En las matemáticas combinatorias, los sistemas de la rotación del codifican embeddings de los gráficos sobre las superficies orientable describiendo el que ordena circular de los bordes de un gráfico alrededor de cada cima. La definición más formal de un sistema de la rotación implica pares de permutaciones; tal par es suficiente determinar un Multigraph, una superficie, y una célula 2 que encaja del Multigraph sobre la superficie.
Cada esquema de la rotación define una encajadura única de 2 células de un Multigraph conectado en una superficie orientada cerrada (hasta la orientación que preserva equivalencia topológica). Inversamente, cualquier encajadura de un conectado G del Multigraph en una superficie cerrada orientada define un sistema único de la rotación que tiene G como su Multigraph subyacente. Esta equivalencia fundamental entre los sistemas de la rotación y la célula-embeddings 2 primero fue colocada en una forma dual por Heffter y utilizada extensivamente por el Ringel durante los años 50. Independiente, el Edmonds dio la forma principal del teorema y los detalles de su estudio han sido popularizados por Youngs. La generalización al sistema del conjunto de Multigraph fue desarrollada por grueso y Alpert.
Los sistemas de la rotación se relacionan con, pero no iguales como, los mapas de la rotación del usados por Reingold y otros (2002) para definir el producto del zigzag de los gráficos . Un sistema de la rotación especifica ordenar circular de los bordes alrededor de cada cima, mientras que un mapa de la rotación especifica la permutación (non-circular) de a de los bordes en cada cima. Además, los sistemas de la rotación se pueden definir para cualquier gráfico, mientras que como Reingold y otros los definen los mapas de la rotación se restringen a los gráficos del asiduo
Definición formal
Formalmente, un sistema de la rotación se define como par (σ, θ) donde σ y θ son ambas permutaciones que actúan en el mismo determinado B, &theta de la tierra; es una involución fijo-punto-libre, y el < del grupo ; σ, θ > generado por σ y θ el actúa transitivo en el B .
Para derivar un sistema de la rotación de una encajadura de 2 células de un conectado G del Multigraph en una superficie orientada, dejar el B consistir en los dardos del (o las banderas del, o los mitad-bordes del ) del G ; es decir, para cada borde del G formamos dos elementos del B, uno para cada punto final del borde. Incluso cuando un borde tiene la misma cima que ambas de sus puntos finales, creamos dos dardos para ese borde. Dejamos θ ( b ) ser el otro dardo formado del mismo borde que el b ; esto es claramente una involución sin puntos fijos. Dejamos σ ( b ) estar el dardo en la posición a la derecha del b en la orden cíclica del incidente de los bordes a la misma cima, donde " clockwise" es definido por la orientación de la superficie.
Si un Multigraph se encaja en una superficie orientable pero no orientada, corresponde generalmente a dos sistemas de la rotación, uno para cada uno de las dos orientaciones de la superficie. Estos sistemas de dos rotaciones tienen el mismo &theta de la involución;, solamente el &sigma de la permutación; para una rotación el sistema es lo contrario de la permutación correspondiente para el otro sistema de la rotación.
Recuperación de la encajadura del sistema de la rotación
Para recuperar un Multigraph de un sistema de la rotación, formamos una cima para cada órbita del σ, y un borde para cada órbita del θ. Una cima es incidente con un borde si estas dos órbitas tienen una intersección no vacía. Así, el número de incidencias por cima es el tamaño de la órbita, y el número de incidencias por el borde es exactamente dos. Si un sistema de la rotación se deriva de una encajadura de 2 células de un conectado G del Multigraph, el gráfico derivado del sistema de la rotación es isomorfo al G .
Para encajar el gráfico derivó de un sistema de la rotación sobre una superficie, forma un disco para cada órbita del σ θ, y pegar dos discos juntos a lo largo de un e del borde siempre que los dos dardos que corresponden al e pertenezcan a las dos órbitas que corresponden a estos discos. El resultado es una encajadura de 2 células del Multigraph derivado, las dos-células cuyo son los discos que corresponden a las órbitas del σ θ. La superficie de esto que encaja puede ser orientada de una manera tal que el ordenar a la derecha de los bordes alrededor de cada cima sea igual que ordenar a la derecha dado por σ.
Caracterizar la superficie de la encajadura
Según la fórmula de Euler podemos deducir el género g del de la superficie orientable cerrada definida por el (es decir, la superficie en la cual el Multigraph subyacente es la célula 2 encajada):
donde el denota el sistema de las órbitas del de la permutación.
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