el

l este artículo discute sistemas de la raíz en matemáticas. Para los sistemas de la raíz de plantas ven el arraigar .

En las matemáticas, un sistema de la raíz del es una configuración de los vectores en características geométricas satisfying euclidianas del espacio un ciertas. El concepto es fundamental en teoría del grupo de mentira . Desde grupos de mentira (y algunos análogos tales como que los grupos algebraicos han venido ser utilizados en mayores partes de matemáticas durante el vigésimo siglo, la naturaleza al parecer especial de los sistemas de la raíz desmiente el número de áreas en las cuales sean aplicados. Además, el esquema de clasificación para los sistemas de la raíz, por el Dynkin diagrams, ocurre en partes de matemáticas sin la conexión abierta a los grupos de mentira (tales como teoría de la singularidad).

Definiciones

Dejar el V ser un espacio euclidiano finito-dimensional, con el producto interno euclidiano estándar denotado cerca (·, ·). Un sistema de la raíz del en el V es un &Phi finito del sistema; de los vectores diferentes a cero (llamados arraiga ) que satisfacen las características siguientes:

El

del V del palmo de las raíces Los únicos múltiplos escalares de un &alpha de la raíz; ∈ Φ eso pertenece al Φ es el α sí mismo y − α.

Para cada &alpha de la raíz; ∈ Φ, el &Phi del sistema; es cerrado bajo reflexión a través del perpendicular del hiperplano al α. Es decir, para cualquie &alpha de dos raíces; y β, el &Phi del sistema; contiene la reflexión del β,

: = \ beta-2 \ frac del $\backslash \; del\; sigma\_\; \backslash \; de\; la\; alfa\; (\backslash \; beta)\; \{(\backslash \; alfa,\; \backslash \; beta)\}\{(\backslash ,\; \backslash \; alfa\; de\; la\; alfa)\}\backslash \; alfa\; \backslash$

en \ Phi. (condición de la integralidad del ) si α y β son las raíces en Φ, entonces la proyección del β sobre la línea con α es un múltiplo mitad-integral del α. Es decir,

: $\backslash \; langle\; \backslash ,\; beta\; \backslash \; alfa\; \backslash \; rangle\; =\; 2\; \backslash \; frac\; \{(\backslash \; alfa,\; \backslash \; beta)\}\{(\backslash ,\; \backslash \; alfa\; de\; la\; alfa)\}\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{Z\},$

Debido a la característica 3, la condición de la integralidad es equivalente a indicar ese β y su &sigma de la reflexión; _α (β) diferenciar por un múltiplo de número entero del α. Observar que el $del\; deloperador\backslash ,\; \backslash \; cdot\; \backslash \; rangle\; \backslash \; dos\; puntos\; \backslash \; phi\; \backslash \; épocas\; \backslash \; phi\; \backslash \; \backslash \; mathbb\; \{Z\}$ del langle \ del cdot no es definido por la característica 4 un producto interno. No es necesario simétrico y es linear solamente en la primera discusión.

La fila de un &Phi del sistema de la raíz; es la dimensión del V . Dos sistemas de la raíz pueden ser combinados mirando los espacios euclidianos que atraviesan como subespacios mutuamente ortogonales de un espacio euclidiano común. Un sistema de la raíz que no se presenta de tal combinación, tal como los sistemas A₂, B₂, y G₂ representó abajo, reputa el irreducible.

Dos sistemas irreducibles de la raíz ( E ₁, Φ ₁) y ( E ₂, Φ ₂) se consideran ser iguales si hay un linear inversible E ₁&rarr de la transformación; E ₂ que preserva distancia hasta un factor de posicionamiento y que envía Φ ₁ al Φ ₂.

El grupo de los isometries V generado por reflexiones a través de hiperplanos se asoció a las raíces del Φ se llama el grupo de Weyl de Φ. Como actúa fiel en el &Phi finito del sistema;, el grupo de Weyl es siempre finito.

Ejemplos de la fila 1 y de la fila 2

Hay solamente un sistema de la raíz de la fila 1, consistiendo en dos vectores diferentes a cero {α, − α}. Este sistema de la raíz se llama A₁.

En la fila 2 hay cuatro posibilidades:

Raíces positivas y raíces simples

Dado un &Phi del sistema de la raíz; podemos elegir siempre (en gran medida) un sistema de las raíces del positivo del . Esto es un subconjunto $\backslash \; Phi^+$ del Φ tales que
para cada $\backslash \; alfa\; \backslash \; en\; \backslash \; Phi$ exactamente uno de la raíz del $\backslash \; de\; la\; alfa\; de\; las\; raíces,\; -\; \backslash \; alpha$ se contiene en el $\backslash \; Phi^+$
Para cualquie $\backslash \; alfa,\; \backslash \; beta\; \backslash \; en\; \backslash \; Phi^+$ tales que el $\backslash \; alpha+\; \backslash \; beta$ es una raíz, $\backslash \; alpha+\; \backslash \; beta\; \backslash \; en\; \backslash \; Phi^+$.

Si un sistema del positivo arraiga el $\backslash \; Phi^+$ se elige, los elementos de ($-\; \backslash \; Phi^+$) se llaman las raíces de la negativa del .

La opción del $\backslash \; Phi^+$ es equivalente a la opción de las raíces simples . El sistema de raíces simples es un &Delta del subconjunto; del Φ cuál es una base del V con la característica especial ese cada vector en Φ cuando está escrito en el &Delta de la base; tiene cualquier todo el &ge de los coeficientes; 0 o bien todos los ≤ 0.

Puede ser demostrado que para cada opción de raíces positivas existe un sistema único de raíces simples de modo que las raíces positivas sean exactamente esas raíces que se pueden expresar como combinación de raíces simples con coeficientes no negativos.

Clasificación de los sistemas de la raíz por los diagramas de Dynkin

El irreducible de los sistemas de la raíz corresponde a ciertos gráficos, los diagramas de Dynkin del nombrados para el Eugene Dynkin . La clasificación de estos gráficos es algo fácil de la combinatoria, e induce una clasificación de los sistemas irreducibles de la raíz.

Dado un sistema de la raíz, seleccionar un &Delta del sistema; de las raíces simples como en la sección precedente. Las cimas del diagrama asociado de Dynkin corresponden a los vectores en Δ. Un borde se dibuja entre cada par no-ortogonal de vectores; es un solo borde sin señas si hacen un ángulo de 120 grados, de un borde dirigido de dos filos si hacen un ángulo de 135 grados, y triple dirigido si hacen un ángulo de 150 grados. El " del término; edge" dirigido; significa que el doble y los bordes triples están marcados con una muestra del ángulo que apunta en la dirección del vector más corto.

Aunque un sistema dado de la raíz tenga más que uno sistema posible de raíces simples, el grupo de Weyl actúa transitivo en tales opciones. Por lo tanto, el diagrama de Dynkin es independiente de la opción de raíces simples; es determinado por el sistema sí mismo de la raíz. Inversamente, dado dos sistemas de la raíz con el mismo diagrama de Dynkin, uno puede emparejar encima de raíces, comenzando con las raíces que no están en la base, y demostrar que los sistemas son de hecho iguales.

Así el problema de clasificar sistemas de la raíz reduce al problema de clasificar los diagramas posibles de Dynkin. El problema de clasificar sistemas irreducibles de la raíz reduce al problema de clasificar los diagramas conectados de Dynkin. Los diagramas de Dynkin codifican el producto interno en el E en términos de &Delta de la base;, y la condición que este producto interno debe ser el definido positivo resulta ser toda la que es necesaria conseguir la clasificación deseada.

Los diagramas conectados reales están como sigue. Los subíndices indican el número de cimas en el diagrama (y por lo tanto la fila del sistema irreducible correspondiente de la raíz).

Características de los sistemas irreducibles de la raíz

Construcción explícita de los sistemas irreducibles de la raíz

n de A

¡

n de B

n de C

n de D

E₈, E₇, E₆

El enrejado E8 se puede definir como explícitamente por el sistema de &sub de los puntos Γ₈; R ⁸ tales que:
todos los coordenadas son los números enteros o todos los coordenadas son los Mitad-números enteros (una mezcla de números enteros y de mitad-números enteros no se permite), y
la suma de los ocho coordenadas es un número entero incluso.

Dejar el E _{'' 8 '' sistema de la raíz de} ser el sistema de vectores de la longitud √2 en Γ₈, de que es: (&alpha del ; DEL ∪ DEL Z ⁸ DEL ∈ DE ( Z + ½) ⁸: | &alpha del ; |² = &alpha del del ∑; _i² = 2, &alpha del del ∑; Z del ∈ 2 de _i).

Entonces dejar el E₇ ser la intersección de E₈ con el hiperplano de los vectores perpendiculares a una raíz fija en E₈, y dejar el E₆ la intersección de E₇ con el hiperplano de los vectores perpendiculares a una raíz fija en E₇. Los sistemas E₆, E₇, y E₈ de la raíz tienen 72, 126, y 240 raíces respectivamente. Si continuamos suprimiendo raíces y reduciendo la dimensión, E₅ reduce a D₅, y E₄ reduce a A₄, así que se encuentran no más de sistemas distintos de la raíz.

F₄

G₂

Sistemas de la raíz y teoría de la mentira

Los sistemas irreducibles de la raíz clasifican un número de objetos relacionados en teoría de la mentira, notablemente:
álgebra de mentira complejas simples
Grupos de mentira complejos simples
Los grupos de mentira complejos simplemente conectados que son simples modulo se centran
Grupos de mentira simples del acuerdo

En cada caso, las raíces son los pesos diferentes a cero de la representación de Adjoint.

Extendido y afinar los diagramas de Dynkin

considera también: Coxeter group#Affine_Weyl_groups

Hay extensiones de los diagramas de Dynkin, a saber los diagramas extendidos de Dynkin y el afina los diagramas de Dynkin.

Los diagramas extendidos de Dynkin se denotan con un tilde, como en el $\backslash \; el\; tilde\; A\_5$.

Afinar los diagramas de Dynkin describen las matrices de Cartan afinan las álgebra de mentira
Generador del diagrama de Dynkin del

.

Zenithic

Frys.com Open

Random links:

Rabino ben Ezra | Cuchillo de Shonen | Muerto o vivo (venda) | El cielo se divierte noticias | Biscotti