En las matemáticas, dadas un el determinado S de, la energía determinado del (o el powerset ) del S, escrito el $\backslash \; \{P\}\; (S)$ mathcal, el P ( S ), o el 2 ^{'' S ''} , es el sistema de todos los subconjuntos S . En la teoría determinada axiomática (según lo convertido e. en los axiomas ZFC ), la existencia del sistema de la energía de fijado es postulada por el axioma de la energía determinado.

Cualquier F del subconjunto del $\backslash \; \{P\}\; de\; (S)$ mathcal se llama una familia de los sistemas sobre el S .

Un ejemplo

Si el S es el sistema { x, y, z }, después la lista completa de subconjuntos del S es como sigue:

{ } (∅ también denotado, el sistema vacío )
{ x }
{ y }
{ z }
{ x, y }
{ x, z }
{ y, z }
{ x, y, z }

y por lo tanto el sistema de la energía del S está

$\backslash \; mathcal\; \{P\}\; (s)\; =\; \backslash \; ido\; \backslash \; \{\backslash \; \{\backslash \},\; \backslash \; \{x\; \backslash \},\; \backslash \; \{y\; \backslash \},\; \backslash \; \{z\; \backslash \},\; \backslash \; \{x,\; y\; \backslash \},\; \backslash \; \{x,\; z\; \backslash \},\; \backslash \; \{y,\; z\; \backslash \},\; \backslash \; \{x,\; y,\; z\; \backslash \}\; \backslash \; derecho\; \backslash \}\; \backslash ,\; \backslash !.$

Características

Si el S es un sistema finito con | S | = los elementos del n, entonces el sistema de la energía del S contienen el $|\backslash \; \{P\}\; (s)\; mathcal|\; =\; elementos\; 2^n$. (Uno poder-y las computadoras hacer-representa a veces los elementos del $\backslash \; \{P\}\; de\; (S)$ mathcal como n - números del pedacito ; el n - pedacito del th refiere a presencia o a la ausencia del n - elemento del th del S . Hay 2 ^{el n} tales números.)

La discusión diagonal del chantre demuestra que el sistema de la energía de un sistema (infinito o no) tiene siempre terminantemente cardinalidad más alta que el sistema sí mismo (informal la energía fijada debe ser “mayor” que el sistema original). El sistema de la energía del sistema de los números naturales por ejemplo se puede poner en una correspondencia una por con el sistema de los números verdaderos (véase la cardinalidad de la serie continua ).

El sistema de la energía de un S del sistema, junto con las operaciones de la unión, la intersección y el complemento se puede ver como el ejemplo prototípico de una álgebra boleana . De hecho, uno puede demostrar que cualquier álgebra boleana finita del es isomorfa a la álgebra boleana del sistema de la energía de un sistema finito. Para las álgebra boleanas infinitas del esto es no más verdad, pero cada álgebra boleana infinita es un subalgebra del de una álgebra boleana determinada de la energía (aunque ésta no es siempre una representación particularmente illuminating de una álgebra boleana infinita).

El sistema de la energía de un S del sistema forma un grupo abeliano cuando está considerado con la operación de la diferencia simétrica (con el sistema vacío como su unidad y cada sistema siendo su propio lo contrario) y de un semigrupo comutativo cuando está considerado con la operación de la intersección. Puede por lo tanto ser demostrado (probando las leyes distributivas) que el sistema de la energía considerado junto con ambas operaciones forma un anillo comutativo .

El S de las notaciones 2 ^{y { S} del ^{de 0.1}}

En teoría determinada, el ^{'' Y ''} '' X '' es el sistema de todas las funciones Y al X . Como 2 pueden ser definidos como {0.1} (véase el número natural ), 2 ^{el S} (es decir, { S del de 0.1}) es el sistema de todas las funciones S {0. Identificando una función en 2 ^{el S} con el correspondiente Preimage de 1, vemos que hay un Bijection entre 2 ^{el S} y $\backslash \; \{P\}\; (S)$ mathcal, donde está la función cada función característica del subconjunto en el $\backslash \; \{P\}\; (S)$ mathcal con los cuales se identifica. Por lo tanto 2 ^{el S} y $\backslash \; \{P\}\; (S)$ mathcal se podría considerar idéntico fijó-teórico.

Éstos son casos especiales de la convención de la combinatoria enumerativa que proporciona las notaciones para los sistemas basados en sus cardinalities.

Podemos aplicar esta noción al ejemplo arriba para ver el isomorfismo con los números binarios a partir de la 0 a 2ⁿ-1 con n que es el número de elementos en el sistema. En el S un 1 en la posición que corresponde a la localización en el sistema indica la presencia de elemento. Tan { x, y } = 110

Para el sistema entero de la energía del S conseguimos:

{ } = 000 (binario) = 0 (decimal)
{ x } = 100 = 4
{ y } = 010 = 2
{ z } = 001 = 1
{ x, y } = 110 = 6
{ x, z } = 101 = 5
{ y, z } = 011 = 3
{ x, y, z } = 111 = 7

Relación al teorema binomial

El sistema de la energía es estrechamente vinculado al teorema binomial . El número de sistemas con los elementos de $k$ en el sistema de la energía de un sistema con los elementos de $n$ será un $C\; dela\; combinación(n,\; k),$ también llamó un el coeficiente binomial .

Por ejemplo el sistema de la energía de un sistema con tres elementos, tiene:
el $C\; del$

(3, 0) = 1 fijó con los elementos 0
$C\; (3,\; 1)\; =\; sistemas\; 3$ con 1 elemento
$C\; (3,\; 2)\; =\; sistemas\; 3$ con 2 elementos
$C\; (3,\; 3)\; =\; 1$ fijado con 3 elementos

Algoritmos

Si el S es un sistema finito, hay un algoritmo recurrente para calcular el $\backslash \; \{P\}\; (s)$ mathcal.

si S = {}, $\backslash \; \{P\}\; (s)\; =\; mathcal\; \backslash \; \{\backslash \; \{\backslash \}\; \backslash \}$.
¡Si no $S\; =\; T\; \backslash \; taza\; \backslash \; \{e\; \backslash \}\; \backslash !$ para un cierto e del elemento y el T del sistema.
En este caso, $\backslash \; \{P\}\; (s)\; mathcal\; =\; \backslash \; \{P\}\; (t)\; mathcal\; \backslash \; taza\; \backslash \; \{X\; \backslash \; taza\; \backslash \; \{e\; \backslash \}\; |\; X\; \backslash \; en\; \backslash \; \{P\}\; (t)\; mathcal\; \backslash \}$.

¡

Otro algoritmo derivó Combinadics puede también ser utilizado.

Zenithic

Galmaarden

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