Serie de alternancia - Enciclopedia España

En las matemáticas, una serie de alternancia del es una serie infinita de la forma $del l \ ^ del sum_ {n=0} \ (- ^n \, a_n infty,$ de 1)

con el ≥ 0 del a_n . Una suma finita de esta clase es una suma de alternancia . Un de la serie de alternancia converge si los términos a_n convergen a 0 monotónico . El error E introducido por el que aproxima a las series de alternancia con su suma parcial a los términos de n es dado por el |E|<|a_n+1|.

Una suficiente condición del para la serie a converger es que converge absolutamente . Pero esto es a menudo una condición demasiado fuerte a pedir: no es el necesario. Por ejemplo, la serie armónica $del l \ ^ del sum_ {n=0} \ infty \ frac {1} {n+1},$

diverge, mientras que la versión la alternancia $del l \ ^ del sum_ {n=0} \ infty \ frac {(- ^n} de 1) {n+1}$

converge al logaritmo natural de 2.

Una prueba más amplia para la convergencia de una serie de alternancia es '' prueba '' de Leibniz: si la secuencia $a_n$ es disminución monótona y tiende a cero, entonces la serie $del l \ ^ del sum_ {n=0} \ (- ^n infty de 1) \, a_n$

converge.

La suma parcial $s_n del l = \ ^k a_k$ del ^n del sum_ {k=0} (- 1)

puede ser utilizado para aproximar la suma de una serie de alternancia convergente. Si $a_n$ es disminución monótona y tiende a cero, entonces el error en esta aproximación está menos que el $a_ {n+1}$ . Esta última observación es la base de la prueba de Leibniz. De hecho, si la secuencia $a_n$ tiende a cero y es disminución monótona (por lo menos de cierto punto encendido), puede ser demostrado fácilmente que la secuencia de sumas parciales es una secuencia de Cauchy . $m presuntuosos,$

$\ comenzar {arsenal} {el rcl} \ el displaystyle \ se fue|\ ^k del ^m del sum_ {k=0} (- 1) \, a_k \, - \, \ ^n \, (- ^k de 1) \, a_k \ derecho del sum_ {k=0}|el &=& \ el displaystyle \ se fueron|\ ^n \, (- ^k de 1) \, a_k \ derecho del sum_ {k=m+1}|=a_ {m+1} - a_ {m+2} +a_ {m+3} - + \ cdots+a_n \ \ \ \ \ a_ del &=& del a_ {m+4} \ del displaystyle {m+1} - (a_ {m+2} - a_ {m+3}) - (a_ {m+4} - a_ {m+5}) - \ cdots-a_n$

(la secuencia que es disminución monótona garantiza ese $a_ {k} - a_ {k+1} >0$ ; observar que uno necesita formalmente considerar si $n$ sea uniforme o impar, pero éste no cambia la idea de la prueba)

Como el $a_ {m+1} \ rightarrow0$ cuando el $m \ el rightarrow \ infty$ , la secuencia de sumas parciales es Cauchy, y así que la serie es convergente. Puesto que la estimación arriba no depende de $n$ , también demuestra eso

el $\ se fue|\ ^ del sum_ {k=0} \ (- ^k infty de 1) \, a_k \, - \, \ ^m \, (- ^k de 1) \, a_k \ derecho del sum_ {k=0}|$

Las series de alternancia convergentes que no convergen absolutamente son ejemplos de las series convergentes condicionales . Particularmente, el teorema de la serie de Riemann se aplica a sus cambios.

Ver también

Nörlund-Arroz integral

Zenithic

Staffan Kronwall

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