Un sistema de numeración (o el sistema del de la numeración ) es una notación matemática para representar un sistema de números por símbolos de una manera constante. Puede ser visto como el contexto del que permite el " numérico; 11" para ser interpretado como el número binario para el tres, el número decimal para el once, u otros números en diverso basa .

Ideal, un sistema de numeración:

representa un sistema útil de los números (e. todos los números enteros de los números enteros o de los números verdaderos
Dar cada número representó una representación única (o por lo menos una representación estándar)
Reflejar la estructura algebraica y aritmética de los números.

Por ejemplo, la representación decimal generalmente de números enteros da a cada número entero una representación única mientras que un la secuencia finita del de los dígitos con las operaciones de la aritmética (adición, substracción, multiplicación y división) siendo presente como los algoritmos estándar de la aritmética. Sin embargo, cuando la representación decimal se utiliza para el racional o los números verdaderos, la representación es no más única: muchos números racionales tienen dos números, estándar que termina, por ejemplo 2.31, y otros que se repite el, tal como 2. Los números que terminan no tienen ningún dígito diferente a cero después de una posición dada. Por ejemplo, los números como 2.310 se toman para ser iguales, excepto en las ciencias experimentales, donde la mayor precisión es denotada por el cero que se arrastra.

Los sistemas de numeración a veces se llaman los sistemas de numeración ', pero ese nombre es engañoso, pues podría referir a diversos sistemas de números, tales como el sistema de los números verdaderos el sistema de los números complejos el sistema de los números adic, etc. Tales sistemas no son el asunto de este artículo.

Tipos de sistemas de numeración

El sistema más de uso general de números se conoce como números Hindú-Árabes, y dos grandes matemáticos indios podrían ser dados el crédito para desarrollarlos. El Aryabhatta de Kusumapura que vivió durante el siglo V desarrolló la notación y el Brahmagupta del valor de lugar que introdujo un siglo más adelante el símbolo cero.

El sistema de numeración más simple es el sistema de numeración singular, en el cual cada número natural es representado por un número correspondiente de símbolos. Si se elige el símbolo /, por ejemplo, después el número siete sería representado por ///////. Las marcas de la cuenta todavía representan un tal sistema en de uso común. En la práctica, el sistema singular es normalmente solamente útil para los pequeños números, aunque desempeñe un papel importante en el de informática teórico. También, la codificación gamma de Elias que es de uso general en la compresión de datos expresa números arbitrario-clasificados usando singular para indicar la longitud de un número binario.

La notación singular puede ser abreviada introduciendo diversos símbolos para ciertos nuevos valores. Muy comúnmente, estos valores son energías de 10; tan por ejemplo, si/soportes para uno, - para diez y + para 100, entonces el número 304 puede compacto ser representado como +++ //// y numerar 123 como + - - /// sin cualquie necesidad de cero. Esto se llama la notación del Muestra-valor. El sistema egipcio antiguo es de este tipo, y el sistema romano es una modificación de esta idea.

Más útiles siguen siendo los sistemas que emplean las abreviaturas especiales para las repeticiones de símbolos; por ejemplo, usar las primeras nueve letras de nuestro alfabeto para estas abreviaturas, con A colocándose para el " un occurrence", " de B; occurrences" dos;, y así sucesivamente, podríamos entonces escribir la d de C+ para el número 304. El sistema de numeración inglés es de este tipo (" four" tresciento;), al igual que los de virtualmente todo el otras idiomas habladas sin importar qué sistemas escritos que han adoptado.

Más elegante es un sistema posicional, también conocido como notación del lugar-valor. Otra vez trabajando en la base 10, utilizamos diez diversos dígitos 0,…, 9 y utilizamos la posición de un dígito para significar la energía de diez con los cuales el dígito deba ser multiplicado, como en 304 = 3× 100 + 0× 10 + 4× 1. Observar ese cero, que no se necesita en los otros sistemas, es de importancia crucial aquí, para poder al " skip" una energía. El sistema de numeración Hindú-Árabe, prestado la India, es un sistema posicional de la base 10; se utiliza hoy en el mundo entero.

La aritmética es mucho más fácil en sistemas posicionales que en el añadido anterior unos; además, los sistemas aditivos tienen una necesidad de un número potencialmente infinito de diversos símbolos para las diversas energías de 10; los sistemas posicionales necesitan solamente 10 diversos símbolos (si se asume que utiliza la base 10).

Los números utilizaron cuando escribían números con los dígitos o los símbolos se pueden dividir en dos tipos que se pudieron llamar los números aritméticos 0.9 y los números geométricos 1.10000 … respectivamente. Los sistemas del muestra-valor utilizan solamente los números geométricos y el uso posicional del sistema solamente los números aritméticos. El sistema del muestra-valor no necesita números aritméticos porque son hechos por la repetición (a excepción del sistema iónico ), y el sistema posicional no necesita números geométricos porque son hechos por la posición. Sin embargo, la lengua hablada utiliza el los números aritméticos y geométricos de .

En ciertas áreas de informática, se utiliza un sistema posicional bajo modificado del k, llamado el la numeración Bijective, con los dígitos 1, 2,…, el k (≥ del k 1), y cero que es representada por la secuencia vacía. Esto establece un Bijection entre el sistema de todas tales dígito-secuencias y el sistema de números enteros no negativos, evitando la no-unicidad causada por ceros principales. La numeración baja Bijective del k también se llama el k - notación adic, no ser confundido con los números base-1 Bijective de P-adic iguales que singular.

Bases usadas

En la computación

Los interruptores, mímicos por sus sucesores electrónicos construidos original de los tubos de vacío y en la tecnología moderna de los transistores, tienen solamente dos estados posibles: " open" y " closed". Substituir el open=1 y el closed=0 (o la otra manera alrededor) rinde el sistema entero de dígitos binarios. Este sistema base-2 ( binario) es la base para las computadoras de Digitaces . Se utiliza para realizar aritmética del número entero en casi todas las calculadoras numéricas; algunas computadoras exóticas base-3 ( ternario) y base-10 también se han construido, pero esos diseños fueron desechados temprano en la historia del hardware computacional .

Transistores modernos del uso de las computadoras que representan dos estados con el los altos voltajes bajos de o del . La unidad de memoria más pequeña para este estado binario se llama un pedacito. Los pedacitos se arreglan en grupos para ayudar en el proceso, y para hacer los números binarios más cortos y más manejables para los seres humanos. Más recientemente estos grupos de pedacitos, tales como octetos y palabras, se clasifican en múltiplos de cuatro. Así la base 16 ( hexadecimal) es de uso general como taquigrafía. La base 8 (octal) también se ha utilizado con este fin.

Una computadora no trata todos sus datos como numéricos. Por ejemplo, algo de él se puede tratar como instrucciones o datos de programa tales como texto. Sin embargo, la aritmética y la lógica boleana constituyen la mayoría de las operaciones internas. Los números enteros se representan exactamente, como números enteros . Los números verdaderos permitiendo valores fraccionarios, se aproximan generalmente como números de la coma flotante . Métodos de las aplicaciones de la computadora los diversos para hacer el aritmético con estas dos clases de números.

Cinco

Un sistema base-5 (quinario ) se ha utilizado en muchas culturas para contar. Se basa llano en número de dedos en una mano humana. Puede también ser mirada como base inferior de otras bases, tales como base 10 y base 60.

Ocho

Un sistema base-8 ( octal) fue ideado por el Yuki de California norteña, que utilizó los espacios entre los dedos para contar. Cero a siete es los únicos posiblemente dígitos. Hay también la evidencia lingüística que sugiere que los europeos proto-Indo de la edad de bronce (de quién la mayoría de las idiomas del europeo y del indicador descienden) pudieran haber substituido un sistema de la base 8 (o un sistema hasta los cuales podría contar solamente 8) con un sistema de la base 10. La evidencia es que la palabra para 9, newm del, es sugerida por alguno para derivar de la palabra para “nuevo”, el newo- del, sugiriendo que el número 9 hubiera sido inventado y llamara recientemente el “nuevo número” (Mallory y Adams 1997).

Diez

El sistema base-10 ( decimal) es el que está más de uso general hoy. Se asume para haber originado porque los seres humanos hacen que diez dedos estos sistemas a menudo utilicen una base sobrepuesta más grande. Ver el superbase decimal .

Doce

Los sistemas Base-12 ( duodecimal o dozenal) han sido populares porque la multiplicación y la división son más fáciles que en base-10, con la adición y restar estando apenas como fáciles. 12 es una base útil porque tiene muchos factores . Es el múltiplo más pequeño de uno a cuatro y de seises. Todavía hay una palabra especial para el " dozen" y apenas como hay una palabra para 10², ciento, allí es también una palabra para 12², grueso. Base-12 habría podido originar del número de nudillos en los cuatro dedos de una mano excepto el pulgar, que se utiliza como indicador en la cuenta.

Doce es una unidad de medida británica común. Hay doce pulgadas a un pie. Antes de 1971, en moneda británica, había 12 peniques a un chelín. Las palabras inglesas para los números son también “base-12” en eso allí son una palabra única para los números uno a doce, con “trece” siendo la primera palabra que fue formada combinando números (tres y diez).

Hay 24 horas por el día, contado generalmente hasta 12 hasta el mediodía ( P. ) y de nuevo hasta la medianoche ( mañana ), a menudo más futuro dividido por 6 horas en la cuenta (por ejemplo en el Tailandia ) o como interruptores entre usar términos como “noche”, “mañana”, “tarde”, y la “tarde”, mientras que otras idiomas utilizan tales términos con duraciones de 3 a 9 horas a menudo según los interruptores en algunas de las marcas del intervalo de 3 horas.

Los múltiplos de 12 han estado en de uso común como unidades inglesas de resolución en el análogo y el mundo digital de la impresión, donde 1 punto iguala 1/72 de una pulgada y 12 puntos igualan 1 pica, y las resoluciones de la impresora como el dpi 360, 600, 720, 1200 o 1440 (puntos por pulgada) son comunes. Éstas son combinaciones de los factores base-12 y base-10: (3×12) ×10, 12× (5×10), (6×12) ×10, 12× (10×10) y (12×12) ×10.

Veinte

La civilización del maya y otras civilizaciones precolombino Mesoamerica base-20 usado ( vigesimal), originando posiblemente del número de los dedos y de los dedos del pie de una persona. La evidencia de base-20 que cuenta sistemas también se encuentra en las idiomas central y occidental África .

Los remanente posibles de un sistema base-20 también existen en francés, según lo visto en los nombres de los números a partir el 60 a 99. Por ejemplo, sesenta y cinco es el soixante-cinq del (literalmente, " " sesenta y cinco;), mientras que setenta y cinco es el soixante-quinze del (literalmente, " sesenta fifteen"). Además, para cualquie número entre 80 y 99, el " diez-column" el número se expresa como múltiplo de veinte (algo similar a la manera del discurso inglesa arcaica del " el anota el quot de ;). Por ejemplo, ochenta y dos es el quatre-vingt-deux del (literalmente, cuatro veintidós), mientras que noventa y dos es el quatre-vingt-douze (literalmente, cuatro veinte doce) del .

La lengua irlandesa también utilizó base-20 en el pasado, veinte que eran el fichid del, el fhichid del dhá de cuarenta, sesenta fhichid del trí del y el fhichid del ceithre de ochenta . Un remanente de este sistema se puede ver en la palabra moderna para 40, daoichead del .

Exhibición danesa de los números una estructura similar base-20.

Sesenta

La base 60 ( sexagesimal) fue utilizada por el Sumerians y sus sucesores en el Mesopotamia y sobrevive hoy en nuestro sistema de tiempo (por lo tanto la división de una hora en 60 minutos y un minuto en 60 segundos y en nuestro sistema de medida angular (un grado se divide en 60 minutos y un minuto se divide en 60 segundos ). 60 también tiene una gran cantidad de factores, incluyendo el primer seises que cuenta los números . Los sistemas Base-60 se creen para haber originado con la combinación de los sistemas base-10 y base-12. El calendario chino, por ejemplo, utiliza un sistema de Jia-Zi 甲子 base-60 para denotar años, con cada año dentro el ciclo de 60 años que es nombrado con dos símbolos, primer ser base-10 (llamado Tian-Gan 天干 o vástagos divinos) y el segundo símbolo que es la base 12 (llamada 地支 de Di-Zhi o las ramas terrenales). Ambos símbolos se incrementan en años sucesivos hasta que se repita el primer patrón 60 años más adelante. El segundo símbolo de este sistema también se relaciona con 12 el sistema chino del zodiaco animal.

Base dual (cinco y veinte)

Uso de cuenta antiguo 5 de muchos sistemas como base primaria, viniendo casi seguramente del número de dedos en la mano de una persona. Estos sistemas se complementan a menudo con una base secundaria, a veces diez, a veces veinte. En algunas idiomas africanas la palabra para 5 es igual que " hand" o " fist" (lengua de Dyola Guinea-Bissau, lengua de Banda de África central). La cuenta continúa agregando 1, 2, 3, o 4 a las combinaciones de 5, hasta que se alcance la base secundaria. En el caso de veinte, esta palabra significa a menudo el " complete" del hombre;. Este sistema se refiere como quinquavigesimal. Se encuentra en muchas idiomas de la región de Sudán .

Nombres bajos

1 - singular 2 - binario 3 - /trinary ternarios 4 - cuaternario 5 - quinario /quinternary 6 - Senary/ Heximal /hexary 7 - /septuary septenarios 8 - /octonario octal/octonal/octimal 9 - Nonary /novary/noval 10 - decimal/ denario 11 - Undecimal /undenary/unodecimal 12 - Dozenal /duodecimal/duodenary 13 - Tridecimal / Tredecimal /triodecimal 14 - Tetradecimal /quadrodecimal/quattuordecimal 15 - Pentadecimal /quindecimal 16 - /sexadecimal hexadecimal/sedecimal 17 - septendecimal/heptadecimal 18 - octodecimal/decennoctal 19 - nonadecimal/novodecimal/decennoval 20 - /bigesimal vigesimal/bidecimal 21 - unovigesimal/unobigesimal 22 - duovigesimal 23 - triovigesimal 24 - Quadrovigesimal /quadriovigesimal 26 - Hexavigesimal /sexavigesimal 27 - heptovigesimal 28 - octovigesimal 29 - novovigesimal 30 - Trigesimal /triogesimal 31 - unotrigesimal (… perfil de nombre de la repetición…) 36 - Hexatridecimal /sexatrigesimal (… perfil de nombre de la repetición…) 40 - quadragesimal/quadrigesimal 41 - unoquadragesimal (… perfil de nombre de la repetición…) 50 - quinquagesimal/pentagesimal 51 - unoquinquagesimal (… perfil de nombre de la repetición…) 60 - sexagesimal (… perfil de nombre de la repetición…) 64 - Quadrosexagesimal (… perfil de nombre de la repetición…) 70 - septagesimal/heptagesimal 80 - octagesimal/octogesimal 90 - nonagésimo/novagesimal 100 - centimal/centesimal (… perfil de nombre de la repetición…) 110 - decacentimal 111 - unodecacentimal (… perfil de nombre de la repetición…) 200 - bicentimal/bicentesimal (… perfil de nombre de la repetición…) 210 - decabicentimal 211 - unodecabicentimal (… perfil de nombre de la repetición…) 300 - tercentimal/tricentesimal 400 - quattrocentimal/quadricentesimal 500 - quincentimal/pentacentesimal 600 - hexacentimal/hexacentesimal 700 - heptacentimal/heptacentesimal 800 - octacentimal/octocentimal/octacentesimal/octocentesimal 900 - novacentimal/novacentesimal 1000 - millesimal 2000 - bimillesimal (… perfil de nombre de la repetición…) 10000 - decamillesimal

¡Sistemas posicionales detalladamente

Notación posicional

En un sistema de numeración bajo posicional del b (con el b un número natural positivo conocido como la raíz ), los símbolos básicos del b (o los dígitos) que corresponden a los primeros números naturales del b incluyendo cero se utilizan. Para generar el resto de los números, la posición del símbolo en la figura se utiliza. El símbolo en la posición pasada tiene su propio valor, y como se mueve a la izquierda su valor es multiplicado por el b .

Por ejemplo, en el sistema decimal (base 10), los medios del número 4327 (× del 4 ; 10³) + (× del 3 ; 10²) + (× del 2 ; 10¹) + (× del 7 ; 10⁰), observación esa 10⁰ = 1.

Generalmente si el b es la base, escribimos un número en el sistema de numeración del bajo b expresándolo en el de la forma un n del ^{del b del n del _de} + un   del n del _{de ; −   1}   del n del ^{del b ; −   1} + un   del n del _{de ; −   2}   del n del ^{del b ; −   2} +… + un b ⁰ y escritura de ₀ el enumerado de los dígitos un de _n un   del n del _{de ; −   1} un   del n del _{de ; −   … 2} un ₀ en orden decreciente. Los dígitos son números naturales entre 0 y   del b ; −   1, inclusivo.

Si un texto (tal como éste) discute bases múltiples, y si existe la ambigüedad, la base (sí mismo representado en la base 10) se agrega en subíndice a la derecha del número, como esto: number_base. A menos que se especifique por contexto, los números sin subíndice son considerados ser decimales.

Usando un punto para dividir los dígitos en dos grupos, uno puede también escribir fracciones en el sistema posicional. Por ejemplo, base-2 el número 10.11 denota 1× 2¹ + 0× 2⁰ + 1× 2^{− 1} + 1× 2^{− 2} = 2.

Los números en el sistema bajo del b están generalmente de la forma:

$(a\_na\_\; \{n-1\}\; \backslash \; cdots\; a\_1a\_0.c\_1\; c\_2\; c\_3\; \backslash \; cdots)\; \_b\; =\; \backslash \; a\_kb^k\; del\; ^n\; del\; sum\_\; \{k=0\}\; +\; \backslash \; ^\; del\; sum\_\; \{k=1\}\; \backslash \; c\_kb^\; infty\; \{-\; k\}.$

El ^{&minus del k} y del b del ^{del b de los números; el k} es los pesos de los dígitos correspondientes. La posición k del es el logaritmo del peso correspondiente w, de que del es $k\; =\; \backslash \; =\; \backslash \; log\_\; \{b\}\; b^k$ del log_ {b} w. La posición usada más alta es cercana a la orden de la magnitud del número.

El número de las marcas de la cuenta requeridas en el sistema de numeración singular para el que describe el peso habría sido el w . En el sistema posicional el número de dígitos requeridos para describirlo es solamente $k\; +\; 1\; =$ del\; de$\backslash $ del\; log\_\; \{b\}\; w$+\; 1$, para el $k\; \backslash \; GE\; 0$. describir peso 1000 entonces 4 dígitos son necesarios desde el $\backslash \; el\; log\_\; \{el\; 10\}\; 1000\; +\; 1\; =\; 3\; +\; 1$. Número de dígito requerido a describen posición es $\backslash \; log\_\; \{b\}\; k\; +\; 1\; =\; \backslash \; log\_\; \{\}\; \backslash \; log\_\; \{b\}\; de\; b\; w\; +\; 1$ (en las posiciones 1, 10, 100… solamente para la simplicidad en el ejemplo decimal).

Cambio de la raíz

Un algoritmo simple para convertir números enteros entre las raíces del positivo-número entero es división repetida por la raíz de la blanco; los restos dan el " digits" comenzar por lo menos significativo., 1020304 basan 10 en la base 7: r 5 de

1020304/7 = 145757 r 3 de 145757/7 = 20822 r 4 de 20822/7 = 2974 r 6 de 2974/7 = 424  r 4 de 424/7 = 60 r 4 de 60/7 = 8  r 1 de 8/7 = 1  del => 11446435

de 1/7 = 0 r 1

E., 10110111 base 2 en la base 5: r de

10110111/101 = 100100 11 (3) r de 100100/101 = 111 1 (1) r de 111/101 = 1 10 (2)  del => 1213

de 1/101 = 0 r 1 (1)

Para convertir un " decimal" la fracción, hace multiplicación repetida, tomando las piezas de número entero que resaltan como el " digits". Desafortunadamente una fracción terminal en una base puede no terminar en otra.1A4C base 16 en la base 9: × 9 de

0.082785… 

Números enteros variable-length generalizados

Más general está utilizando una notación (aquí escrita pequeño-endian ) como $a\_0\; a\_1\; a\_2$ para $a\_0\; +\; a\_1\; b\_1\; +\; a\_2\; b\_1\; b\_2$, etc.

Esto se utiliza en el Punycode, un aspecto cuyo está la representación de una secuencia de números enteros no negativos del tamaño arbitrario bajo la forma de secuencia sin los delimitadores, del " digits" de una colección de 36: a-z y 0-9, representando 0-25 y 26-35 respectivamente. Un dígito más bajo que las marcas de un valor de umbral que es el dígito más significativo, por lo tanto el final del número. El valor de umbral depende de la posición en el número. Por ejemplo, si el valor de umbral para el primer dígito es b (es decir 1) entonces a (es decir 0) marca el extremo del número (tiene apenas un dígito), así que en números de más de un dígito que la gama es solamente b-9 (1-35), por lo tanto el b ₁ del peso es 35 en vez de 36. Suponer que los valores de umbral para el segundo y tercer dígito son c (2), después el tercer dígito tiene × de un peso 34; 35 = 1190 y nosotros tienen la secuencia siguiente:

a (0), vagos (1), Ca (2)., 9a (35), bb (36), Cb (37)., 99a (1260), bcb (1261), etc.

Observar que desemejante de un sistema de numeración regular base-35, tenemos números como 9b donde 9 y b cada uno representan 35; con todo la representación es única porque la CA y el aca no se permiten.

La flexibilidad en elegir valores de umbral permite la optimización dependiendo de la frecuencia de la ocurrencia de números de varios tamaños.

El caso con todos los valores de umbral iguales a 1 corresponde a la numeración Bijective, donde los ceros corresponden a los separadores de números con los dígitos que son diferentes a cero.

Características de sistemas numéricos con las bases del número entero

Los sistemas de numeración con el bajo A, donde está un número entero el A positivo, poseen las características siguientes: el

l si el A está incluso y el A /2 es impar, todas las energías integrales mayor de cero del número ( A /2) +1 contendrá (el A /2) +1 como su dígito pasado el

l si el A y el A /2 son energías uniformes, después todas las integrales mayor o igual cero del número ( A /2) +1 alternarán entre tener (el A /2) +1 y 1 como su dígito pasado. (Para las energías impares será (el A /2) +1, porque incluso energías que será 1)

Prueba de la primera característica:

Definir el $\{A\; \backslash \; sobre\; 2\}\; +\; 1\; =\; x$ entonces x es todo el del $x^p$ uniforme, y para el p mayor de 0 debe ser uniforme. La característica es equivalente a ¡$del$

l \! \ x^p \ equivalente \ x \ (\ mbox {} \ A) de la MOD

Primero comprobamos la caja para el p =1 ¡$del$

l \! \ x \ equivalente \ x \ (\ mbox {} \ A) de la MOD

el x es menos que el A, así que el resultado es trivial. Entonces comprobamos para saber si hay p =2: ¡$del$

l \! ¡\ x^2 de = $del$
xx \! \ x^2 = x (x-1) + x

Desde $x-1\; =\; (\{A\; \backslash \; sobre\; 2\}\; +\; 1)\; -\; 1\; =\; \{A\; \backslash \; sobre\; 2\}$, entonces para todo el incluso N : ¡$del$

l \! \ {NA \ sobre 2} = N (x-1) \ equivalente \ 0 \ (\ mbox {} de la MOD \ A) \ (1)

Porque el x es uniforme, después el $x\; (x-1)$ es congruente al cero A del modulo. Por lo tanto: ¡$del$

l \! \ x^2 \ equivalente \ x \ (\ mbox {} de la MOD \ A)

Usar la inducción, si se asume que la característica se sostiene para el p -1: ¡$del$

l \! \ x^p = {x^ {p-1}} x = {x^ {p-1}} (x-1) + x^ {p-1}

Puesto que caso se sostiene para p -1, entonces $\{x^\; \{p-1\}\}\; \backslash \; equivalente\; \backslash \; x\; \backslash \; (\backslash \; mbox\; \{\}\; de\; la\; MOD\; \backslash \; A)$. Desde entonces ¡$del$

l \! \ {x^ {p-1}} (x-1)

es caso de ecuación 1, entonces $\{x^\; \{p-1\}\}\; (x-1)\; \backslash \; equivalente\; \backslash \; 0\; \backslash \; (\backslash \; mbox\; \{\}\; de\; la\; MOD\; \backslash \; A)$. Esto se va, para todo el p mayor de 0, ¡$del$

l \! \ x^p \ equivalente \ x \ (\ mbox {} \ A) de la MOD

Q.

Prueba de la segunda característica:

Definir el $\{A\; \backslash \; sobre\; 2\}\; +\; 1\; =\; el\; x\; de\; x$ entonces es impar, y todo el x^p del $para\; el\; p\; mayor\; o\; igual\; 0\; debe\; ser\; impar.\; La\; característica\; es\; equivalente\; a\; ¡$ del$$

l \! \ x^p \ equivalente \ 1 \ (\ mbox {} de la MOD \ A); ¡\ \ mbox {si} \ p \ equivalente \ 0 \ (\ mbox {} de la MOD \ 2) $del$
de \! \ x^p \ equivalente \ x \ (\ mbox {} de la MOD \ A); \ \ mbox {si} \ p \ equivalente \ 1 \ (\ mbox {} de la MOD \ 2)

Desde $x-1\; =\; (\{A\; \backslash \; sobre\; 2\}\; +\; 1)\; -\; 1\; =\; \{A\; \backslash \; sobre\; 2\}$, entonces para todo el impar E : ¡$del$

l \! \ {EA \ sobre 2} = E (x-1) \ equivalente \ {A \ sobre 2} \ (\ mbox {} de la MOD \ A) \ (2)

El caso primero se comprueba para saber si hay p =0: ¡$del$

l \! ¡\ x^0 = 1 $del$
de \! \ 1 \ equivalente \ 1 \ (\ mbox {} de la MOD \ A)

Este resultado es trivial

Después, para el p =1: ¡$del$

l \! ¡\ x^1 = $del$
de x \! \ x \ equivalente \ x \ (\ mbox {} de la MOD \ A)

Este resultado es también trivial

Después, para el p =2: ¡$del$

l \! \ x^2 = xx = x (x-1) + x

Porque x es impar, después x (x-1) es un caso de la ecuación 2,

$x\; (x-1)\; +\; x\; \backslash \; equivalente\; \backslash \; \backslash \; (\backslash \; mbox\; \{\}\; de\; la\; MOD\; \backslash \; A)$ ¡$del$

l \! ¡\ {A \ sobre 2} + x = {A \ sobre 2} + {A \ sobre 2} + 1 = $del$
de A+1 \! \ A+1 \ equivalente \ 1 \ (\ mbox {MOD} \ A), (\ mbox {tan} \ x (x-1) + x = x^2 \ equivalente \ 1 \ (\ mbox {} de la MOD \ A)

Después, para el p =3: ¡$del$

l \! \ x^3 = {x^2} x = {x^2} (x-1) + x^2

Porque el $x^2$ es impar, el $\{x^2\}\; (x-1)\; +\; x^2$ es un caso de la ecuación 2, ¡$del$

l \! \ {x^2} (x-1) + x^2 \ equivalente \ \ (\ mbox {} de la MOD \ A)

Desde $x^2\; \backslash \; equivalente\; \backslash \; 1\; \backslash \; (\backslash \; mbox\; \{\}\; de\; la\; MOD\; \backslash \; A)$, ¡$del$

l \! \ {x^2} (x-1) + x^2 \ equivalente \ \ (\ mbox {} de la MOD \ A)

$=\; x$, tan $x^3\; \backslash \; equivalente\; \backslash \; x\; \backslash \; (\backslash \; mbox\; \{\}\; de\; la\; MOD\; \backslash \; A)$.

Usar la inducción, si se asume que la característica se sostiene para el p -1: ¡$del$

l \! \ x^p \ equivalente \ {x^ {p-1}} (x-1) + x^ {p-1}

Si el p es impar: ¡$del$

l \! \ x^ {p-1} \ equivalente \ 1 \ (\ mbox {} de la MOD \ A)

Desde $\{x^\; \{p-1\}\}\; (x-1)$ es caso de ecuación (2), $\{x^\; \{p-1\}\}\; (x-1)\; +\; x^\; \{p-1\}\; \backslash \; equivalente\; \backslash \; \backslash \; (\backslash \; mbox\; \{\}\; de\; la\; MOD\; \backslash \; A)$, tan

$x^p\; \backslash \; equivalente\; \backslash \; x\; \backslash \; (\backslash \; mbox\; \{\}\; de\; la\; MOD\; \backslash \; A)$

Si el p es uniforme: ¡$del$

l \! \ x^ {p-1} \ equivalente \ x \ (\ mbox {} de la MOD \ A)

Desde $\{x^\; \{p-1\}\}\; (x-1)$ es caso de ecuación (2), $\{x^\; \{p-1\}\}\; (x-1)\; +\; x^\; \{p-1\}\; \backslash \; equivalente\; \backslash \; \backslash \; (\backslash \; mbox\; \{\}\; de\; la\; MOD\; \backslash \; A)$.

$\{A\; \backslash \; sobre\; 2\}\; +\; x\; =\; \{A\; \backslash \; sobre\; 2\}\; +\; \{A\; \backslash \; sobre\; 2\}\; +\; 1\; =\; A+1$

$A+1\; \backslash \; equivalente\; \backslash \; 1\; \backslash \; (\backslash \; mbox\; \{\}\; de\; la\; MOD\; \backslash \; A)$, tan

$x^p\; \backslash \; equivalente\; \backslash \; 1\; \backslash \; (\backslash \; mbox\; \{\}\; de\; la\; MOD\; \backslash \; A)$

Q.

Ver también

&ndash babilónico de los números ; un sistema sexagesimal (base-60)
Formatos de enumeración de la computadora
Base de oro del cociente
Lista de los asuntos del sistema de numeración
El número nombra
Quipu
Decimal que se repite
Notación que se tiene que sustraer

.

Zenithic

Almost (disambiguation)

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