Serie de Taylor - Enciclopedia España

En las matemáticas, la serie de Taylor del es una representación de una función como suma infinita de términos calculados de los valores de sus derivados en un monopunto. Puede ser mirada como el límite de los polinomios de Taylor que las series de Taylor se nombran en honor del arroyo inglés Taylor del matemático . Si la serie utiliza los derivados en cero, la serie también se llama una serie de Maclaurin del, nombrada después escocés Colin Maclaurin del matemático .

Definición

¡La serie de Taylor de un el complejo verdadero f ( x ) de la función de o que es el infinitamente diferenciable en una vecindad de un complejo verdadero del número de o un, es la serie de energía Satisfacer tan no escriben f (x)=… aquí --> $f del (a)+ \ frac {f'(a)} {1!}(XA) + \ frac { de f (a)} {2!}(XA) ^2+ \ frac {f^ {(3)} (a)} {3!}(XA) ^3+ \ cdots \,$ cuál en más compacto forma puede estar escrito como

$\ sum_ {n=0} ^ {\} del infin \ frac {f^ {(n)} (a)} {n!} (XA) ^ {} \, de n,$ ¡donde de n! es el factorial de de n y de ^{del de f; ( de n)} ( un ) denota el derivado del th del de n del de f en el punto un ; el derivado del zeroth del de f se define para ser el sí mismo de f y ( del de x; − ¡ un ) ⁰ y 0! son ambos definidos para ser 1.

El de f ( de x) es a menudo igual a su serie de Taylor evaluada en el de x para todo el de x suficientemente cerca de un . Ésta es la razón principal por la que las series de Taylor son importantes.

En el caso particular donde el $a = 0$ , la serie también se llama una serie de Maclaurin.

Ejemplos

La serie de Maclaurin para cualquier polinómico es el polinomio sí mismo.

¡La serie de Maclaurin para el ^ del $(1-x) {- 1}$ es el
$1+x+x^2+x^3+ \ cdots \! del de la serie geométrica$ ¡la serie de Taylor para el $x^ {- 1}$ en $a=1$ es tan el
$1- (x-1) del + (x-1) ^2- (x-1) ^3+ \ cdots \!$ .

¡Integrando la serie de Maclaurin antedicha encontramos la serie de Maclaurin para el $- \ el ln (1 - x) \! ¡$ , donde $\ ln \!$ denota el logaritmo natural : ¡
$x+ \ frac {x^2} 2+ \ frac {x^3} 3+ \ frac {x^4} 4+ \ cdots \! del$ ¡y la serie de Taylor correspondiente para el $\ el ln (x) \! ¡$ en $a=1 \! ¡$ es - \ frac {(x-1) ^2} 2+ \ frac {(x-1) ^3} 3 \ frac {(x-1) ^4} 4+ \ cdots \! del $del (x-1)$ .

La serie de Maclaurin para la función exponencial $e^x$ en el $a=0$ es + \ frac {x^1} {1 del $1!} + \ frac {x^2} {2!} + \ frac {x^3} {3!} + \ frac {x^4} {4!} + \ frac {x^5} {5!}¡+ \ cdots \ = \ qquad 1 del qquad + x + \ + \ frac {x^3} {6} del frac {x^2} {2} + \ 24} + \ frac {x^5} {120} del frac {x^4} {+ \ cdots \!$ .

La extensión antedicha se sostiene porque el derivado de $e^x$ es también los iguales 1. de $e^x$ y de $e^0$ . ¡Esto deja el $de los términos (x-0) ^n$ en el numerador y la n! en el denominador para cada término en la suma infinita.

Convergencia

Las series de Taylor no necesitan en general sean las series convergentes, sino que están a menudo. El límite de una serie de Taylor de la convergente no necesita en general sea igual al f ( x ) del valor de la función, sino que está a menudo. Si el f ( x ) es igual a su serie de Taylor en una vecindad al, reputa el analítico en esta vecindad. Si el f ( x ) es igual a su serie de Taylor por todas partes se llama el entero. La función exponencial

e^x

y el seno y el coseno de las funciones trigonométricas son ejemplos de funciones enteras. Los ejemplos de las funciones que no son enteras incluyen el logaritmo, la tangente de la función trigonométrica, y su inverso Arctan . Para estas funciones las series de Taylor incluso no convergen si el x es lejos de un .

Una serie de Taylor se puede utilizar para calcular el valor de una función entera en cada punto, si el valor de la función, y de todos sus derivados, se sabe en un monopunto. Las aplicaciones de la serie de Taylor para las funciones enteras incluyen: Las sumas parciales (los polinomios de Taylor de la serie se pueden utilizar como aproximaciones de la función entera. Estas aproximaciones son buenas si muchos términos son suficientemente incluidos.

La representación de la serie simplifica muchas pruebas matemáticas

Se representa a la derecha una aproximación exacta del pecado ( x ) alrededor del del punto = 0. La curva rosada es un polinomio del grado siete:

$\ - \ frac {x^3} {3 de aproximadamente x!} + \ frac {x^5} {5!} - \ frac {x^7} {7!}¡\!$ . El error en esta aproximación no es no más que el

del $\ del tfrac Historia$

El pitagórico Zeno del filósofo consideraba el problema de sumar una serie infinita para alcanzar un resultado finito, pero lo rechazó como imposibilidad: el resultado era la paradoja de Zeno. Más adelante, el Aristotle propuso una resolución filosófica de la paradoja, pero el contenido matemático era al parecer sin resolver hasta tomado por el Democritus y entonces el Archimedes . Estaba con el método de Archimedes del agotamiento que un número infinito de subdivisiones progresivas se podría realizar para alcanzar un resultado trigonométrico finito. El Liu Hui empleó independiente un método similar varios siglos más adelante. En el siglo XIV, los ejemplos más tempranos del uso de la serie de Taylor y los métodos estrechamente vinculados fueron dados por el Madhava de Sangamagrama . Aunque ninguÌn expediente de su trabajo sobrevive, las escrituras de los matemáticos indios posterior sugieren que él encontrara un número de casos especiales de la serie de Taylor, incluyendo ésos para las funciones trigonométricas del seno, del coseno, de la tangente, y del Arctangent . La escuela de Kerala de la astronomía y las matemáticas fomentan ampliaron sus trabajos con varias extensiones de serie y aproximaciones racionales hasta el siglo XVI . En el siglo XVII, James Gregorio también trabajado en esta área y publicado varias series de Maclaurin. No estaba hasta el 1715 sin embargo que un método general para construir estas series para todas las funciones para las cuales existen finalmente fue proporcionado por el arroyo Taylor, después de que las series ahora se nombran. La serie de Maclaurin fue nombrada después Colin Maclaurin, profesor en Edimburgo, que publicó el caso especial del resultado de Taylor en el siglo XVIII.

Características

Si esta serie converge para cada x en el intervalo ( un &minus de ; el r, el + el r ) y la suma es iguales al f ( x ), después el f ( x ) de la función reputa el analítico del en el intervalo ( un &minus de ; r, + r ). Si esto es verdad para cualquier r entonces la función reputa una función entera del . Para comprobar si la serie converge hacia el f ( x ), uno utiliza normalmente las estimaciones para el término de resto del teorema de Taylor. Una función es analítico si y solamente si puede ser representada como serie de energía ; los coeficientes en esa serie de energía son entonces necesario los que está dados en la fórmula antedicha de la serie de Taylor. La importancia de tal representación de la serie de energía es por lo menos cuádruple. Primero, la diferenciación y la integración de la serie de energía pueden ser término realizado por término y son por lo tanto particularmente fáciles. En segundo lugar, una función analítica se puede ampliar únicamente a una función olomorfa definida en un disco abierto en el plano complejo, que hace la maquinaria entera del análisis complejo disponible. Tercero, la serie (truncada) se puede utilizar para computar valores de la función aproximadamente (a menudo modificando el polinomio en la forma de Chebyshev y evaluándolo con el algoritmo de Clenshaw). Cuarto, las operaciones algebraicas se pueden hacer a menudo mucho más fácilmente en la representación de la serie de energía; por ejemplo la prueba más simple de la fórmula de Euler utiliza las extensiones de serie de Taylor para el seno, el coseno, y las funciones exponenciales. Este resultado es de importancia fundamental en los campos tales como el análisis armónico . Observar que hay ejemplos del f ( x ) de las funciones infinitamente diferenciables cuyas convergen series de Taylor, pero es el no igual al f ( x ). Por ejemplo, la función definió el pointwise por el f ( x ) = e^{− 1 x ²} si el ≠ 0 del x y el f (0) = 0 es un ejemplo de una función lisa No-analítica . Todos sus derivados en el x = 0 son cero, así que la serie de Taylor del f ( x ) en 0 es cero por todas partes, aunque la función es diferente a cero para cada ≠ 0 del x . Esta patología particular no aflige la serie de Taylor en el análisis complejo . Allí, el área de la convergencia de una serie de Taylor es siempre un disco en el plano complejo (posiblemente con el radio 0), y donde converge la serie de Taylor, converge al valor de la función. Notar que el z ² de e^{−1/no se acerca a 0 mientras que el z se acerca a 0 a lo largo del eje imaginario, por lo tanto esta función no es continua como función en el plano complejo. Puesto que cada secuencia de números verdaderos o complejos puede aparecer como coeficientes en la serie de Taylor de una función infinitamente diferenciable definida en la línea verdadera, el radio de convergencia de una serie de Taylor puede ser cero. Hay incluso funciones infinitamente diferenciables definidas en la línea verdadera cuyas series de Taylor tienen un radio de la convergencia 0 por todas partes. Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen una singularidad ; en estos casos, uno puede a menudo todavía alcanzar una extensión de serie si una permite también energías negativas del variable x ; ver la serie de Lorenzo . ¡Por ejemplo, $f (x) = e^ {- 1/x^2} \!$ se puede escribir como serie de Lorenzo. El método de Parker-Sochacki es un avance reciente en encontrar las series de Taylor que son soluciones al diferencial este algoritmo de las ecuaciones son una extensión de la iteración de Picard.

Lista de serie de Taylor de algunas funciones comunes
¡ Varias extensiones de serie importantes de Maclaurin siguen. ¡Todas estas extensiones son válidas para el $x complejo de las discusiones \!$ . Función exponencial :

$\ mathrm {e} ^ {x} = \ sum^ {\ infin} _ {n=0} \ frac {x^n} {n!} = 1 + x + \ frac {x^2} {2!} + \ frac {x^3} {3!} ¡+ \ cdots \ patio \ mbox {para todos} x \!$
Logaritmo natural :

$\ ln (1-x) = - \ sum^ {\ infin} _ {n=1} \ frac {x^n} n \ patio \ mbox {para} |x| ¡< 1 \!$
Serie geométrica finito: ¡ $del l \ frac {1-x^ {m + 1}} {1-x} = \ x^n \ patio \ mbox del _ del sum^ {m} {n=0} {para} x \ not= 1 \ mbox {y} m \ en \ mathbb {N} _0 \!$
Serie geométrica infinita: $del l \ frac {1} {1-x} = \ x^n \ patio \ mbox del _ del sum^ {\ infin} {n=0} {para} |x| ¡< 1 \!$
Variantes de la serie geométrica infinita: $del l \ frac {x^m} {1-x} = \ x^n \ patio \ mbox del _ del sum^ {\ infin} {n=m} {para} |x| ¡< 1 \ mbox {y} m \ en \ mathbb {N} _0 \!$ $del l \ frac {x} {(1-x) ^2} = \ x^n \ patio \ mbox del _ del sum^ {\ infin} {n=1} n {para} |x| ¡< 1 \!$
Raíz cuadrada : ${1+x} del = \ ^ del sum_ {n=0} \ infty \ frac {(- ^n de 1) (2n)!}¡{(1-2n) n! x^n \ patio \ mbox de ^24^n} {para} |x|¡<1 \!$
Serie binomial (incluye la raíz cuadrada para el α del el = 1/2 y la serie geométrica infinita para el α del = − 1): $del l (1+x)^ \ alfa = \ ^ del sum_ {n=0} \ {\ alfa \ elige n} x^n \ patio \ mbox infty {para todos} |x| ¡< 1 \ mbox {y todo el} \ alfa del complejo \! de$ con los coeficientes binomiales generalizados : ${\ alfa \ elige n} = \ = \ frac del ^n \ del frac del prod_ {k=1} {\ alpha-k+1} k {\ alfa (\ alpha-1) \ cdots (\ alfa-n+1)} {n!}¡\!$
Funciones trigonométricas

$\ pecado x = \ sum^ {\ infin} _ {n=0} \ frac {(- ^n de 1)} {(2n+1)!} x^ {2n+1} \ patio = - \ frac {x^3} {3 de x!} + \ frac {x^5} {5!} ¡- \ cdots \ mbox {para todos} x \!$

$\ lechuga romano x = \ sum^ {\ infin} _ {n=0} \ frac {(- ^n de 1)} {(2n)!} x^ {2n} \ patio = 1 - \ frac {x^2} {2!} + \ frac {x^4} {4!} ¡- \ cdots \ mbox {para todos} x \!$

$\ tan x = \ sum^ {\ infin} _ {n=1} \ frac ^n 4 {de B_ {2n} (-) (1-4^n)} {(2n)!} x^ {2n-1} \ patio = x + \ + \ frac {2 x^5} {15} del frac {x^3} {3} + \ cdots \ mbox {para} |x| ¡< \ frac {\ pi} {2} \!$
l del
donde está los números el B s de Bernoulli .

$\ mbox {para} |x| ¡< \ frac {\ pi} {2} \!$

$\ arcsin x = \ sum^ {\ infin} _ {n=0} \ frac {(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^ {2n+1} \ patio \ mbox {para} |x| ¡< 1 \!$

$\ arctan x = \ sum^ {\ infin} _ {n=0} \ frac {(- ^n} de 1) {2n+1} x^ {2n+1} \ patio \ mbox {para} |x| ¡\ le 1 \!$
Funciones hiperbólicas

$\ sinh x = \ sum^ {\ infin} _ {n=0} \ frac {x^ {2n+1}} {(2n+1)!} ¡\ patio \ mbox {para todos} x \!$

$\ garrote x = \ sum^ {\ infin} _ {n=0} \ frac {x^ {2n}} {(2n)!} ¡\ patio \ mbox {para todos} x \!$

$\ tanh x = \ sum^ {\ infin} _ {n=1} \ frac {B_ {2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^ {2n-1} \ patio \ mbox {para} |x| ¡< \ frac {\ pi} {2} \!$

$\ mathrm {arcsinh} (x) = \ sum^ {\ infin} _ {n=0} \ frac {(- ^n de 1) (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^ {2n+1} \ patio \ mbox {para} |x| ¡< 1 \!$

$\ mathrm {arctanh} (x) = \ sum^ {\ infin} _ {n=0} \ frac {x^ {2n+1}} {2n+1} \ patio \ mbox {para} |x| ¡< 1 \!$

Función de W de Lamberto:

$W_0 (x) = \ sum^ {\ infin} _ {n=1} \ frac {(-) ^ n {n-1}} {n!} x^n \ patio \ mbox {para} |x| ¡< \ frac {1} {\} \! del mathrm {e}$
¡El $B_k de los números \!$ que aparecen en las extensiones de la adición tan ( x ) y del tanh ( x ) son los números de Bernoulli . ¡El $E_k \!$ en la extensión del sec ( x ) son los números de Euler.

Cálculo de la serie de Taylor
Varios métodos existen para el cálculo de la serie de Taylor de una gran cantidad de funciones. Uno puede intentar utilizar la serie de Taylor como está y generalizar la forma de los coeficientes, o uno puede utilizar manipulaciones tales como substitución, multiplicación o división, adición o substracción de la serie de Taylor estándar para construir la serie de Taylor de una función, en virtud de la serie de Taylor que es serie de energía. En algunos casos, uno puede también derivar la serie de Taylor en varias ocasiones aplicando la integración por las piezas . Particularmente conveniente es el uso de los sistemas de la álgebra de la computadora de calcular la serie de Taylor.
Primer ejemplo
¡Computar el polinomio de Maclaurin del grado 7^th para el $f del de la función (, \ patio x \ adentro del x)= \ del ln \ de lechuga romana x (, - \ pi/2 \ pi/2) \!$ . Primero, reescribir la función como $f del (x)= \ ln (1+ (\ lechuga romana x-1))¡\!$ . ¡Tenemos para el $\ el ln del del logaritmo natural (usando la notación grande O) (1+x) = x - \ + \ frac {x^3} 3 del frac {x^2} 2 + \ mathcal {O} (x^4) \!$ ¡y para coseno función

$\ lechuga romano x - 1 = - \ frac {x^2} 2 + \ - \ frac {x^6} {720} del frac {x^4} {24} + \ mathcal {O} (x^8) \!$ La 3ultima extensión de serie tiene un término constante cero, que nos permite substituir la segunda serie en primera y omitir fácilmente términos de una orden más alta que el grado 7^th usando la notación grande de O: el $del l \ comienza {alinear} f (x)&= \ ln (1+ (\ lechuga romana x-1))\ \ - \ + \ frac13 \ bigl (\ lechuga romana x-1 \ bigr) \ \ &= \ biggl (- \ frac {x^2} 2 de ^3+ de frac12 del &= \ del bigl (\ lechuga romana x-1 \ bigr) \ del bigl (\ lechuga romana x-1 \ bigr) ^2 \ mathcal {O} \ del bigl ((\ lechuga romana x-1) ^4 \ bigr) + \ - \ frac {x^6} {720} del frac {x^4} {24} + \ {O} (x^8) \ biggr) - mathcal \ frac12 \ biggl (- \ frac {x^2} 2+ \ frac {x^4} {24} + \ mathcal {O} (x^6) \ biggr) ^2+ \ frac13 \ biggl (- \ frac {x^2} 2+ \ mathcal {O} (x^4) \ biggr) ^3 + \ mathcal {O} (x^8) \ \ y = \ + \ frac {x^4} {24} del frac {x^2} 2 - \ 720} - \ frac {x^4} 8 del frac {x^6} {+ \ - \ frac {x^6} {24} del frac {x^6} {48} + \ mathcal {O} (x^8) \ \ y = - \ frac {x^2} 2 - \ - \ frac {x^6} {45} del frac {x^4} {12} + \ mathcal {O} (x^8). ¡\ fin {alinear} \!$ Puesto que el coseno es una función uniforme, los coeficientes para todo el impar x, x ^{3, x ^{5, x ^{7 de las energías.}}}

Segundo ejemplo
¡Suponen que nosotros quieren Taylor serie en 0 de función

$g (x)= \ frac {e^x} {\} \! de lechuga romana x$ . Tenemos para = \ sum^ \ infty_ {n=0} {el x^n del $e^x del de la función exponencial \ sobre n!} =1 + x + {x^2 \ sobre 2!} + {x^3 \ sobre 3!} + {x^4 \ sobre 4!}¡+ \ cdots \!$ y, como en el primer ejemplo, $del \ lechuga romana x = 1 - {x^2 \ sobre 2!} + {x^4 \ sobre 4!} ¡- \ cdots \!$ ¡Asumir que la serie de energía es el $del {e^x \ sobre \ lechuga romana x} = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \ los cdots \!$ Entonces la multiplicación con el denominador y la substitución de la serie del $del de las producciones del coseno \ comienzan {alinear} el &= del e^x (c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \ los cdots) \ \ \ de lechuga romana x &= \ se fueron (c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4x^4 + \ cdots \) derecho \ a la izquierda (1 - {x^2 \ sobre 2!} + {x^4 \ sobre 4!} - \ cdots \) \ derecho \ &=c_0 - {c_0 \ sobre 2} x^2 + {c_0 \ sobre 4!}x^4 + c_1x - {c_1 \ sobre 2} x^3 + {c_1 \ sobre 4!}x^5 + c_2x^2 - {c_2 \ sobre 2} x^4 + {c_2 \ sobre 4!}x^6 + c_3x^3 - {c_3 \ sobre 2} x^5 + {c_3 \ sobre 4!}¡x^7 + \ cdots \ fin {alinear} \!$ La recogida de los términos hasta la cuarta orden rinde el $=c_0 + c_1x + \ a la izquierda (c_2 - {c_0 \ sobre 2} \ derecho) x^2 + \ a la izquierda (c_3 - {c_1 \ sobre 2} \ derecho) x^3+ \ se fue (c_4+ {c_0 \ sobre 4!}¡- {c_2 \ sobre 2} \ derecho) x^4 + \ cdots \!$ ¡Comparar coeficientes con la serie antedicha de la función exponencial rinde el $\ el frac deseados {e^x} del de la serie de Taylor {\ lechuga romana x} =1 + x + x^2 + {2x^3 \ sobre 3} + {x^4 \ sobre 2} + \ los cdots \!$ .
Serie de Taylor como definiciones
Clásico, las funciones antedichas son definidas por una cierta característica que se sostenga para ellas. Por ejemplo, la función exponencial se define como la función que es igual a su propio derivado. Sin embargo, en el análisis computable, las funciones se deben definir por algoritmos algo que características, así que las extensiones antedichas de Taylor se utilizan como definiciones primarias algo que resultados derivados. Esto es también probable ser el caso en las puestas en práctica del software de las funciones. Usar la serie de Taylor, uno puede definir funciones analíticas de matrices y de operadores, tales como matriz el logaritmo exponencial de la matriz de o.

Serie de Taylor para varias variables
La serie de Taylor se puede también generalizar a las funciones más que una variable con el $T del (x_1, \ cdots, x_d) = \ ^ del sum_ {n_1=0} {\ infin} \ los cdots \ el ^ del sum_ {n_d=0} {\ infin} \ frac {\ partial^ {n_1}} {\ x_1^ parcial {n_1}} \ cdots \ frac {\ partial^ {n_d}} {\ x_d^ parcial {n_d}} \ frac {f (a_1, \ cdots, a_d)}¡{n_1! \ n_d de los cdots!} ¡(x_1-a_1) ^ {n_1} \ cdots (x_d-a_d) ^ {} \! del n_d$ . Por ejemplo, para una función que dependa de dos variables, x y y, la serie de Taylor a la segunda orden sobre el punto ( un, b ) está: ¡ $f del (x, y) \! ¡$

${2!}¡\ f_ dejado {xx} (a, b) (XA) ^2 + 2f_ {xy} (a, b) (XA) (y-b) + f_ {yy} (a, b) (y-b) ^2 \ derecho \!$
Una extensión de serie second-order de Taylor de una función escalar-valorada más que una variable se puede compacto escribir como $T del (\ mathbf {x}) = f (\ mathbf {a}) + \ + \ frac {1} del ^T del nabla f (\ mathbf {a}) (\ - \ mathbf {a} del mathbf {x}) {2!} ¡(\ - \ mathbf {a} del mathbf {x}) ^T \ nabla^2 f (\ mathbf {a}) (\ - \ mathbf {a} del mathbf {x}) + \ cdots \!$
¡donde $\ nabla f (\) \! del mathbf {a}¡$ es gradiente y $\ nabla^2 f (\) \! del mathbf {a}$ es la matriz Hessian (no ser confundido con el Laplacian, que tiene a veces la misma notación). Aplicando la notación del Multi-índice la serie de Taylor para varias variables se convierte $T del$
l (\ mathbf {x}) = \

del sum_ Ver también
Teorema de Taylor
Serie de Lorenzo
Las funciones olomorfas son &mdash analítico de ; una prueba que una función olomorfa se puede expresar como serie de energía de Taylor
Interpolación de la diferencia dividida de Newton
Madhava de Sangamagrama (acreditado con el primer uso del " Taylor" series)
Motor de diferencia}

Zenithic

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Definición

Ejemplos

Convergencia

del \ del tfrac Historia

Características

Lista de serie de Taylor de algunas funciones comunes

Cálculo de la serie de Taylor

Primer ejemplo

Segundo ejemplo

Serie de Taylor como definiciones

Serie de Taylor para varias variables

del sum_ Ver también

del $\ del tfrac Historia$