Sistema - Enciclopedia España

el del este artículo da una introducción básica a lo que " de la llamada de los matemáticos ; " intuitivo ; o " naive" fijar la teoría ; para una más descripción detallada ver la teoría determinada ingenua . Para un tratamiento axiomático moderno riguroso de sistemas, ver la teoría determinada axiomática .

En las matemáticas, un determinado puede ser pensado en mientras que cualquier colección de objetos distintos consideraba en conjunto. Aunque ésta aparezca ser una idea simple, los sistemas son uno de los conceptos más fundamentales de las matemáticas modernas . El estudio de la estructura de sistemas posibles, teoría determinada, está rico y en curso. Solamente siendo inventado en el final del siglo XIX, fijar la teoría ahora es una parte ubicua de la educación de las matemáticas, siendo introducido de la escuela primaria en muchos países. Fijar la teoría puede ser visto como la fundación sobre la cual casi todas las matemáticas pueden ser derivadas.

Definición

Al principio de su der de Begründung del zur de Beiträge del transfiniten Mengenlehre, chantre, el creador principal de Jorge de la teoría determinada, dio la definición siguiente de un sistema: Por un " set" significamos cualquier M de la colección en un conjunto del definido, distinto m (que de los objetos se llamen el " elements" del M ) de nuestra opinión o de nuestro pensamiento.

Los elementos de un sistema, también llamados sus miembros del, pueden ser cualquier cosa: los números, gente, letras del alfabeto, otro fijan, y así sucesivamente. Los sistemas se denotan convencionalmente con las mayúsculas . La declaración que fija el A y el B es igual significa que tienen exacto los mismos miembros (es decir, cada miembro del A es también un miembro del B y viceversa).

Desemejante de un conjunto múltiple, cada elemento de un sistema debe ser único; ningunos dos miembros pueden ser idénticos. Todas las operaciones determinadas preservan la característica que cada elemento del sistema es único. La orden en la cual los elementos de un sistema son mencionados es inaplicable, desemejante de una secuencia o del Tuple .

Descripción de sistemas

Hay dos maneras de descripción, o de especificar a los miembros de, un sistema. Una forma está por la definición intensional, usar una regla o una descripción semántica . Ver este ejemplo: el A del

l es el sistema cuyos miembros son los primeros cuatro números enteros positivos que el B del
de es el sistema de los colores de la bandera francesa .

La segunda manera está por la extensión, es decir, enumerando a cada miembro del sistema. Una definición Extensional notated incluyendo la lista de miembros en los apoyos C del

l = {4, 2, 1, 3} D del
= {azul, blanco, rojo}

La orden en la cual los elementos de un sistema se enumeran en una definición extensional es inaplicable, al igual que cualquier repetición en la lista. Por ejemplo, {6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11} ser equivalente, porque la especificación extensional significa simplemente que cada uno de los elementos enumerados es un miembro del sistema.

Para los sistemas con muchos elementos, la enumeración de miembros puede ser abreviada. Por ejemplo, el sistema de los primeros mil números enteros positivos se puede especificar extensionally como:

l {1, 2, 3,…, 1000},

donde los puntos de suspensión (" … ") indica que la lista continúa de la manera obvia. Las elipses pueden también ser utilizadas donde los sistemas tienen infinitamente muchos miembros. Así el sistema de los números pares positivo puede ser escrito como {2, 4, 6, 8,…}.

La notación con los apoyos se puede también utilizar en una especificación intensional de un sistema. En este uso, los apoyos tienen el " del significado; el sistema de todos… " Tan el E = {los juegos de la jugar-tarjeta} es el sistema cuyos cuatro miembros son ♠, ♦, ♥, y ♣. Una forma más general de esto es la notación del Fijar-constructor, a través de la cual, por ejemplo, del F del sistema de los veinte números enteros más pequeños que son cuatro menos que los cuadrados perfectos puede ser denotado: F del

l = {&ndash de $n^2$ ; 4: el n de es un número entero; y 0 ≤ 19} del n del ≤

En esta notación, los dos puntos (": ") significa el " tal that", y la descripción se puede interpretar como " El F es el sistema de todos los números del &ndash de la forma $n^2$ ; 4, tales que el n es un número entero en la gama a partir de la 0 a 19 inclusive." A veces la barra vertical (" |") se utiliza en vez de los dos puntos.

Uno tiene a menudo la opción de especificar un sistema intensionally o extensionally. En los ejemplos arriba, por ejemplo, el A = C y B = D .

Calidad de miembro

considera también:

l elemento (matemáticas) Si algo es o no es un elemento de un sistema particular entonces esto es simbolizada por el $\ in$ y el $\ notin$ respectivamente. Así pues, con respecto a los sistemas definidos arriba:
* $4 del \ en A$ y $285 \ en F$ (desde &minus 285 = 17 ²; 4); pero
* $9 \ notin F$ y $\ mathrm {} \ notin B$ del verde.

Cardinalidad

considera también:

la cardinalidad

La cardinalidad | S | de un S del sistema es " el número de miembros del S . " Por ejemplo, puesto que la bandera francesa tiene tres colores, | B | = 3.

Hay un sistema sin miembros y la cardinalidad cero, que se llama el sistema vacío (o el sistema nulo del ) y es denotada por el ø del símbolo. Por ejemplo, el A del sistema de todos los cuadrados triláteros tiene los miembros cero (| A | = 0), y así A = ø. Aunque, como el número cero, puede parecer trivial, el sistema vacío es absolutamente importante en matemáticas. La existencia de este sistema es uno de los conceptos fundamentales de la teoría determinada axiomática .

Algunos sistemas tienen cardinalidad infinita . El N del sistema de los números naturales por ejemplo, es infinito. Algunos cardinalities infinitos son mayores que otros. Por ejemplo, el sistema de los números verdaderos tiene mayor cardinalidad que el sistema de números naturales. Sin embargo, puede ser demostrado que la cardinalidad (cuál debe decir, el número de puntos encendido) de una línea recta es igual que la cardinalidad de cualquier segmento de esa línea, de un plano entero, y de hecho de cualquier espacio euclidiano .

Subconjuntos

considera también:

l subconjunto Si cada miembro del A del sistema es también un miembro del B del sistema, después el A reputa un subconjunto B, escrito el $A \ el subseteq B$ (el también pronunciado A se contiene en B ). Equivalente, podemos escribir el $B \ el supseteq A$ , leídos como el B es un sobreconjunto de A, el B incluimos A, o el B contiene A . La relación entre los sistemas establecidos por el $\ subseteq$ se llama la inclusión del o la contención del .

Si el A es un subconjunto de, pero no igual a, el B, después el A se llama un subconjunto apropiado B, escrito el $A \ el subsetneq B$ (el A es un subconjunto apropiado de B ) o el $B \ el supsetneq A$ (el B es sobreconjunto apropiado de A ).

Observar que el $A de las expresiones \ el subconjunto B$ y $A \ el supset B$ son utilizados diferentemente por diversos autores; algunos autores los utilizan para significar al iguales que el $A \ el subseteq B$ (respectivamente $A \ supseteq B$ ), mientras que el otro uso ellos de significar iguales que el $A \ el subsetneq B$ (respectivamente $A \ supsetneq B$ ).

style=" del

es un subconjunto del B

Ejemplo: el sistema del *The del de todos los hombres es un subconjunto apropiado del sistema de toda la gente.3 \} \ subsetneq \ {1.4 \}
* $\ {1, 2, 3, 4 \} \ subseteq \ {1.4 \}$

El sistema vacío es un subconjunto de cada sistema y cada sistema es un subconjunto de sí mismo: * $\ subseteq A$

Sistema de la energía

considera también:

terminado de la energía El sistema de la energía de un S del sistema se puede definir como el sistema de todos los subconjuntos del S . Esto incluye los subconjuntos formados de los miembros del S y del sistema vacío. Si un finito S del sistema tiene n de la cardinalidad entonces la energía fijada del S tiene n de la cardinalidad 2^{. Si el S es un infinito (el contable o el no numerable) fijó entonces el sistema de la energía del S es siempre no numerable. El sistema de la energía se puede escribir como 2^S.}

Como ejemplo, la energía 2^{determinado {1, 2, 3}} de {1, 2, 3} es igual al sistema. La cardinalidad del sistema original es 3, y el del sistema de la energía es ocho, que es igual a dos al tercero. Esta relación es una de las razones de la energía determinado del de la terminología. Semejantemente, su notación es un ejemplo de una convención general que proporciona las notaciones para los sistemas basados en sus cardinalities.

Sistemas especiales

Hay algunos sistemas que llevan a cabo gran importancia matemática y se refiere con tal regularidad que han adquirido a nombres especiales y a convenciones de escritura para identificarlas. Uno de éstos es el sistema vacío. Muchos de estos sistemas se representan usar tipografía en negrilla de la pizarra . Los sistemas de números especiales incluyen:
el

\ el mathbb {P}

, denotando el sistema de todo el prepara .

\ mathbb {N}

, denotando el sistema de todos los números naturales es decir,

\ mathbb {N}

= {1, 2, 3,…}, o a veces

\ mathbb {N}

= {0, 1, 2, 3,…}.

\ mathbb {Z}

, denotando el sistema de todos los números enteros (si es positivo, negativo o cero). Tan

\ mathbb {Z}

= {…, -2, -1, 0, 1, 2,…}.

\ mathbb {Q}

, denotando el sistema de todos los números racionales (es decir, el sistema de todo el fracciones incorrectas apropiadas de y. Así pues,

\ mathbb {Q} = \ se fue \ {\ comienzan {matriz} \ frac {a} {} \ extremo {matriz} de b: a, b \ en \ mathbb {Z}, b \ neq 0 \ derecho \}

. Por ejemplo,

\ comienzan {matriz} \ frac {1} {4} \ fin {matriz} \ en \ mathbb {Q}

\ comienzan {matriz} \ frac {11} {6} \ fin {} \ en \ mathbb {Q}

de la matriz. Todo el número entero son en este sistema puesto que cada número entero puede estar expresado como fracción

\ comienzan {matriz} \ frac {a} {1} \ extremo {matriz}

.
el

\ el mathbb {R}

, denotando el sistema de todo el verdadero este sistema de los números incluye todos los números racionales, junto con todo el irracional numera (es decir, los números que no se pueden reescribir como fracciones, tales como

\ pi, e de,

y √2).

\ mathbb {C}

, denotando el sistema de todos los números complejos

Cada uno de este sistema de número tiene infinito número de elemento, y $\ mathbb {P} \ subconjunto \ mathbb {N} \ subconjunto \ mathbb {Z} \ subconjunto \ mathbb {Q} \ subconjunto \ mathbb {} \ subconjunto \ mathbb {C}$ de R. Prepara se utilizan menos con frecuencia que el otros fuera de la teoría de número y de campos relacionados.

Operaciones básicas

Uniones

considera también:

la unión (teoría determinada) Hay maneras de construir nuevos sistemas los existencias. Dos sistemas pueden ser " added" junto. La unión A y del B, denotada por el del A ; U El B, es el sistema de todas las cosas que sean miembros del A o del B . style=" del

la unión del A y del B

Ejemplos: * {1, 2} U {rojo, blancos} = {1, 2, rojo, blancos}
* {1, 2, verde} U {rojo, blanco, verde} = {1, 2, rojo, blanco, verde}
* {1, 2} U {1, 2} = {1, 2}

Algunas características básicas de uniones son: * del A ; U del B ; = del B ; U

DEL A * &NBSP DEL A ; ⊆ del A ; U

DEL B * &NBSP DEL A ; U del A ; =

DEL A * &NBSP DEL A ; U ø =

DEL A * &NBSP DEL A ; ⊆ B si y solamente si del A de ; U del B ; = B

Intersecciones

considera también:

la intersección (teoría determinada) Un nuevo sistema puede también ser construido determinando qué miembros tienen dos sistemas " en common". La intersección A y del B, denotada por el del A ; ∩ El B, es el sistema de todas las cosas que sean miembros del A y del B . Si del A ; ∩ del B ; = el ø, entonces A y B reputa el desune . style=" del

The del A y del B

Ejemplos: * {1, 2} ∩ {rojo, blancos} =
del ø * {1, 2, verde} ∩ {rojo, blanco, verde} =
{verde} * {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}

Algunas características básicas de intersecciones: * del A ; ∩ del B ; = del B ; ∩

Definición

Descripción de sistemas

Calidad de miembro

Cardinalidad

Subconjuntos

Sistema de la energía

Sistemas especiales

Operaciones básicas

Uniones

Intersecciones

Complementos

Producto de cartesiano

Usos

Teoría determinada axiomática

Ver también