Un sistema de numeración de residuo del ( RNS ) representa un número entero grande usar un sistema de números enteros más pequeños, para poder realizarse el cómputo más eficientemente. Confía en el teorema chino del resto de la aritmética modular para su operación, una idea matemática Sun Tsu Suan-Ching (manual aritmético de Sun principal) en el ANUNCIO del siglo IV.

Definición de un sistema de numeración de residuo

Un sistema de numeración de residuo es definido por un sistema de constantes enteras del N,

l { m ₁, m ₂, m ₃,…, N del _{del m },}

designado los módulos del . Dejar el M ser el menos múltiplo común de todo el i del _{del m .}

Cualquier arbitrario X del número entero más pequeño que el M se puede representar en el sistema de numeración definido de residuo como sistema del N números enteros más pequeños

l { x ₁, x ₂, x ₃,…, N del _{del x }}

con i del _{del x del}

l = i del _{del m del modulo del X}

representación de la clase del residuo del X a ese módulo.

Observar que para la eficacia representativa máxima es imprescindible que todos los módulos son el coprimero; es decir, ningún módulo puede tener un factor común con cualquier otro. El M es entonces el producto de todo el m _i.

Operaciones en números de RNS

Representado una vez en RNS, muchas operaciones aritméticas se pueden realizar eficientemente en el número entero codificado. Para las operaciones siguientes, considerar dos números enteros, A y B, representados por el un i del _{del i} y del b del _{de en un sistema de RNS definido por el i} del _{del m (para el i a partir de 0 ≤ &le del i ; N ).}

Adición y substracción

La adición (o substracción) puede ser lograda simplemente agregando (o restando) los pequeños valores de número entero, modulo sus módulos específicos. Es decir, $C=A\; \backslash \; P.B\; \backslash \; MOD\; M$ del puede ser calculado en RNS como b_i \ MOD m_i del $c\_i=a\_i\; \backslash \; P.\; del$

Uno tiene que comprobar para saber si hay desbordamiento en estas operaciones.

Multiplicación

La multiplicación puede ser de una forma similar logrado a la adición y a la substracción. Para calcular el $C\; del\; =\; A\; \backslash \; el\; cdot\; B\; \backslash \; MOD\; M,$ podemos calcular: $c\_i\; del\; =\; b\_i\; \backslash \; MOD\; m\_i$ del a_i \ del cdot Los desbordamientos son otra vez posibles.

División

La división en sistemas de numeración de residuo es problemática. Un papel que describe un algoritmo posible está disponible en. En otro mano, si B es coprimero con M (que es $b\_i\; \backslash \; no\; =0$) entonces

$C=A\; \backslash \; cdot\; B^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; MOD\; M$ puede estar fácilmente calculado por

$c\_i=a\_i\; \backslash \; cdot\; b\_i^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; MOD\; m\_i$ donde está lo contrario el $B^\; \{-\; 1\}$ multiplicativo M del modulo del B, y $b\_i^\; \{-\; 1\}$ es lo contrario multiplicativo del modulo $m\_i$ de $b\_i$.

Usos prácticos

RNS tienen usos en el campo de la computadora aritmético de Digitaces . Descomponiendo en esto un número entero grande en un sistema de números enteros más pequeños, un cálculo grande se puede realizar como serie de cálculos más pequeños que se puedan realizar independiente y paralelamente. Debido a esto, es particularmente popular en puestas en práctica de hardware.

Facturización del número entero

El RNS puede mejorar la eficacia de la división de ensayo . Dejar el $X=Y\; \backslash \; el\; cdot\; Z$ un Semiprime . Dejar $m\_1=2,\; m\_2=3,\; m\_3=5,\dots$ representan el primer N prepara. Asumir que $Y>m\_N$, $Z>m\_N$. Entonces $x\_i=y\_i\; \backslash \; cdot\; z\_i$, donde $x\_i\; \backslash \; no\; =\; 0$. El método de división de ensayo es el método de agotamiento, y el RNS elimina automáticamente todo el Y y el Z tales que $y\_i=0$ o $z\_i=0$, que es nosotros necesitan comprobar el $del\; \backslash \; el\; =M\; del\; ^N\; del\; prod\_\; \{i=1\}\; (m\_i-1)\; \backslash \; el\; ^N\; del\; prod\_\; \{i=1\}\; \backslash \; salió\; solamente\; (1\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\_i\}\; \backslash \; derecho)\; de$ números debajo del M . Por ejemplo, el N =3, el RNS puede eliminar automáticamente todos los números pero MOD 30 del
1.29 del
o el 73% de números. Para $N=25$ cuando $m\_i$ son todos números primeros debajo de 100, el RNS elimina el cerca de 88% de números. Uno puede ver de la fórmula antedicha las vueltas de disminución de los sistemas más grandes de módulos.

Sistema asociado de la raíz mezclada

Un número dado por el $\backslash \; \{x\_1,\; x\_2,\; x\_3,\; \backslash \; los\; ldots,\; x\_n\; \backslash \}\; el$ en el RNS se puede representar naturalmente en el sistema asociado (AMRS) de la raíz mezclada $X=\; del$

l \ ^Nx^*_iM_ del sum_ {i=1} {i-1} =x^*_1+m_1 (x^*_2+m_2 x^*_ (\ cdots+m_ {N-1} {N}) \ cdots), donde
$M\_0=1,\; M\_i=\; \backslash \; ^i\; m\_i$ del
del prod_ {j=1} para $i>0$ y

Observar que después de la conversión del RNS a AMRS, la comparación de números llega a ser directa.

Ver también

Sistema de la cubierta
Sistema reducido del residuo

.

Zenithic

Pazderna

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