En las matemáticas, un sistema Diophantine del j - los tuples de los números enteros son un determinado S para el cual hay un cierto polinómico con coeficientes del número entero f ( n ₁,…, j del _{del n, x 1,…, k} del _{del x ) del}

l

tales que un tuple

l ( n ₁,…, j del _{del n )}

de números enteros está en el S si y solamente si existen algunos números enteros (no negativos) x ₁ del

l ,…, k del _{del x con f ( n 1,…, j} del _{del n, x 1,…, k} del

l del _{del x ) = 0.}

Una ecuación tan polinómica sobre los números enteros se llama una ecuación Diophantine . Es decir un sistema Diophantine es un sistema de la forma $del$

l \ {\, (n_1, \ puntos, n_j): \ existe x_1 \, \ los puntos \, \ existe el x_k \, f (n_1, \ puntea, n_j, x_1, \ puntea, x_k) =0 \, \}

donde está una función el f polinómica con coeficientes del número entero.

El teorema de Matiyasevich, publicado en 1970, indica que un sistema de números enteros es Diophantine si y solamente si es el recurrentemente enumerable. Un S del sistema es recurrentemente enumerable exacto si hay un algoritmo que, cuando están dados un número entero, eventual los altos si es esa entrada un miembro del S y funcionan con de otra manera por siempre. Esto significa que el concepto de sistema Diophantine general, perteneciendo al parecer a la teoría de número, se puede tomar algo en términos lógicos o repetición-teóricos. Esto está lejos de obvio, sin embargo, y representó la culminación de algunas décadas de trabajo.

El teorema de Matiyasevich colocó con eficacia problema de Hilbert el décimo. Implica que el décimo problema de Hilbert es insoluble. Este problema es el desafío para encontrar un algoritmo general que pueda decidir a si un sistema dado de ecuaciones Diophantine tiene una solución entre los números enteros. El David Hilbert planteó el problema en su lista celebrada, de su dirección 1900 al congreso internacional de los matemáticos .

Ejemplos

$x^2-d\; (y+1)^2=1$ del

es un ejemplo de una ecuación Diophantine con un parámetro. Como se ha sabido de largo, la ecuación tiene una solución en el $x\; los\; desconocido,\; y$ exacto cuando el parámetro $d$ es 0 o no un cuadrado perfecto . En el actual contexto, uno dice que esta ecuación proporciona una definición Diophantine sistema

l {0.10,…}

consistiendo en 0 y los números naturales que que no es cuadrados perfectos. Otros ejemplos de definiciones Diophantine son como sigue:

el $a\; de\; la\; ecuación\; =\; (2x+3)\; y$ define el sistema de los números que no son energías de 2.

el $a=\; de\; la\; ecuación\; (x+2)\; (y+2)$ define el sistema de los números que no son los números primeros

la ecuación $a+x=b$ define el sistema del $de\; lospares(a\; \backslash ,\; \backslash ,\; b)$ tales que $a\; \backslash \; le\; b.\; \backslash ,$

Teorema de Matiyasevich

El teorema de Matiyasevich dice: el

l cada sistema enumerable es recurrentemente Diophantine.

Un S del sistema de números enteros es el recurrentemente enumerable si hay un algoritmo que se comporta como sigue: Cuando está dado como entrada un n del número entero, si el n es un miembro del S, después el algoritmo para eventual; si no funciona por siempre. Eso es equivalente a decir allí es un algoritmo que funciona por siempre y enumera a miembros del S . Un S del sistema es el Diophantine exacto si hay un cierto polinómico con el f ( n, x ₁,…, k de los coeficientes del número entero del _{del x ) tales que un n del número entero está en el S si y solamente si existen algunos números enteros x 1,…, k} del _{del x tales que f ( n, x 1,…, k} del _{del x ) = 0.}

No es duro ver que cada sistema Diophantine es recurrentemente enumerable: considerar un Diophantine f ( n, x ₁,…, k de la ecuación del _{del x ) = 0. Ahora hacemos un algoritmo para el cual intente simplemente todos los valores posibles n, x 1,…, k} del _{del x, en la orden cada vez mayor de la suma de sus valores absolutos, y f ( n, x 1,…, k} del n de las impresiones cada vez del _{del x ) = 0. Este algoritmo funcionará obviamente por siempre y enumerará exactamente el n para qué f ( n, x 1,…, k} del _{del x ) = 0 tiene una solución en el x 1,…, k} del _{del x .}

Técnica de la prueba

El Yuri Matiyasevich utilizó un truco ingenioso que implicaba los números de Fibonacci para demostrar que las soluciones a las ecuaciones Diophantine pueden crecer exponencial . El trabajo anterior por el Julia Robinson, el Martin Davis y el Hilary Putnam había demostrado que éste es suficiente demostrar que cada sistema enumerable es recurrentemente Diophantine.

Uso al décimo problema de Hilbert

considera también:

l problema de Hilbert décimo El décimo problema de Hilbert pide un algoritmo general que decide a la solubilidad de ecuaciones Diophantine. La conjunción del teorema de Matiyasevich con un resultado descubierto en los años 30 implica que una solución al décimo problema de Hilbert es imposible. El resultado descubierto en los años 30 por varios lógicos puede ser indicado diciendo que algunos sistemas recurrentemente enumerable son no recurrentes. En este contexto, un S del sistema de números enteros se llama " recursive" si hay un algoritmo de el cual, cuando está dado como entrada un n del número entero, vuelve como salida un correcto sí-o-ninguna respuesta a la cuestión si el n es un miembro del S . Sigue que hay las ecuaciones Diophantine que no se pueden solucionar por ningún algoritmo.

Estructura lógica

Aquí una discusión que toma exactamente la forma de un Syllogism aristotélico está de interés:

l (premisa importante): Algunos sistemas recurrentemente enumerable son no recurrentes.
(premisa de menor importancia): Todos los sistemas recurrentemente enumerable son Diophantine.
(conclusión): Por lo tanto algunos sistemas Diophantine son no recurrentes.

La conclusión exige que el 10mo problema de Hilbert no pueda ser solucionado. La parte más difícil de la discusión es la prueba de la premisa de menor importancia, es decir el teorema de Matiyasevich, que sí mismo es mucho más fuerte que la insolubilidad del décimo problema.

Refinamientos

El trabajo posterior ha demostrado que la cuestión de la solubilidad de una ecuación Diophantine es undecidable incluso si la ecuación tiene solamente 9 variables del número natural (Matiyasevich, 1977) o 11 variables de número entero ( Zhi Wei Sun, 1992).

Otros usos

El teorema de Matiyasevich se ha utilizado desde entonces para probar que muchos problemas del cálculo y de las ecuaciones diferenciales son insolubles.

Uno puede también derivar la forma más fuerte siguiente teorema del estado incompleto de Gödel del primer del resultado de Matiyasevich: el del que corresponde a cualquier axiomatización dada de la teoría de número, una puede construir explícitamente una ecuación Diophantine que no tenga ninguna solución, solamente tal que este hecho no se puede probar dentro de la axiomatización dada.

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