¡la representación -- No quitarla por favor --> El Mandelbrot determinado es un sistema de los puntos en el plano complejo que forma un fractal . Matemáticamente, el sistema de Mandelbrot se puede definir como el sistema del complejo c - los valores para los cuales la órbita de 0 bajo iteración del complejo x del polinomio cuadrático ² + el c sigue limitada. c = 1 da la secuencia 0, 1, 2, 5, 26… que tienda al infinito. Pues esta secuencia es ilimitada, 1 no es un elemento del sistema de Mandelbrot.

Por una parte, c = i da la secuencia 0, i, (- 1 + i), - i, (- 1 + i), - i… se limita que, y así que él pertenece al sistema de Mandelbrot.

Cuando está computado y representado gráficamente en el plano complejo, el sistema de Mandelbrot se considera para tener un límite elaborado, que no simplifica en ninguna ampliación dada. Esto lo califica como fractal.

El sistema de Mandelbrot tiene matemáticas exteriores populares convertidas para su súplica estética y para ser una estructura complicada que se presenta de una definición simple. El Benoît Mandelbrot y otros trabajó difícilmente para comunicar esta área de las matemáticas al público.

Historia

El sistema de Mandelbrot tiene su lugar en la dinámica compleja, un campo primero investigado por los matemáticos franceses Pedro Fatou y Gastón Julia al principio del vigésimo siglo. Los primeros cuadros de él fueron dibujados en 1978 por Roberto Brooks y Peter Matelski como parte de un estudio de los grupos de Kleinian.

Mandelbrot estudió el espacio de parámetro de los polinomios cuadráticos en un artículo que apareció en el an o 80. El estudio matemático del Mandelbrot fijado comenzó realmente con el trabajo por el Adrien Douady de los matemáticos y el Juan H. Hubbard, que establecieron muchas características fundamentales de $M$ y nombraron el sistema en honor de Mandelbrot.

El Heinz-Otto Peitgen de los matemáticos y el Peter Richter llegaron a ser bien conocidos para promover el sistema con las fotografías brillantes, los libros, y una galería que viajaba.

El artículo de cubierta del americano científico de agosto de 1985 ofreció una imagen creada por Mandelbrot, Peitgen, y Hubbard.

El trabajo de Douady y de Hubbard coincidió con un aumento enorme en interés en las matemáticas abstractas complejas de la dinámica y, y el estudio del sistema de Mandelbrot ha sido una pieza central de este campo desde que. Una lista exhaustiva de todos los matemáticos que han contribuido a la comprensión de este sistema desde entonces está más allá del alcance de este artículo, pero de tal lista incluiría notablemente el Mikhail Lyubich, , McMullen conciso, Juan Milnor, Mitsuhiro Shishikura, y Jean-Cristóbal Yoccoz .

Definición formal

El Mandelbrot $M$ determinado es definido por una familia de los polinomios cuadráticos complejos : $P\_\; c:\backslash mathbb\; C\backslash to\backslash mathbb\; C$ dado por el $P\_c\; del\; :\; z\; \backslash \; mapsto\; z^2\; +\; c$, donde está un parámetro $c$ complejo. Para cada $c$, uno considera el comportamiento del $de\; la\; secuencia\; (0,\; P\_c\; (0),\; P\_c\; (P\_c\; (0)),\; P\_c\; (P\_c\; (P\_c\; (0))),\; \backslash \; ldots)$ obtenidos por el que itera el $P\_c\; de\; (z)$ que comienza en el $z\; del\; punto\; crítico\; =\; 0\; \backslash ,$, que escapa al infinito o permanece dentro de un disco de un cierto radio finito. El sistema de Mandelbrot se define como el sistema de todos los puntos $c$ tales que la secuencia antedicha hace escape del no al infinito.

Más formalmente, si el $P\_c^\; \{\backslash \; circ\; n\}\; (z)$ denota el th del n iterar del $P\_c\; (z)$ (es decir el $P\_c\; (z)$ compuesto consigo mismo los tiempos del n ), el sistema de Mandelbrot es el subconjunto del plano complejo dado por = \ a la izquierda \ {del

Matemáticamente, el sistema de Mandelbrot es apenas un determinado de números complejos. Un número complejo dado $c$ o pertenece a $M$ o no hace. Un cuadro del sistema de Mandelbrot puede ser hecho coloreando todos los puntos $c$ que pertenecen al negro de $M$, y todo el otro señala blanco. Los cuadros más coloridos considerados generalmente son generados coloreando puntos no en el sistema según cómo rápidamente o lentamente el $de\; la\; secuencia|P\_c^\; \{\backslash \; circ\; n\}\; (0)|$ diverge al infinito. Ver la sección en los dibujos de la computadora abajo para más detalles.

El sistema de Mandelbrot se puede también definir como el lugar geométrico de la conexión de la familia del $P\_c\; de\; los\; polinomios\; (z)$. Es decir, es el subconjunto del plano complejo que consiste en esos parámetros $c$ para los cuales el Julia determinado de $P\_c$ sea conectado .

Características básicas

El sistema de Mandelbrot es un acuerdo determinado, contenido en el disco cerrado del radio 2 alrededor del origen. De hecho, un punto $c$ pertenece al Mandelbrot fijado si y solamente si $|P\_c^\; \{\backslash \; circ\; n\}\; (0)|\backslash \; leq\; 2$ para todo el $n\; \backslash \; geq\; 0$. Es decir si el valor absoluto del $P\_c^\; \{\backslash \; circ\; n\}\; (0)$ llega a ser nunca más grande de 2, la secuencia se escapará al infinito.

La intersección de $M$ con el eje verdadero es exacto el $del\; intervalo,\; 0.\; Los\; parámetros\; a\; lo\; largo\; de\; este\; intervalo\; se\; pueden\; poner\; encorrespondenciauna\; por\; con\; los\; de\; familia\; logística,$ z\; del\; \backslash ,\; \backslash \; patio\; \backslash \; lambda\; verdadero\; del\; mapsto\; \backslash \; lambda\; z\; (1-z)\; \backslash \; adentro.\; \backslash ,$La\; correspondencia\; esdadapor\; =\; \backslash \; frac\; del$ c\; del\; \{1\; (\backslash \; lambda-1)\; ^2\}\; \{4\}.$De\; hecho,\; esto\; da\; una\; correspondencia\; entre\; elespaciode\; parámetro\; entero\; de\; la\; familia\; logística\; y\; el\; del\; sistema\; de\; Mandelbrot.$

El área del sistema de Mandelbrot se estima para ser 1.

Douady y Hubbard han demostrado que el sistema de Mandelbrot es conectado . De hecho, construyeron un isomorfismo conformal explícito entre el complemento del sistema de Mandelbrot y el complemento cerró el disco de unidad . Mandelbrot había conjeturado original que el sistema de Mandelbrot es disconnected. Esta conjetura fue basada en los cuadros de la computadora generados por los programas que no pueden detectar los filamentos finos el conectar de diversas partes de $M$. Sobre otros experimentos, él revisó su conjetura, decidiendo que $M$ debe ser conectado.

La fórmula dinámica para el uniformisation del complemento del sistema de Mandelbrot, presentándose de la prueba de Douady y de Hubbard de la conexión de $M$, da lugar a los rayos del External del sistema de Mandelbrot. Estos rayos se pueden utilizar para estudiar el Mandelbrot fijado en términos combinatorios y para formar la espina dorsal del parapuzzle de Yoccoz .

El límite del sistema de Mandelbrot es exactamente el lugar geométrico de la bifurcación de la familia cuadrático; es decir, el sistema de los parámetros $c$ para los cuales la dinámica lo cambia precipitadamente bajo pequeños cambios de $c.$ se puede construir como el sistema de límite de una secuencia de las curvas algebraicas, las curvas del plano de Mandelbrot del, del tipo general sabido mientras que los lemniscates polinómicos las curvas de Mandelbrot son definidos fijando p₀=z, p_n=p_n-1²+z, y después la interpretación del sistema de puntos |p_n(z)|=1 en el plano complejo como curva en el plano de cartesiano verdadero del grado 2ⁿ⁺¹ en x y el Y.

Otras características

Los bulbos principales del cardioid y del período

Sobre la mirada de un cuadro del sistema de Mandelbrot, uno nota inmediatamente el Cardioid grande - región shaped en el centro. Este cardioid principal del es la región de parámetros $c$ para los cuales $P\_c$ tenga un el atraer del punto fijo . Consiste en todos los parámetros del = \ frac del $del\; de\; la\; forma\; c\; \{1\; (\backslash \; mu-1)\; ^2\}\; \{4\}$ para un cierto $\backslash \; MU\; \backslash ,$ en el abren el disco de unidad .

A la izquierda del cardioid principal, atado a él en el punto $c=-3/4$, un bulbo circular-shaped es visible. Este bulbo consiste en el $c\; de\; esos\; parámetros\; \backslash ,$ para el cual $P\_c$ tiene un el atraer del ciclo del período 2 . Este sistema de parámetros es un círculo real, a saber de que del radio 1/4 alrededor -1.

Hay infinitamente tangente de muchos la otra bulbos al cardioid principal: para cada $\backslash \; frac\; \{p\}\; \{q\}$ del número racional, con el coprimero del p y del q, hay tal bulbo que es tangente en el parámetro = \ frac del c_ del $del$

l {\ frac {p} {q}} {1 - \ dejado (e^ {2 \ pi i \ frac {p} {q}} - 1 \) ^2 derecho} {4}.

el bulbo se llama el $del\; \backslash \; el\; frac\; \{p\}\; \{q\}$-bulb del sistema de Mandelbrot. Consiste en los parámetros que tienen un ciclo de atracción del período $q$ y del $del\; número\; de\; la\; rotación\; \backslash \; del\; frac\; combinatorios\; \{p\}\; \{q\}$. Más exacto, los componentes periódicos de Fatou de $q$ que contienen el ciclo de atracción todo el tacto en un punto común (comúnmente llamado el $del\; \backslash \; la\; alfa\; \backslash ,\; el\; punto\; de$-fixed). Si que etiquetamos estos componentes que, \ puntea de $U\_0,\; U\_\; \{q-1\}$ en la orientación a la izquierda, entonces mapas de $P\_c$ el componente $U\_j$ al $U\_\; componente\; \{j+p\; \backslash ,\; (\backslash \; operatorname\; \{MOD\}\; q)\}$.

El cambio del comportamiento que ocurre en el $c\_\; \{\backslash \; frac\; \{p\}\; \{q\}\}$ se conoce como bifurcación : el " de atracción del punto fijo; collides" con un de rechazo q - ciclo del período. Como pasamos con el parámetro de la bifurcación en el $\backslash \; el\; frac\; \{p\}\; \{q\}$-bulb, el punto fijo de atracción da vuelta en un punto fijo de rechazo (el punto del $\backslash \; alpha$-fixed), y el q del período - el ciclo llega a ser de atracción.

Componentes hiperbólicos

Todos los bulbos que encontramos en la sección anterior eran componentes interiores de el Mandelbrot fijó en cuál tiene el $P\_c\; de\; los\; mapas\; \backslash ,$ un ciclo periódico de atracción. Tales componentes se llaman los componentes hiperbólicos del .

Se conjetura que éstas son las regiones interiores del solamente de $M$. Este problema, conocido como densidad del del hyperbolicity, puede ser el problema abierto más importante del campo de la dinámica compleja. Los componentes no-hiperbólicos hipotéticos del sistema de Mandelbrot se refieren a menudo como " queer" componentes.

Para los polinomios cuadráticos verdaderos del, esta pregunta fue contestada positivamente en los años 90 independiente por Lyubich y por Graczyk y Świątek. (Nota que los componentes hiperbólicos que intersecan el eje verdadero corresponden exactamente a las ventanas periódicas en el diagrama de Feigenbaum. Este resultado indica tan que tales ventanas existen cerca de cada parámetro en el diagrama.)

No cada componente hiperbólico se puede alcanzar por una secuencia de bifurcaciones directas del cardioid principal del sistema de Mandelbrot. Sin embargo, un tan componente se puede alcanzar por una secuencia de bifurcaciones directas del cardioid principal de un pequeño Mandelbrot copia (véase abajo).

Conectividad local

Se conjetura que el sistema de Mandelbrot es el localmente conectado. Esta conjetura famosa se conoce como MLC (para el Mandelbrot localmente conectado). Por el trabajo Adrien Douady y Juan H. Hubbard, esta conjetura daría lugar a un " abstracto simple; disk" pellizcado; modelo del sistema de Mandelbrot. Particularmente, implicaría la conjetura importante del hyperbolicity del mencionada anteriormente.

El trabajo celebrado Jean-Cristóbal Yoccoz estableció la conectividad local del Mandelbrot fijado en todos los parámetros finito-renormalizables; es decir, en línea general los que se contienen solamente en finito muchos pequeño Mandelbrot copian. Desde entonces, la conectividad local se ha probado en muchos otros puntos de $M$, pero la conjetura completa está todavía abierta.

Uno mismo-semejanza

El sistema de Mandelbrot es el Self-similar bajo ampliación en las vecindades de los puntos de Misiurewicz que también se conjetura para ser self-similar alrededor de los puntos generalizados de Feigenbaum (e.0397i), en el sentido de la convergencia a un sistema de límite. Mandelbrot fijó en general no es terminantemente el Self-similar pero es cuasi-uno mismo-similar, pues pequeñas versiones levemente diversas de sí mismo se pueden encontrar en arbitrariamente las pequeñas escalas.

Las pequeñas copias del sistema de Mandelbrot son todo el levemente diferentes, sobre todo debido a los hilos de rosca finos que los conectan con el cuerpo principal del sistema.

Otros resultados

La dimensión de Hausdorff del límite del sistema de Mandelbrot iguala 2 según lo determinado por un resultado Mitsuhiro Shishikura . No se sabe si el límite del sistema de Mandelbrot tiene medida planar positiva de Lebesgue.

En el modelo de Blum-Shub-Smale del cómputo verdadero, el sistema de Mandelbrot no es computable, pero su complemento es computably enumerable. Sin embargo, muchos objetos simples (e., el gráfico de la exponenciación) no son también computables en el modelo de BSS. Es actualmente desconocido si el sistema de Mandelbrot es computable en los modelos del cómputo verdadero basados en el análisis computable, que corresponden más de cerca a la noción intuitiva del " trazar el sistema por un computer." Hertling ha demostrado que el sistema de Mandelbrot es computable en este modelo si la conjetura del hyperbolicity es verdad.

Relación con los sistemas de Julia

Como consecuencia de la definición del sistema de Mandelbrot, hay una correspondencia cercana entre la geometría del sistema de Mandelbrot en un punto dado y la estructura correspondiente Julia determinado.

Este principio se explota en virtualmente todos los resultados profundos en el sistema de Mandelbrot. Por ejemplo, Shishikura prueba que, porque un sistema de parámetros denso en el límite del sistema de Mandelbrot, el sistema de Julia tiene dimensión dos de Hausdorff, y después transfiere esta información al plano del parámetro. Semejantemente, Yoccoz primero prueba la conectividad local de los sistemas de Julia, antes de establecerla para el Mandelbrot fijado en los parámetros correspondientes. El Adrien Douady expresa este principio como

Plough en el plano dinámico, y la cosecha en el parámetro space.

Geometría

Recordar que, para cada $\backslash \; frac\; \{p\}\; \{q\}\; delnúmero\; racional$, donde están el relativamente primero, han un componente $p$ y $q$ hiperbólico del período $q$ que se bifurca del cardioid principal. La parte del sistema de Mandelbrot conectado con el cardioid principal en este punto de la bifurcación se llama el p/q-limb . Los experimentos de la computadora sugieren que el diámetro del miembro tienda a cero como el $\backslash \; el\; frac\; \{1\}\; \{q^2\}$. La mejor estimación actual sabida es la Yoccoz-desigualdad famosa, que indica que el tamaño tiende a cero como el $\backslash \; el\; frac\; \{1\}\; \{q\}$.

Un período $q$-limb tendrá " de $q-1$; antennae" en la tapa de su miembro. Podemos determinar así el período de un bulbo dado contando estas antenas.

Galería de la imagen de una secuencia del zumbido

El ejemplo siguiente de una secuencia de la imagen que enfoca a un valor seleccionado del c, da una impresión de la riqueza infinita de diversas estructuras geométricas, y explica algunas de sus reglas típicas. La ampliación de la imagen pasada concerniente primera es cerca de 60. referente a un monitor ordinario, él representa una sección de un Mandelbrot fijado con un diámetro 20 millones de kilómetros de . Su frontera demostraría un número inconcebible de diversas estructuras del fractal.

Generalizaciones

Los lugares geométricos de la conexión de familias con excepción de la familia cuadrático también se refieren a veces mientras que el Mandelbrot fija de estas familias.

Los lugares geométricos de la conexión de las familias polinómicas unicritical $f\_c\; =\; z^d\; +\; c\; \backslash ,$ $d>2$ se piden a menudo los sistemas de Multibrot del .

Para las familias generales de funciones olomorfas, el límite sistema de Mandelbrot generaliza al lugar geométrico de la bifurcación, que es un objeto natural a estudiar incluso cuando el lugar geométrico de la conexión no es útil.

Es también posible considerar construcciones similares en el estudio de mappings no-analíticos. De interés particular es tricorne, el lugar geométrico del de la conexión del $anti-olomorfo\; z\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; barra\; \{z\}\; del\; de\; la\; familia\; ^2\; +\; C.\; \backslash ,$ El tricorne (también a veces llamado el Mandelbar determinado) fue encontrado por el Milnor en su estudio de las partes del parámetro de polinomios cúbicos verdaderos. Es el no localmente conectado. Esta característica es heredada por el lugar geométrico de la conexión de polinomios cúbicos verdaderos.

¡generalización es el fractal de la nave del Burning que es obtenido iterando el trazado no-analítico $z\; -\; >\; (|x|+i|y|)\; ^2+c$ en el c-plano complejo con la condición inicial $z=0$. --> ¡

Dibujos de la computadora

Algoritmos:

Algoritmo del tiempo del escape versión boleana (dibuja M-fijan y su exterior usar 2 colores) = algoritmo de Mandelbrot
método determinado discreto de la versión (del número entero) = del nivel (LSM/M); dibuja vendas del sistema y del color de Mandelbrot en su exterior
versión continua
la versión de las curvas llanas = dibuja los lemniscates del sistema de Mandelbrot = de límites de sistemas llanos
descomposición del exterior del sistema de Mandelbrot
potencial complejo Potencial (verdadero) de Hubbard-Douady del sistema de Mandelbrot (CPM/M) - parte radial de potencial complejo
ángulo externo del sistema de Mandelbrot - parte angular de potencial complejo
el extracto M-fijó
Método de la valoración de la distancia para el sistema de Mandelbrot valoración exterior de la distancia = algoritmo de Milnor (DEM/M)
valoración interior de la distancia
algoritmo usado para explorar el interior del sistema de Mandelbrot período de componentes hiperbólicos
multiplicador de la órbita periódica (rayos internos (ángulo) y radio del intenal)
bof61 y bof60

Cada algoritmo se puede ejecutar en la versión paralela secuencial o . La simetría de espejo se puede utilizar al acelera los cálculos .

Algoritmo del tiempo del escape

El algoritmo más simple para generar una representación del sistema de Mandelbrot se conoce como el " time" del escape; algoritmo. Un cálculo de repetición se realiza para cada x, punto de y en el área del diagrama y basado en el comportamiento de ese cálculo, un color se elige para ese pixel.

La localización de x y de y de cada punto se utiliza como valores iniciales en una repetición, o la iteración del cálculo (descrito detalladamente abajo). El resultado de cada iteración se utiliza como los valores iniciales para el siguiente. Los valores se comprueban durante cada iteración para considerar si han alcanzado una condición crítica del “escape”. Si se alcanza esa condición, se para el cálculo, se dibuja el pixel, y se examina el x siguiente, punto de y. Para algunos valores iniciales, el escape ocurre rápidamente, después solamente de una pequeña cantidad de iteraciones. Para otros valores iniciales, puede llevar centenares o millares de iteraciones el escape. Para los valores dentro del sistema de Mandelbrot, el escape nunca ocurrirá. El programador o el usuario debe elegir cuánto iteración, o “profundidad,” desean examinar. Cuanto más alto es el número máximo de iteraciones, más el detalle y delicadeza emerge en la imagen final, pero el tiempo más largo que tomará para calcular el cuadro.

El color de cada punto representa cómo los valores alcanzaron rápidamente el punto del escape. El negro se utiliza a menudo para demostrar los valores que no pueden escaparse antes del límite de la iteración, y colores más brillantes se utilizan gradualmente para los puntos que se escapan. Esto da una representación visual de cuántos ciclos fueron requeridos antes de alcanzar la condición del escape.

Para los programadores

La definición del sistema de Mandelbrot, junto con sus características básicas, sugiere un algoritmo simple para dibujar un cuadro del sistema de Mandelbrot. La región del plano complejo que estamos considerando se subdivide en algunos pixeles para colorear cualquier pixel, dejó el $c\; \backslash ,$ sea el punto mediano de ese pixel. Ahora iteramos el $c\; del\; valor\; crítico\; \backslash ,$ bajo $P\_c\; \backslash ,\; el$, comprobando en cada paso si el punto de órbita tiene módulo más grande que 2.

Si éste es el caso, sabemos que el punto mediano no pertenece al sistema de Mandelbrot, y nosotros coloreamos nuestro pixel. (Lo coloreamos blanco para conseguir la imagen matemática simple o para colorearla según el número de iteraciones usadas para conseguir las imágenes coloridas bien conocidas). Si no, guardamos el iterar para cierto (grande, pero fijado) número de pasos, después de lo cual decidimos que nuestro parámetro es " probably" en el sistema de Mandelbrot, o por lo menos muy cercano a él, y colorear el negro del pixel.

En el Pseudocode, este algoritmo miraría como sigue.

¡código parar y pensar dos veces. Fue escrito por los profesionales que programaron Mandelbrots desde los años 80. OBSERVAR que el xtemp es y necesaria sería calculado de otra manera con el nuevo x que sería incorrecto. Pero había un error tipográfico serio en el extremo; uno debe trazar (x0, y0), no (x, y). -->

 Para cada pixel (x0, y0) en la pantalla hacer: { x = x0 = X coordinada del pixel y = el y0 = Y coordinada del pixel 
 iteración = 0 max_iteration = 1000  mientras que (x*x + y*y < (2*2) E iteración < max_iteration) {  xtemp = x*x - y*y + x0  ytemp = 2*x*y + y0 
 x = xtemp  y = ytemp 
 iteración = iteración + 1 }  si (max_iteration del == de la iteración)  entonces color = negro  color = iteración otros 
 diagrama (x0, y0, color) } 

donde, relacionándose el pseudocode con el $c\; \backslash ,\; z\; \backslash ,$ y $P\_c\; \backslash ,$:
$z\; =\; x\; +\; iy$
$z^2\; =\; x^2\; +i2xy\; -\; y^2$
$c\; =\; x0\; +\; iy0$ y por eso, como puede ser visto en el pseudocode en el cómputo de x y de y:
$x\; =\; con\; referencia\; a\; (z^2+c)\; =\; x^2-y^2+x0$ y y = $Im\; (z^2+c)\; =\; 2xy+y0$

Para conseguir las imágenes coloridas del sistema, la asignación de un color a cada valor del número de iteraciones ejecutadas se puede hacer usar una de una variedad de funciones (linear, exponencial, etc). Una manera práctica de hacerla, sin el retraso de los cálculos, es utilizar el número de iteraciones ejecutadas como entrada a una tabla de la gama de colores de color de las operaciones de búsqueda inicializada en el arranque. Si la tabla de color tiene, por ejemplo, 500 entradas, después usted puede utilizar MOD 500 del n, donde está el número el n de iteraciones, para seleccionar el color para utilizar. Usted puede inicializar la matriz de la gama de colores de color en varias maneras diferentes, dependiendo de qué característica especial del comportamiento de escape usted quiere acentuar gráficamente.

Colorante (liso) continuo

El algoritmo del tiempo del escape es popular para su simplicidad. Sin embargo, crea las vendas del color, que pueden detraer del valor de una imagen. Esto puede ser fijo usar el algoritmo normalizado de la cuenta de la iteración, que proporciona una transición lisa de colores entre las iteraciones. La ecuación es

$n+\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; log\_e\; -\; \backslash \; log\_e\; (de\; 2\; \backslash \; log\_e\; (B))\; (\backslash \; log\_e\; (|z|))\}\{\backslash \; log\_e\; (P)\}$

donde está el número el n de iteraciones para el z, el B es el radio del desalojo urgente (es normalmente 2 para un sistema de Mandelbrot, pero puede ser cambiado), y el P es la energía para la cual el z se levanta en a la ecuación determinada de Mandelbrot ( c, P del P + del del del z _{n del del n +1}= del del z es generalmente 2). Otra ecuación para esto es

$n+1-\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; log\_e\; (\backslash \; log\_e\; (|z|))\}\{\backslash \; log\_e\; (2)\}$

Observar que esta nueva ecuación es más simple que la primera, pero trabaja solamente para el sistema de Mandelbrot con un radio del desalojo urgente de 2 y una energía de 2.
Mientras que este algoritmo es relativamente simple ejecutar (usar cualquier ecuación), hay algunas cosas que necesitan ser tomadas en la consideración. Primero, las dos ecuaciones vuelven una corriente continua de números. Sin embargo, incumbe a usted a decidir sobre cómo los valores de vuelta serán convertidos en un color. Un cierto tipo de método para echar estos números sobre un gradiente debe ser desarrollado. En segundo lugar, se recomienda que algunas iteraciones adicionales están hechas de modo que el z pueda crecer. Si usted para el iterar tan pronto como el z se escape, hay la posibilidad que el algoritmo que alisa no trabajará.

Estimaciones de la distancia

Uno puede computar la distancia del punto c (en el exterior o el interior) al punto más cercano en el límite del sistema de Mandelbrot.

Valoración exterior de la distancia

La prueba de la conexión del Mandelbrot fijado de hecho da una fórmula para el mapa uniformizing del complemento de $M$ (y del derivado de este mapa). Por el Koebe 1/4-theorem, uno puede entonces estimar la distancia entre el punto mediano de nuestro pixel y el Mandelbrot fijado a un factor de 4.

Es decir a condición de que el número máximo de iteraciones es suficientemente alto, una obtiene un cuadro del Mandelbrot fijado con las características siguientes:

El
1. cada pixel que contenga un punto del sistema de Mandelbrot se colorea negro. El
2. cada pixel que se coloree negro está cercano al sistema de Mandelbrot.

La estimación de la distancia de un pixel c (un número complejo) del sistema de Mandelbrot se da cerca

$b=\; \backslash \; lim\_\; \{n\; \backslash \; \backslash \; infty\}\; 2\; \backslash \; cdot\; \backslash \; ln\; (\backslash \; mediados\; de\; \{P\_c^\; \{\backslash \; circ\; n\}\; (c)\}\; \backslash \; mediados\; de)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; mediados\; de\; \{P\_c^\; \{\backslash \; circ\; n\}\; (c)\}\; \backslash \; mediados\; de\}\; \{\backslash \; mediados\; de\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; parcial\; \{c\}\}\; P\_c^\; \{\backslash \; circ\; n\}\; (c)\; \backslash \; mediados\; de\}$ donde

• $P\_c\; (z)\; \backslash ,$ representa el polinomio cuadrático complejo
el
• $P\_c^\; \{\backslash \; circ\; n\}\; (c)$ representa iteraciones de n del $P\_c\; (z)\; \backslash \; a\; z$ o a $z^2\; +\; a\; c\; \backslash \; a\; z$, comenzando con z=c: $P\_c^\; \{\backslash \; circ\; 0\}\; (c)\; =\; c$, $P\_c^\; \{\backslash \; circ\; n+1\}\; (c)\; =\; P\_c^\; \{\backslash \; circ\; n\}\; (c)^2\; +\; c$;
el
• $\backslash \; el\; frac\; \{\backslash \; parciales\}\; \{\backslash \; parcial\; \{c\}\}\; P\_c^\; \{\backslash \; circ\; n\}\; (c)$ es derivado del $P\_c^\; \{\backslash \; circ\; n\}\; (c)$ con respecto a la C. Este derivado puede ser encontrado comenzando con el $\backslash \; el\; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; parcial\; \{c\}\}\; P\_c^\; \{\backslash \; circ\; 0\}\; (c)\; =\; 1$ y entonces $\backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; parcial\; \{c\}\}\; P\_c^\; \{\backslash \; circ\; n+1\}\; (c)\; =\; 2\; \backslash \; cdot\; \{\}\; P\_c^\; \{\backslash \; circ\; n\}\; (c)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; parcial\; \{c\}\}\; P\_c^\; \{\backslash \; circ\; n\}\; (c)\; +\; 1$. Esto puede ser verificada fácilmente usando la regla de cadena para el derivative.

Desde el punto de vista de un matemático, esta fórmula trabaja solamente en el límite adonde n va al infinito, pero las estimaciones muy razonables se pueden encontrar con apenas algunas iteraciones adicionales después de las salidas del lazo principal.

Una vez que b es encontrado, por el Koebe 1/4-theorem, sabemos que no hay punto del Mandelbrot fijado con distancia de c más pequeño que b/4. ¡ --¡>

Valoración interior de la distancia

Es también posible estimar la distancia (es decir, interna) de un punto limitly periódico al límite del sistema de Mandelbrot. La estimación se da cerca $b=\; \backslash \; frac\; \{1\; \backslash \; mediados\; de\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; parcial\; \{z\}\}\; P\_c^\; \{\backslash \; circ\; p\}\; (z\_0)\}\backslash \; mid^2\}\; \{\backslash \; mediados\; de\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; \{c\}\}\; parcial\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; parcial\; \{z\}\}\; P\_c^\; \{\backslash \; circ\; p\}\; (z\_0)\; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; \{z\}\}\; parcial\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; parcial\; \{z\}\}\; P\_c^\; \{\backslash \; circ\; p\}\; (z\_0)\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; parcial\; \{c\}\}\; P\_c^\; \{\backslash \; circ\; p\}\; (z\_0)\}\; \{1\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; parcial\; \{z\}\}\; P\_c^\; \{\backslash \; circ\; p\}\; (z\_0)\}\}\; \backslash \; mediados\; de\}$ where

• $p$ es el período,
• $c$ es el punto que se estimará,
• $P\_c\; (z)$ es el $P\_c\; complejo\; del\; polinomio\; cuadrático\; (z)=z^2\; +\; c$ el
• $P\_c^\; \{\backslash \; circ\; p\}\; (z\_0)$ es composiciones de $p$ del $P\_c\; (z)\; \backslash \; a\; z$, comenzando con el $P\_c^\; \{\backslash \; circ\; 0\}\; (z)\; =\; z\_0$
• $z\_0$ es los puntos uces de los de $p$ que hacen el attractor de las iteraciones del $P\_c\; (z)\; \backslash \; a\; z$ que comienza con el $P\_c^\; \{\backslash \; circ\; 0\}\; (z)\; =\; c$; $z\_0$ satisface $z\_0\; =\; P\_c^\; \{\backslash \; circ\; p\}\; (z\_0)$,
• $\backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; \{c\}\}\; parcial\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; parcial\; \{z\}\}\; P\_c^\; \{\backslash \; circ\; p\}\; (z\_0)$, $\backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; \{z\}\}\; parcial\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; parcial\; \{z\}\}\; P\_c^\; \{\backslash \; circ\; p\}\; (z\_0)$, $\backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; parcial\; \{c\}\}\; P\_c^\; \{\backslash \; circ\; p\}\; (z\_0)$ y el $\backslash \; el\; frac\; \{\backslash \; parciales\}\; \{\backslash \; parcial\; \{z\}\}\; P\_c^\; \{\backslash \; circ\; p\}\; (z\_0)$ son varios derivados de $P\_c^\; \{\backslash \; circ\; p\}\; (z)$, evaluado en $z\_0$.

$p$ y $z\_0$ dado, el $P\_c^\; \{\backslash \; circ\; p\}\; (z\_0)$ y sus derivados se pueden evaluar cerca:

el
• $\backslash \; comienza\; \{alinear\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; \{c\}\}\; parcial\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; parcial\; \{z\}\}\; P\_c^\; \{\backslash \; circ\; 0\}\; (z\_0)\; =\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; \{z\}\}\; parcial\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; parcial\; \{z\}\}\; P\_c^\; \{\backslash \; circ\; 0\}\; (z\_0)\; =\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; parcial\; \{c\}\}\; P\_c^\; \{\backslash \; circ\; 0\}\; (z\_0)\; =\; y\; 0\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; parcial\; \{z\}\}\; P\_c^\; \{\backslash \; circ\; 0\}\; (z\_0)\; =\; y\; 1\; \backslash \; \backslash \; P\_c^\; \{\backslash \; circ\; 0\}\; (z\_0)\; =\; y\; z\_0\; \backslash \; extremo\; \{alinear\}$
el
• $\backslash \; comienza\; \{alinear\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; \{c\}\}\; parcial\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; parcial\; \{z\}\}\; P\_c^\; \{\backslash \; circ\; n+1\}\; (z\_0)\; y\; =\; 2\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; parcial\; \{c\}\}\; P\_c^\; \{\backslash \; circ\; n\}\; (z\_0)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; parcial\; \{z\}\}\; P\_c^\; \{\backslash \; circ\; n\}\; (z\_0)\; +\; P\_c^\; \{\backslash \; circ\; n\}\; (z\_0)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; \{c\}\}\; parcial\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\}\; \{\backslash \; parcial\; \{z\}\}\; P\_c^\; \{\backslash \; circ\; n\}\; (z\_0))\; \backslash \; \backslash$

  \ frac {\ parcial} {\ {z}} parcial \ frac {\ parcial} {\ parcial {z}} P_c^ {\ circ n+1} (z_0) y = 2 \ cdot (\ frac {\ parcial} {\ parcial {z}} P_c^ {\ circ n} (z_0) ^2 + P_c^ {\ circ n} (z_0) \ cdot \ frac {\ parcial} {\ {z}} parcial \ frac {\ parcial} {\ parcial {z}} P_c^ {\ circ n} (z_0)) \ \

  \ frac {\ parcial} {\ parcial {c}} P_c^ {\ circ n+1} (z_0) y = 2 \ cdot P_c^ {\ circ n} (z_0) \ cdot \ frac {\ parcial} {\ parcial {c}} P_c^ {\ circ n} (z_0) + 1 \ \

  \ frac {\ parcial} {\ parcial {z}} P_c^ {\ circ n+1} (z_0) y = 2 \ cdot P_c^ {\ circ n} (z_0) \ del cdot \ del frac {\ parcial} {\ parcial {z}} de P_c^ {\ circ n} (z_0) \ \

  P_c^ {\ circ n+1} (z_0) y = P_c^ {\ circ n} (z_0) ^2 + c \ extremo {alinear} .

Análogo al caso exterior, una vez que se encuentra b, sabemos que todos los puntos dentro de la distancia de b/4 de c están dentro del sistema de Mandelbrot.

Hay dos problemas prácticos con la estimación interior de la distancia: primero, necesitamos encontrar $z\_0$ exacto, y en segundo lugar, necesitamos encontrar $p$ exacto. El problema con $z\_0$ es que la convergencia a $z\_0$ iterando el $P\_c\; (z)$ requiere, teóricamente, un número infinito de operaciones. El problema con período es ése, a veces, debido a los errores de redondeo, un período se identifica falso para ser un múltiplo de número entero del período verdadero (e., un período de 86 se detecta, mientras que el período verdadero es solamente 43=86/2). En tal caso, se sobrestima la distancia, es decir, el radio divulgado podría contener puntos fuera del sistema de Mandelbrot.

Optimizaciones

Una forma para mejorar cálculos es descubrir de antemano si el punto dado miente dentro del cardioid o en el bulbo period-2.

checking" de la periodicidad; — qué medios comprueban si un punto alcanzado en la iteración de un pixel se ha alcanzado antes. Si es así el pixel no puede divergir, y debe estar en el sistema. Esto es la más relevante para los cálculos de punto fijo, donde hay una ocasión relativamente alta de tal periodicity— una puesta en práctica flotante completo (o alto-exactitud) entraría raramente tal período.

La comprobación de la periodicidad es, por supuesto, una compensación: La necesidad de recordar instrucciones de la gestión de datos de la memoria y del de los costes de los puntos, mientras que ahorra instrucciones de cómputo del

.

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