En las matemáticas, un sistema axiomático es cualquier determinado de los axiomas de los cuales algunos o todos los axiomas se pueden utilizar en la conjunción para derivar lógicamente el de los teoremas A que la teoría matemática consiste en un sistema axiomático y todos sus teoremas derivados. Un sistema axiomático que se describe totalmente es una clase especial del sistema formal ; generalmente aunque el esfuerzo hacia la formalización completa trae vueltas de disminución en certeza, y una carencia de la legibilidad para los seres humanos. Por lo tanto la discusión de sistemas axiomáticos es normalmente solamente semi-formal. Una teoría formal significa típicamente un sistema axiomático, por ejemplo formulado dentro de la teoría modelo . Una prueba formal es una interpretación completa de una prueba matemática dentro de un sistema formal.
Características
Un sistema axiomático reputa el constante si carece la contradicción, es decir la capacidad de derivar una declaración y su negación de los axiomas del sistema.
En un sistema axiomático, un axioma se llama la independiente si no es un teorema que se puede derivar de otros axiomas en el sistema. Un sistema será llamado independiente si cada uno de sus axiomas subyacentes es independiente.
Aunque la independencia no sea un requisito necesario para un sistema, la consistencia es. Un sistema axiomático será llamado el completo si para cada declaración, o sí mismo o su negación es derivable. Esto es muy difícil de alcanzar, sin embargo, y como se muestra por los trabajos combinados Kurt Gödel y Paul Cohen, imposibles para los sistemas axiomáticos que implican sistemas infinitos. Así pues, junto con consistencia, la consistencia relativa es también la marca de un sistema de mérito del axioma. Éste es cuando los términos indefinidos de un primer sistema del axioma son definiciones proporcionadas a partir de un segundo tales que los axiomas del primeros son teoremas del segundo.
Un buen ejemplo es la consistencia relativa de la geometría neutral o de la geometría absoluta con respecto a la teoría del sistema de numeración verdadera. Las líneas y los puntos son términos indefinidos en geometría absoluta, pero significados asignados en la teoría de números verdaderos de una manera que sea constante con ambos sistemas del axioma.
Modelos
Un modelo del para un sistema axiomático es un bien definido determinado, que asigna el significado para los términos indefinidos presentados en el sistema, de una forma que está correcto con las relaciones definidas en el sistema. La existencia de un modelo concreto * prueba la consistencia de un sistema.
Los modelos se pueden también utilizar para demostrar la independencia de un axioma en el sistema. Construyendo un modelo válido para un subsistema sin un axioma específico, demostramos que el axioma omitido es independiente si su corrección no sigue necesario del subsistema.
Dos modelos reputan el isomorfo si una correspondencia una por se puede encontrar entre sus elementos, de una forma ese preservan su relación. Un sistema axiomático para el cual cada modelo es isomorfo a otro se llama el categorial (a veces categórico), y la característica del categoriality (categoricity) asegura lo completo de un sistema.
El modelo del * A se llama el concreto si los significados asignados son objetos y relaciones del mundo real, en comparación con un modelo abstracto que se base en el otro systems. axiomático
El primer sistema axiomático era la geometría euclidiana .
Método axiomático
El método axiomático implica el substituir de un cuerpo coherente de los asuntos (es decir una teoría matemática) por una colección más simple de asuntos (es decir axiomas). Se diseñan los axiomas para poder deducir el cuerpo original de asuntos de los axiomas.
El método axiomático, traído al extremo, da lugar al Logicism . En su Principia Mathematica del libro, el Alfred Whitehead del norte y el Bertrand Russell intentó demostrar que toda la teoría matemática se podría reducir a una cierta colección de axiomas. Más generalmente, la reducción de un cuerpo de asuntos a una colección particular de axiomas desmiente el programa de investigación del matemático. Esto era muy prominente en las matemáticas del vigésimo siglo, particularmente en los temas basados alrededor de la álgebra Homological .
La explicación de los axiomas particulares usados en una teoría puede ayudar a aclarar un nivel de abstracción conveniente con el cual el matemático quisiera trabajar. Por ejemplo, los matemáticos optaron que los anillos no necesitan ser el comutativo, que diferenció formulación de la original de s de Noether premio Emmy de '. Las matemáticas decidían a considerar el los espacios topológicos más generalmente sin el axioma de separación que el Felix Hausdorff formuló original.
Los axiomas, el resultado de Zermelo-Franekel del método axiomático aplicado a la teoría determinada, no prohibido la formulación apropiada de los problemas de la teoría determinada y ayudado evitado las paradojas de la teoría determinada del naïve. Un tal problema era la hipótesis de la serie continua.
Historia
El expediente más temprano que tenemos de tal práctica data Euclid (circa el 300 A. ) en su tentativa de axiomatize la geometría euclidiana y la teoría de número elemental . Encima hasta del principio del siglo XIX fue asumido generalmente, en las matemáticas y la filosofía europeas (por ejemplo en trabajo de s de Spinoza ') que la herencia de las matemáticas griegas representó la mayor nivel del final intelectual ( del desarrollo más geometrico, en el estilo de los geómetras). Como tal, el matemático moderno discute a menudo el método axiomático como si fuera un acercamiento unitario.
Este acercamiento tradicional, en el cual los axiomas fueron supuestos para ser el y tan incuestionable evidentes en sí, fue barrido durante el curso del siglo XIX, por el desarrollo de la geometría No-Euclidiana, las fundaciones teoría determinada verdadera del análisis, de s del chantre de la 'y uso de 's “de Frege 'trabajo de s sobre fundaciones, y Hilbert nuevo” del método axiomático como herramienta de la investigación. Por ejemplo, la teoría de grupo era primera puesta una base axiomática hacia el final de ese siglo. Una vez que los axiomas fueron aclarados (los elementos inversos de ese se deben requerir, por ejemplo), el tema podría proceder autónomo, sin referencia a los orígenes del grupo de la transformación de esos estudios.
Si uno fuera mirar matemáticas no occidentales, una observaría que las matemáticas se convirtieron a una cierta sofisticación en las civilizaciones antiguas en Cercano Oriente, la India y China sin el empleo del método axiomático. Aunque muchas disciplinas en las matemáticas modernas, notablemente álgebra abstracta y topología, se conciban en el marco del método axiomático, el prosperar de las matemáticas antiguas proporciona una epistemología alterna viable hacia la práctica de las matemáticas.
Ediciones
No cada cuerpo constante de asuntos se puede capturar por una colección descriptible de axiomas. Llamar una colección recurrente de los axiomas si un programa de computadora puede reconocer si un asunto dado en la lengua es un axioma. Teorema del estado incompleto de Gödel el primer entonces nos dice que hay ciertos cuerpos constantes de asuntos sin la axiomatización recurrente. Si la computadora no puede reconocer los axiomas, la computadora también no podrá reconocer si una prueba es válida. El resultado es que uno no sabrá que qué asuntos son los teoremas y el método axiomático analiza. Un ejemplo de tal cuerpo de asuntos es la teoría de los números naturales que los axiomas de Peano (descritos más abajo) axiomatize así solamente parcialmente esta teoría.
En la práctica, no cada prueba se rastrea a los axiomas. Ocasionalmente, no está claro a el cual la colección de axiomas hace una súplica de la prueba. Por ejemplo, una declaración número-teórica pudo ser expresable en la lengua de la aritmética (es decir la lengua de los axiomas de Peano) y una prueba se pudo dar que las súplicas a la topología o al análisis complejo . Puede ser que no esté inmediatamente claro si otra prueba puede ser encontrada que se deriva solamente de los axiomas de Peano.
Cualesquiera más-o-menos el sistema de axiomas arbitrariamente elegido es la base de una cierta teoría matemática, pero un sistema axiomático tan arbitrario no estará necesario libre de contradicciones, e incluso si es, no es probable verter la luz en cualquier cosa. Los filósofos de las matemáticas afirman a veces que los matemáticos eligen el " de los axiomas; arbitrarily", solamente la verdad es que aunque puedan aparecer arbitraria cuando estén vista solamente desde el punto de vista de los canones de la lógica deductiva, que es simplemente una limitación en los propósitos que la lógica deductiva sirve.
Ejemplo: La axiomatización de números naturales
El sistema matemático de los números naturales 0, 1, 2, 3, 4,… se basa en un sistema axiomático que era primer anotado por el Peano del matemático en el 1901 . Él eligió los axiomas (véase los axiomas de Peano), en la lengua de un solo singular S del símbolo de la función (corto para el " successor"), para el sistema de números naturales a ser: allí es un número natural 0.
Cada del número natural un tiene un sucesor, denotado por Sa .
No hay número natural cuyo sucesor es 0.
Los números naturales distintos tienen sucesores distintos: si un b, entonces Sb del ≠ de ≠ Sa .
Si una característica es poseída por 0 y también por el sucesor de cada número natural que se posee cerca, después es poseído por todos los números naturales.
Fuera de matemáticas
En las matemáticas, la axiomatización es la formulación de un sistema de declaraciones (es decir los axiomas que relacionan un número de términos primitivos para que un cuerpo constante de los asuntos pueda ser el derivado deductivo de estas declaraciones. Después de eso, la prueba de cualquier asunto debe ser, en principio, detectable de nuevo a estos axiomas.
Ver también
sistema de la deducción del Hilbert-estilo
Teorema del estado incompleto de Gödel
Logicism
Repetición
Teoría de sistemas
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