En las matemáticas, el sistema coordinado esférico es un sistema coordinado para representar figuras geométricas en tres dimensiones usar tres coordenadas: la distancia radial de un punto de un origen fijo, del ángulo del zenit del z-axis positivo, y del ángulo del acimut del x-axis positivo.

Notación

Varias diversas convenciones existen para representar los tres coordenadas. En matemáticas (del americano), los componentes notated típicamente como (el ρ del, el φ del, el θ del ) para la distancia radial, el zenit, y el acimut, respectivamente. En la física, la notación para el zenit y el acimut se invierten como el θ del se utiliza para denotar el ángulo del zenit y el φ del se utiliza para denotar el ángulo azimutal, de acuerdo con la organización de estándares internacionales (ISO 31-11 ). Otra complicación es que algunos textos de las matemáticas enumeran el acimut antes del zenit, pero esta convención es zurda y debe ser evitada. El " math" la convención tiene la ventaja de ser la más compatible en el significado del θ del con la notación tradicional para el sistema coordinado polar de dos dimensiones y el sistema coordinado cilíndrico tridimensional, mientras que el " physics" la convención tiene aceptación más amplia geográficamente. Algunos usuarios del " physics" la convención también utiliza el φ del para que los coordenadas polares eviten el primer problema. La otra notación utiliza el r para la distancia radial. La convención de la notación del autor de cualquier trabajo referente a coordenadas esféricos debe ser comprobada siempre antes de usar las fórmulas y las ecuaciones de ese autor. Este artículo utiliza el " mathematical" convención.

Definición

Se definen los tres coordenadas (ρ del, φ del, θ del ) como:
el ≥ 0 del ρ del es la distancia del origen a un dado P del punto.
0 π del ≤ del φ ≤ son el ángulo entre el z-axis positivo y la línea formados entre el origen y el P .
0 θ del del ≤ < 2π son el ángulo entre el x-axis positivo y la línea del origen del P proyectado sobre el xy-plano.

el θ del se refiere como el acimut, mientras que el φ del se refiere como el zenit, el colatitude o el ángulo polar.

el θ del y el φ del pierden la significación cuando el ρ del = 0 y el θ del pierde la significación cuando pecado (φ ) = 0 del (en el φ del = 0 y φ del = 180°).

Para trazar un punto de sus coordenadas esféricos, ir las unidades del ρ origen a lo largo del z-axis positivo, girar el φ del sobre el y-axis en la dirección del x-axis positivo y girar el θ del sobre el z-axis en la dirección del y-axis positivo.

Conversiones del sistema coordinado

Pues el sistema coordinado esférico es solamente uno de muchos sistemas coordinados tridimensionales, existen las ecuaciones para convertir coordenadas entre el sistema coordinado esférico y otros.

Sistema coordinado de cartesiano

considera también:

l sistema coordinado de cartesiano Los tres coordenadas esféricos se obtienen de los coordenadas cartesianos cerca: $del$
= \ raíz cuadrada {x^2 + y^2 + z^2} del $del\; \{\backslash \; rho\}\; \{\backslash \; phi\}\; =\; \backslash \; arctan\; \backslash \; ido\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{x^2\; +\; y^2\}\}\; \{z\}\; \backslash \; derecho)\; =\; \backslash \; arccos\; \backslash \; dejados\; (\{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{x^2\; +\; y^2\; +\; z^2\}\}\}\; \backslash )$ correcto\; del$$
de {\ theta} = \ arctan \ dejado ({\ frac {y} {x}} \ derecho) Observar que el arctangent se debe definir convenientemente para tomar cuenta del cuadrante correcto de $y/x$. El Atan2 o la función equivalente logra esto para los propósitos de cómputo.

Inversamente, los coordenadas cartesianos se pueden recuperar de coordenadas esféricos cerca: = \ rho del $del\; \{x\}\; \backslash ,\; \backslash \; pecado\; \backslash \; phi\; \backslash ,\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; theta\; \backslash \; =\; \backslash \; rho\; del$ patio$\{y\}\; \backslash ,\; \backslash \; pecado\; \backslash \; phi\; \backslash ,\; \backslash \; pecado\; \backslash \; theta\; \backslash \; =\; \backslash \; rho\; del$ patio$\{z\}\; \backslash ,\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; phi\; \backslash \; patio$

Sistema coordinado geográfico

considera también:

geográfico del sistema coordinado El sistema coordinado geográfico es una versión alterna del sistema coordinado esférico, usada sobre todo en la geografía sin embargo también en usos de la física de las matemáticas y. En la geografía, el ρ del se cae o se substituye generalmente por un valor que representa la elevación o la altitud.

Latitud $\{\backslash \}\; \backslash ,\; del\; delta$ es el complemento del zenit o del colatitude, y se puede convertir cerca:

$\{\backslash \; delta\}\; =90^\; \backslash \; circ\; -\; \backslash \; phi$, o $del$
{\ phi} - \ delta, de =90^ \ del circ aunque la latitud es representada típicamente por el φ también. Esto representa un ángulo del zenit que origina del xy-plano con un ≤ el 90° del φ ≤ del dominio -90°. La longitud se mide los grados este u oeste de 0°, así que su dominio es el ≤ 180° del θ ≤ de -180°.

Sistema coordinado cilíndrico

considera también:

cilíndrico del sistema coordinado El sistema coordinado cilíndrico es una protuberancia tridimensional del sistema coordinado polar, con un coordenada del h para describir la altura de un punto sobre o debajo del xy-plano. El tuple coordinado completo es (el r, el θ del, el h ).

Los coordenadas cilíndricos se pueden convertir en coordenadas esféricos cerca: $del$
= \ raíz cuadrada {r^2+h^2} del $del\; \{\backslash \; rho\}\; \{\backslash \; phi\}\; =\; \backslash \; =\; arctan\; \backslash \; del\; frac\; \backslash \; theta\; \backslash \; quad$ {r} {h} $\{\backslash \; theta\}$

Los coordenadas esféricos se pueden convertir en coordenadas cilíndricos cerca: = \ rho \ pecado \ phi \, $del$
de \ = \ theta \, = \ rho \ lechuga romana \ phi del $del\; r\; del$ del$$
de h \, de la theta

Usos

El sistema coordinado geográfico aplica los dos ángulos del sistema coordinado esférico a las localizaciones expresas en la tierra, llamándolas la latitud y la longitud . Apenas pues el sistema coordinado de dos dimensiones de cartesiano es útil en el plano, un sistema coordinado esférico de dos dimensiones es útil en la superficie de una esfera. En este sistema, la esfera se toma como esfera de unidad, así que el radio es unidad y puede ser no hecho caso generalmente. Esta simplificación puede también ser muy útil al ocuparse de los objetos tales como matrices rotatorias .

Los coordenadas esféricos son útiles en analizar los sistemas que son simétricos alrededor de un punto; una esfera que tiene el cartesiano x de la ecuación ² + el y ² + el z ² = el c ² tiene el ρ del de la ecuación muy simple = el c en coordenadas esféricos. Un ejemplo consiste en solucionar un triple integral con una esfera como su dominio.

El elemento superficial es dS= \ rho^2 \ pecado \ phi del $\backslash \; del\; mathrm\; del\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; d\; \backslash \; phi\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; d\; \backslash \; theta$

El elemento de volumen es dV= \ rho^2 \ pecado \ phi del $\backslash \; del\; mathrm\; del\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; d\; \backslash \; rho\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; d\; \backslash \; phi\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; d\; \backslash \; theta$

Los coordenadas esféricos son los coordenadas naturales para describir y analizar situaciones físicas donde hay simetría esférica, tal como el campo de la energía potencial que rodea una esfera (o el punto) con la masa o la carga. Dos ecuaciones diferenciales parciales importante, la ecuación de Laplace y la ecuación de Helmholtz, permiten una separación de las variables en coordenadas esféricos. Las porciones angulares de las soluciones a tales ecuaciones toman la forma de los armónicos esféricos .

Otro uso es diseño ergonómico, donde está la longitud el $\{\backslash \; rho\}$ del brazo de una persona inmóvil y los ángulos describen la dirección del brazo mientras que alcanza hacia fuera.

El concepto de coordenadas esféricos se puede ampliar a espacios dimensionales más altos y después se refiere como coordenadas hiperesféricos .

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