2 + b_n^2 \ derecho) = infty \ dejado \ frac {1} {T} \ ^ del int_ {- T/2} {T/2} del \ del frac del

l 4} {a_0^2} { |f (x)|^2 \, dx.

Estos teoremas se pueden probar usar las relaciones de la ortogonalidad. Pueden ser interpretados físicamente diciendo que la escritura de una señal como serie de Fourier No cambia su energía.

Ver también

El Fourier transforma
Análisis armónico
Fenómeno de Gibbs
Teoría de Sturm-Liouville
&mdash de la serie de Lorenzo ; el q=e^ de la substitución {\ pi i t} transforma una serie de Fourier En una serie de Lorenzo, o inversamente. Esto se utiliza en el q - extensión de serie '' j '' - invariante.
  • Zenithic
  • New Lisbon
    Random links:Northrop F-5 | Auguste Piccard | Colina de la fruta, Ohio | Pilsner Urquell | Base polinómica

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